航空發動機直通型篦齒徑向變形穩健性優化

陳志英，李建福，周 平，劉 勇

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京100191）

0 引言

篦齒封嚴結構憑借著結構簡單以及在高溫和高轉速下具有高可靠性等優點在航空發動機中得到了廣泛應用[1]。其封嚴質量直接影響發動機的效率及可靠性，眾多學者對影響其封嚴質量的影響因素進行了大量的研究。紀國劍[2]針對幾種典型篦齒封嚴結構，研究了結構尺寸、壓比及轉速等參數對篦齒封嚴特性的影響規律。胡旭東等[3]對篦齒進行了泄漏性實驗研究并得出篦齒的封嚴間隙是影響其密封效果的因素之一。張勃等[4]研究了篦齒幾何參數對對流換熱系數的影響，得出篦齒封嚴間隙是影響其變化的主要因素。杜發青等[5]通過研究篦齒幾何參數對泄漏特性的影響，發現封嚴間隙對泄漏特性影響顯著。而對于航空發動機渦輪篦齒結構而言，轉子運轉時在外載荷的作用下產生的徑向變形會導致封嚴間隙變化，進而影響封嚴效果[6-7]。以上文獻研究表明封嚴間隙變化對封嚴特性有重要的影響，而篦齒徑向變形又是導致封嚴間隙變化的主要原因，因此對篦齒在動態下的徑向變形進行準確估計有助于更加合理地控制封嚴間隙。由于在工程實踐中篦齒結構尺寸、材料以及載荷等參數具有不確定性，因此使得動態下的篦齒徑向變形會呈現不確定性，從而影響封嚴間隙的估計。因此在進行篦齒徑向變形計算時必須考慮參數不確定性的影響才更加符合工程實際。

穩健性設計可以有效降低參數變化對目標響應的影響程度[8-9]，其在航空航天領域得到了廣泛應用[10-12]，優化結果表明優化后的目標響應對參數變化的敏感性降低。因此對篦齒結構徑向變形進行穩健性設計將有效降低參數變化對篦齒徑向變形的影響程度，從而準確評估運轉狀態下的封嚴間隙變化。對于復雜結構的穩健性優化而言，直接利用有限元方法進行優化求解將非常耗時，不能很好地滿足工程應用的需要。而近似模型方法如Kriging、支持向量機以及多項式響應面的出現，很好地解決了復雜結構的優化效率問題，并在工程計算中得到了廣泛應用[13-15]。對于高度非線性復雜函數關系的擬合，支持向量機與其他近似模型相比具有小樣本、預測精度高等特點[16]，更加適合復雜模型的工程應用計算。

本文提出一種基于最小二乘支持向量機模型的穩健性優化方法，對篦齒結構徑向變形進行穩健性優化設計。首先利用LS-SVM模型建立參數與篦齒徑向變形之間的近似函數模型，并進行參數靈敏度分析。考慮到輸入參數中尺寸變量為區間變量，而其他參數為隨機型變量的情況，選擇分位數區間法[17]建立穩健性優化模型，然后對建立好的穩健性優化模型進行優化求解。

1 穩健性優化模型

1.1 最小二乘支持向量機

最小二乘支持向量機（LS-SVM）是一種針對非線性函數擬合的高精確度近似模型方法[18]，假定一個樣本訓練集{xi,yi}（i=1,2,…,N），其中xi∈Rn為樣本輸入，yi∈Rn為樣本輸出。根據統計學理論通過把支持向量機的不等式約束變為等式約束，并用平方損失函數代替不敏感損失函數，可得到最小二乘支持向量回歸機的數學模型[19]

式中：e=[e1,…,eN]，為預測值與真實值之間的誤差；c∈R+，為用來控制模型復雜度和訓練誤差的正則化參數；φ（xi）為把輸入空間中的非線性擬合問題轉化為線性擬合問題的變換函數。

