收與放的交融
———算法多樣與算法最優——以蘇教版《十幾減九》為例

吳中杰

《數學課程標準（2011版）》提出：“計算教學中，不僅要創設情境，還要尊重學生的個性，鼓勵算法的多樣化。”這使傳統教學模式下以教師為中心的課堂，逐步向以學生為中心邁進，給了學生更多的思維空間和創造機會。學生在自主探索創新之中，其思維得以開拓，個性得以張揚，也契合《數學課程標準（2011版）》提出的“不同的人，在數學上得到不同的發展”的理念。在這種背景下，課堂上學生思維更加活躍，各種創新的素材也不斷涌現，各種各樣的算法也得以出現，達到了算法多樣化的目標。那么，在多樣化的算法中我們是否還需要尋求最優的算法呢？何種方法才是最優呢？下面，筆者結合《十幾減九》一課做簡單的分析。

一、課本最優是否就是最優

首先，我們對教材做簡略的分析，找尋教材的最優。先對“想一想，做一做”第一題進行分析，教材給出了兩個算式：“12-9=”和“16-9=”并用小棒進行了表示引導，12-9以10根小棒為一堆，另外一堆則為2根；16-9也是以10根小棒為一堆，另外一堆為6根，感覺上教材是想強調破十法，也是很多教師認為本課最優方法是破十法的原因。那接下來，我們再來看第二題，教材也是給出了兩個算式“15-9=”和“17-9=”，而15-9給出的示意圖是9個正方體為一堆，另外一邊則遮住了，那就用“？”表示，17-9的示意圖也是以9個為一堆，另外一堆并不知道。不知看到這里，你是否發現了教材的深意，教材突出強調了“9加幾”，這里教材則明顯地提示了本課應當以“想加法，做減法”為最優算法。到了這里，可能部分教師還是有疑問，為何是“想加法，做減法”呢？那不妨我們繼續往下，再來對教材進行解讀。我們看第三題，9+2=，11-9=，9+5=，14-9=，9+9=，18-9=。而在課后的練習1中也有體現，練習1中的第一題9+？=12，第二題 9+？=15，15-9=，9+？=16，16-9=，9+？=17，17-9=則都是側重在“想加法，做減法”的算法上，想必到了此處，再對教材進行認真閱讀、分析、比較、思考后，教材的意圖便躍然紙上。

由此可見，對于本節課，教材意圖是讓學生掌握“想加法，算減法”的運算方法，即是教材中所給出的最優化算法。而往往執教的教師也都一味地去強調這種算法，卻并未關注學生是否能夠理解和接受。教師雖然是按照《數學課程標準（2011版）》和教材意圖進行教學，但由于學生的年齡和認知水平的局限，可能教材所提出的“想加法，算減法”對于一年級的學生來說，過于偏高。而本節課中，學生在已有的知識經驗的基礎上，所創造的多樣化算法：“逐個遞減”、“破十法”、“平十法”等方法相比較于教材所要求的“想加法，算減法”來說，計算思維層次可能相對較低。而通過本節課的教學，對于各種算法的分析比較，學生都已基本掌握了一種適合自己的算法，但對于“想加法，算減法”能夠熟練掌握并運用的學生并非很多。這是否是教師的教學失誤？算法最優并未得以實現呢？

筆者認為，教師傳授算法時按照課本意圖的教學自然并無過錯，但如果教師一味地去強調課本的最優，而忽略了學生的學情，強行將教材最優算法灌輸給學生，而忽略學生自身的算法體驗，那本節課的教學可能是毫無意義的。學生沒有接受“想加法，算減法”，雖然從表面上看他們還未實現算法的最優，但若教師安排了一定的教學活動，讓學生在通過自主動手操作、分析比較、整理歸納后，在其原有的算法基礎上，發現自身算法的不足，并將自己最初的算法進行一定的完善，得到了一種最適合自己的算法，并能夠對后續問題進行處理解答。那我想，本節課的教學無疑已經實現了最優。

