多余的“相對運動的圖示”

徐小林

(江蘇省如東高級中學 江蘇 南通 226400)

朱建武

(如東縣馬塘中學 江蘇 南通 226401)

近期習讀了文獻[1]，針對文中否定“平行四邊形法則”的不當觀點，進行深入的剖析，并揭示出靈活運用基本的矢量運算法則處理問題的規律方法.

1 重申速度合成和分解的基本法則

高中教材中，一個運動質點只要同時參與了兩個分運動，則求其合運動速度的過程(即速度的合成)，一定要遵循平行四邊形法則.常見的小船渡河問題，2016年高考江蘇物理卷第14題中物塊在移動斜面上的下滑運動，都由平行四邊形法則確定分速度與合速度的關系.但關鍵必須確認運動質點真正同時參與了哪兩個分運動，對于不真的“分運動”與合運動之間，當然不能遵循平行四邊形法則.

顯然，速度合成和分解是有法可依的，任何時候都必定遵循共同的矢量運算法則，即平行四邊形法則，這無可爭議.

2 糾正對矢量運算法則的誤解

運用平行四邊形法則進行速度合成有時會“失效”嗎？

如圖1所示，同一平面內互成夾角θ的兩根桿1和2分別穿過小環，已知兩桿分別以垂直于桿的速度v1和v2在該平面內運動，試求小環的速度.

圖1 桿環情境圖

圖2是典型錯誤的解法，將v1和v2按照平行四邊形法則進行合成，從而得到小環的速度大小為

圖2 將v1和v2按平行四邊形合成

造成“錯解”的根本原因在哪里？

因為小環同時在兩根“動桿”上運動，對于動桿1而言，小環的實際速度必須遵循平行四邊形法則，分解為垂直于桿的分速度v1和沿著桿傳動的分速度v1c；同理，對于動桿2而言，小環的實際速度也必須遵循平行四邊形法則，分解為垂直于桿的分速度v2和沿著桿傳動的分速度v2c.小環兩次運用平行四邊形法則的速度正交分解圖，都可以等效簡化為如圖3所示的兩個矢量直角三角形圖.至此發現，“錯解”的根源在于觀點錯誤，想當然地認為“兩桿分別以垂直于桿的速度v1和v2”的運動是小環“同時參與的兩個分運動”，忽視了沿著兩桿方向上都有傳動分速度.事實上小環的實際速度正是按照平行四邊形法則兩次正交分解，才能得到如圖3所示的小環速度分別與兩對分速度之間正確的矢量關系圖.因此，運用平行四邊形法則進行速度合成或分解，不會出現有時“失效”.

圖3 簡化為矢量直角三角形

3 巧用高一數學知識簡化求導速度表達式

求小環速度的常見方法是，結合圖3列出3個方程：v1=vcosα，v2=vcosβ，α+β=θ，然后變形推導出3個三角函數等式，綜合求得正確結果為

但具體求解過程做了就知道有多復雜.

由于圖3中兩個矢量直角三角形有共同的外接圓，若將兩個傳動分速度去掉，根據數學知識圖3可以簡化為圖4，小環速度v應是圓的直徑.

圖4 去掉兩個傳動分速度后的簡化圖

圖4只反映了小環速度v與速度v1和v2之間特殊的“約束關系”，而不是一個合速度與它的兩個分速度的“合成關系”，當然不符合平行四邊形法則.在圖4三角形ABO中，運用高一數學中的余弦定理和正弦定理推論，得到AB邊長的表達式分別為

AB=vsinθ

由上二式快速得解.

4 澄清是非 矢量運算法則不容否定

文獻[1]開頭說，“筆者認為，2013年上海物理卷第20題是一道多年來罕見的好題，這道題的存在，強有力地提醒著我們不能濫用平行四邊形矢量合成法則”；文章最后再強調，“求解2013年高考上海物理卷第20題時，矢量合成法則不能用.一部分中學物理教師也在糾結為什么.筆者認為，造成這種局面是因為高中物理教材把相對運動問題按運動的合成和分解處理，存在不當.”針對以上不當觀點，有必要澄清是非，力挺矢量運算法則.

2013年高考上海物理卷第20題：如圖5所示，在平靜的海面上兩艘拖船A和B拖著駁船C運動，A，B的速度分別沿著纜繩CA和CB方向，A，B，C不在一條直線上.由于纜繩不可伸長，因此C的速度在CA，CB方向的投影分別與A，B的速度相等，由此可知C的( )

A.速度大小可以介于A，B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A，B的速度大小

C.速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內

圖5 2013年高考上海物理卷第20題題圖

圖6 速度約束關系圖1

解析:纜繩CA和CB都是不可伸長的“動繩”，C的速度并非A，B速度的合速度.分別對兩根“動繩”運用平行四邊形法則，將C的速度兩次正交分解.并用與“平行四邊形法則”本質相同的“矢量三角形法則”，可得出與圖4同理的如圖6所示的速度約束關系圖.也可能有如圖7所示情形.兩圖中C的速度都為圓的直徑.選項B,C正確.

圖7 速度約束關系圖2

此解析篇幅不到文獻[1]同題分析的五分之一，說明矢量運算法則威力十足.

可以假想，如果此題改成“三艘拖船拖著駁船C運動”，或者將前例改成“三根桿子分別穿過同一個小環運動”，仍然都必須運用平行四邊形法則將“C的速度”或“小環的速度”，分別進行三次正交分解.再運用“矢量三角形法則”，由于3個矢量直角三角形有共同的外接圓，將合速度與另外3個速度的關系圖，畫在同一個以合速度為圓的直徑的圓中.4個速度之間的“約束關系圖”(并非“合成關系圖”)有了，結合題設條件，相關問題就一定能夠分析解決.即使改成更多艘拖船拖著駁船運動，更多根桿子分別穿過同一個小環運動，而運用矢量運算法則解決問題的規律方法不會改變，筆者1991年提出的速度分解“三個必須”的原則不能改變.

事實證明，高中物理教材把相對運動問題按運動的合成和分解處理，這根本沒有什么不當.速度合成和分解運算依然必須堅持靈活運用平行四邊形法則，關鍵要找到速度之間正確的“約束關系”，也要防止在速度之間建立錯誤的“合成關系”.文獻[1]中構想的“相對運動的圖示”，雖有一定的獨創性，但因學生認知能力所限，明顯不及運用基本的矢量運算法則，通過“同一圓中速度約束關系圖”處理問題，更通俗易懂、簡便明快.

參 考 文 獻

1 程靖龍.論相對運動的圖示.物理通報，2017(5)：105～109

2 朱建武.動繩上各點速率不都相等.物理教師，1991(12):29

3 孫炳盛，王曉娟.速度的“投影”關系和“約束”關系.物理教學，2017(10): 19～20