求解式（1）之前需要構造一個Lagrange函數

式中：a=[a1,…,aN]T，為 Lagrange 乘子。

式（2）的最優化條件即 Kuhn-Tucker（KT）條件[20]為求解得

對式（3）中的線性方程組進行求解可得LS-SVM近似模型

式中：k（x,xi）=φ（x）T·φ（xi），為核函數。

1.2 穩健性優化模型的建立

穩健性優化通過選擇合適水平的設計參數使得所有參數變化對目標響應影響程度降低，提出的基于LS-SVM與概率分位數區間方法的穩健性優化技術流程如圖1所示。

圖1 基于LS-SVM與概率分位數區間法的穩健性優化過程

圖1描述了穩健性優化模型建立的過程，其核心點包括：用有限元方法對篦齒結構進行徑向變形確定性分析，在考慮各參數不確定性分布的情況下利用拉丁抽樣法抽取若干樣本，利用抽取的樣本建立參數與目標響應之間的LS-SVM近似模型。近似模型與有限元方法相比，在保證一定的計算精度的情況下，可以大大減少優化迭代時間，提高計算效率。

考慮到近似模型預測誤差以及各參數具有不同的分布特性，選用分位數區間模型[17]建立穩健性優化模型。分位數區間模型的使用可降低由于參數分布不同以及近似模型計算誤差對目標響應統計結果的影響，提高計算結果的可信度。

2 篦齒徑向變形的穩健性優化

選取某發動機渦輪轉子篦齒封嚴結構，篦齒環與轉子左側套筒之間為面-面接觸式連接，具體結構如圖2（a）所示。圖2（a）左側為篦齒封嚴結構局部示意圖，從圖中可以看出篦齒封嚴間隙c隨著篦齒徑向變形而發生變化。

2.1 有限元模型與參數

首先利用UG軟件對選取的某發動機渦輪轉子與篦齒結構進行建模，然后導入有限元軟件ANSYS中進行熱-機械耦合徑向變形分析，建立的有限元計算模型如圖2（b）所示。其中渦輪盤材料牌號為GH4033，渦輪葉片材料牌號為K419，篦齒材料牌號為GH742。接觸問題采用面-面接觸并用罰函數法求解，接觸摩擦系數取0.3。有限元分析過程中溫度載荷通過給定盤心以及葉尖溫度以函數插值方式加入到渦輪轉子。

圖2 直通型篦齒結構

由于篦齒環與渦輪盤套筒的面-面連接特點，渦輪盤套筒的徑向變形與篦齒環的徑向變形相互影響。在不影響渦輪轉子徑向尺寸鏈初始設計的情況下，選取渦輪盤部件5個位置的尺寸作為設計參數，具體選取位置如圖2（a）所示。其中X1為輪盤輻板中間位置的軸向尺寸，X2和X3分別為輪盤左側和右側套筒邊緣到輪盤中心線的軸向尺寸。綜合考慮渦輪部件許用強度以及部件質量，以設計參數的初始設計值為優化區間上限進行質量約束，以輪盤強度為約束設定設計參數優化區間下限，具體數值見表1，表中的上限和下限表示設計參數設計點的優化區間，所有尺寸設計點的不確定性區間均為[-0.001 mm,+0.001 mm]。

表1 設計參數的優化區間

考慮到運轉狀態下轉子轉速以及溫度不確定性對篦齒徑向變形的影響，將轉子轉速ω、盤心溫度t1、葉尖溫度t2也作為隨機變量，具體數值見表2[21]。而渦輪盤、渦輪葉片以及篦齒的材料參數也具有不確定性,因此選擇彈性模量E、密度ρ、熱傳導率λ、線性膨脹系數α作為材料的隨機參數，具體數值見表3[22]。

表2 隨機參數溫度以及轉速均值及標準差

表3 渦輪葉片、渦輪盤、篦齒材料的隨機參數均值及標準差

2.2 LS-SVM模型的建立

首先利用有限元方法對篦齒徑向變形進行計算抽取150組訓練樣本，然后采用LS-SVM模型建立參數與變形之間的近似函數。利用有限元方法隨機抽取10組樣本對建立的LS-SVM近似模型進行預測精度驗證，驗證結果如圖3所示。通過計算得到預測值與驗證樣本均方根的誤差為4.5×10-3，其最大相對誤差小于1%。