根據學生的學情和實際，教材的最優并非是學生的最優。而真正的最優應該是學生在多樣化的算法中，掌握基本的算法，體驗知識的建構，在對多樣化的算法有了一定的理解、感悟的基礎上，再通過教師的引導，對多種算法進行比較、分析、歸納、感悟后，進行自我完善，悟出屬于自己的最優算法。只有通過自己的探索發現，改善自身的不足，吸收較為先進、簡便的方法，補足自身，才能得到屬于自身最優的算法。

二、算法多樣化與算法最優是否矛盾

在當前“多樣化算法”風靡的背景下，許多教師對“最優算法”是否有必要提出產生了疑問。既然都提倡了“算法的多樣”，又何必再去進行“算法的優化”呢？筆者認為，算法的多樣化是一種態度，一個過程。最優的算法是算法多樣化的歸宿，是學生自我反思，自我完善的產物。《數學課程標準（2011版）》是“鼓勵”算法的多樣化，而并非強制要求多樣化。而往往我們的課堂教學中，只注重了“算法的多樣化”，一味地尋求不同的算法，而忽視了算法多樣化的本意。在一味的尋求過程中，學生利用已有的知識經驗，創造出的方法可能并不科學、合理，而計算過程可能也十分復雜。甚至有些學生思維還處于混亂之中，雖然給出的算法可以得出結果，但可能并不能講出具體的意思。而真正的多樣化算法，也應當建立在清晰思維、合理邏輯、科學簡便的基礎之上，而并非囫圇吞棗，將所有算法都囊括其中。而在如此多的算法之中，有些算法的思維水平層次可能過于低，對于后續的學習并無幫助。如果不對其進行優化，那學生可能永遠掌握著自己原先所擁有的算法，便會導致學習的兩極分化，使差生越來越差。學生的思維也無法得以發展。因此，多樣化算法后，應尋求最優，讓學生在尋求的過程中得以自我完善和發展，思維能力得以提高。

三、情境融入教學，算法得以優化

蘇教版一年級教材中，對于13-9的算法給出了三種預設的學生的算法：

1.平十法，將9拆分成3+6，再用13-3，然后用10-6。

2.破十法，將13拆分成10+3，再用10-9=1，再用1+3。

3.想加法，做減法，13-9，我們先想到加法，9加幾才等于13？

而往往在實際教學中，低年級的學生可能還會給出第四種回答，用13一個一個地進行減法，一共減9次，這樣也得到了結果。那這樣我們對于13-9則有了四種不同的計算方法。此時，我們的教學便已經達到了算法的多樣化目標。

在這四種算法中我們可以明確地看出四種方法的層次性，對于一個一個減去的方法，顯然相比于“平十法”、“破十法”而言，此種方法的思維層次是最低的，而“想加法，算減法”相對而言其思維層次則顯得過高。但相信經過教師的點撥，學生自己的動手操作，四種算法中學生必能對一種方法進行掌握和應用了。而教師往往在教學時便順水推舟，可能只是簡單地對學生的方法進行評價后，便進入了習題的鞏固之中，并未對多樣化的算法進行進一步的詳細分析，給予學生更多的思考，讓學生體會各種算法的特點，并與自身的方法進行比較、歸納，從而將自身的算法得以完善。在具體教學中，執教者到底應當如何在多樣化的算法中，幫助學生對算法進行優化呢？下面筆者結合《十幾減九》一課的教學，進行簡單的教學設計。

（1）課前導入。

建構主義學習理論認為，學習的過程是學習者主動建構知識的過程，學習者以原有的知識經驗為基礎，通過與外界的相互作用來建構新的知識結構。因此，本節課的課前導入部分可用舊知導入，教師可先帶學生復習20以內進位加法，然后提升難度，設計？+9=12，？+8=12……此類加法問題，在復習舊知的同時幫助學生鞏固原有知識，又為之后本節課的“想加法，做減法”教學做鋪墊。