2.3 參數靈敏度分析

考慮到LS-SVM近似模型難以求導，文中選用Morris方法求解參數對變形的靈敏度[23]，并假設各參數之間相互獨立。求解的參數靈敏度如圖4所示。

圖4中1～3依次為設計參數Xi（i=1,2,3），可以看出設計參數中X1靈敏度最大；其次為X2和X3。4～6分別為轉速ω、盤心溫度t1、葉尖溫度t2的靈敏度；7～18依次為渦輪葉片、渦輪盤、篦齒的密度ρ，以及線性膨脹系數α、彈性模量Ε、熱導率λ的靈敏度。

圖3 LS-SVM預測值與驗證樣本

圖4 參數靈敏度分析結果

從圖4中可見，渦輪盤線膨脹系數的影響最大，篦齒環的線性膨脹系數的影響次之，這是由于在運轉情況下，渦輪盤與篦齒環裝配處的渦輪盤左側套筒的徑向變形量小于篦齒環的徑向變形量，因此輪盤左側套筒的徑向變形對篦齒徑向變形起主導作用；其次，渦輪盤和篦齒彈性模量以及熱傳導率的影響也較為明顯，而其余參數對變形影響相對于以上參數都較小。

2.4 篦齒徑向變形的穩健性優化模型

對于工程實際而言，雖然數據呈現某種分部特性，但其不確定性區間也是有界的，并不是隨著分布特性一直延伸。因此選用工程常用的[μ-3σ,μ+3σ]區間來描述其不確定性波動范圍，對于正太分布而言，將其轉換為分位數區間，其模型為[W0.0013,W0.9987]。因此，對建立好的LS-SVM近似模型進行蒙特卡洛法進行104次抽樣分別計算W0.0013和W0.9987分位數進而計算分位數區間值，建立好的優化模型為

式中：X為設計參數向量，其優化區間見表1；z為隨機參數向量，見表為分位數區間；函數 g（X，z）與g*分別為轉子應力與許用應力值。

2.5 結果與分析

建立好穩健性優化模型后，采用果蠅優化算法[24]對優化模型進行優化迭代求解，優化前后蒙特卡洛抽樣后的篦齒徑向變形直方圖如圖5所示，其中圖5（a）為優化前，圖5（b）為優化后。優化前后參數與概率分位數區間數值見表4。從圖5中可見，優化前后的直方圖中間部分基本服從正態分布，而邊緣數據呈現出一定的離散隨機性，如果直接采用概率標準差作為優化目標結果將隨著邊緣數據離散隨機程度呈現一定的隨機性。而概率分位數區間的方法可以剔除邊緣數據影響，因此統計結果將更為穩定和精確。

圖5 蓖齒徑向變形

表4 穩健性優化前后的結果

從表4中可見，優化后的徑向變形分位數區間比優化前減少了6%，有效降低了篦齒徑向變形對參數變化的敏感性，可以更為精確地估計發動機運轉狀態下封嚴間隙變化的情況，并為合理控制封嚴間隙提供一定的參考。

為了更直觀地反映穩健性優化后參數對篦齒徑向變形的影響程度，根據圖4選取篦齒徑向變形相對較大的參數，對其優化后的參數靈敏度進行求解并與優化前進行對比，具體數值見表5。

表5 優化前后參數靈敏度的分析結果

表5中材料參數下標d和l分別表示渦輪盤和篦齒，從優化前后靈敏度數據來看，對篦齒變形影響較大的參數的靈敏度值都有不同程度的減小。優化前后靈敏度分析的結果也驗證了基于概率分位數區間的穩健性優化方法的有效性。

3 結論

（1）本文針對篦齒結構，在考慮參數不確定性的情況下，對篦齒轉子結構徑向變形進行了穩健性優化，優化后的分位數區間比優化前減少了6%，有效降低了參數變化對篦齒徑向變形的影響程度，為合理設計以及控制篦齒封嚴間隙提供了一定參考。

（2）提出的基于LS-SVM模型的穩健性優化方法可有效地解決篦齒等復雜結構在進行優化分析時迭代時間較長的問題，在保證計算精度的情況下可提高計算效率。

（3）在后續計算中還需對篦齒封嚴靜子結構徑向變形進行分析，以便對篦齒封嚴間隙進行精確估計。

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