（2）結合情境，優化算法。

結合教材主題圖，將算法多樣化教學融入教學活動之中。教材第一幅圖是平十法，將一筐13個桃子，先拿出了3個，后又拿出了6個；第二幅圖是破十法，從13個桃子中拿出10個，剩下了3個，再從10個中拿掉9個；而第三幅圖，則是給出了一堆9個桃，另外一堆桃子被遮擋住了，讓學生思考有了9個桃子，再加幾個才是13個。這里教師可以讓學生利用簡單的學具圓片來代替桃子，自己動手將課本所給的圖片進行實際的操作，以幫助學生從實際情境中去理解真正的算理。

然后教師可以根據各種不同的算法的特點，創設情境性練習。

①針對一個一個減算法進行如下設計：小猴買了12個桃子，每天吃1個，這樣連續吃了9天，你知道小猴子還剩幾個桃子沒有吃嗎？這時學生都會以各自所掌握的不同的方法進行解答，而有的學生可以很快解答得出結果，有的學生則非常慢，這就體現了算法之間的差異，讓那些用逐一減的學生得以思考，進而對自身的算法進行優化，實現初步的最優。

②針對破十法：小猴媽媽出門了，給小猴留下了2堆桃子，一堆有10個，另外一堆有6個，媽媽囑咐小猴，今天一天只有這些桃子能吃，可是貪吃的小猴一下子就吃了9個桃子，它今天還能吃幾個桃子呢？學生在這樣的引導之下就能發現我們可以先用10-9再加上6得到結果，好像相比于第一種方法簡化了很多。確實“破十法”對于低年級的學生來說是比較容易理解和接受的，大多數學生在優化自身算法后便也能熟練地運用破十法進行問題的解決。

③針對平十法：小猴一個人在家里無聊，于是打電話找來了它的好朋友小花貓來陪它玩，小花貓給小猴帶來了15個桃子，小花貓不喜歡吃桃子，所以只吃了3個，而小猴可喜歡吃桃子了，所以小猴吃了6個，同學們知道它們兩個吃完后還剩幾個桃子嗎？平十法可以讓大多數學生都掌握、運用，并且能讓學生自主動手研究學習，計算時也相對簡單、快捷。

（針對②③的教學設計，筆者建議可以制作適當的PPT，進行動畫演示，以具體的動態實物為例，可以讓低年級的學生更好地把握題目意思）

④針對想加法，算減法：小猴媽媽回來了，還帶回來兩籃桃子，媽媽告訴小猴，這次一共帶回來17個桃子，并告訴小猴子一個籃子里裝了9個桃子，那另一個籃子裝了幾個呢？你能幫助小猴算一算嗎？這個方法看似簡單，但對于低年級的學生來說顯然其思維水平更上了一層樓，要求學生能將加法進行逆運算，對于一些基礎并不是很扎實的學生來說要求過于偏高了。

在進行完這些題目的練習、講解后，教師可以幫助學生一起分析、比較、歸納各種算法的特點，也可以讓學生自己說說，然后選擇自己喜歡的算法和小組成員交流一下所選擇的算法。相信通過這樣的自我完善的過程后，學生在保留了自己個性化算法的同時，也對其他的不同的算法有了新的體會和認識，對自己本身算法的缺陷也得到了彌補，找到了一種屬于自己的最優算法。到此，本堂課的教學目標也已完成——讓學生在張揚個性后得到多樣化算法，并對自身的算法進行改善、優化，最終找到了自己的初步算法歸宿。

算法的多樣化是“放”，算法的優化是“收”，教師只有在這一收、一放之間，做到收放自如，才能在多樣化的背景下，讓學生在彰顯個性的同時，又能得到進一步的發展，在培養創新性思維的目標中，又有所改進和提高。唯有“多中擇、因人擇、因材擇、擇而優、優而用”，才能讓多樣化的算法和最優的算法得以相輔相成。