用整體代入法解決數學問題

袁宏觀

整體思想，就是在研究和解決數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法.整體代人法是解代數題的一種重要而又基本的方法，對求代數式的值、解方程（組）等問題，都行之有效.整體代入法是初中階段比較常用的方法，運用整體代入法解決有關數學問題能使有些問題做起來比較簡單，能夠起到事半功倍的效果.

例1 甲、乙二人相對而行，他們相距10千米，甲每小時走3千米，乙每小時走2千米，甲帶著一條狗，狗每小時跑5千米，狗跑得快，它同甲一起出發，碰到乙的時候向甲跑去，碰到甲的時候又向乙跑去，如此繼續往返，問當甲、乙兩人相遇時，這條狗一共跑了多少千米？

【分析】這是我國著名數學家蘇步青在德國時，德國一位數學家給他出的一道題，蘇教授很快就解出了這道題目.這道題的難點就是甲身邊的那條狗.如果我們先計算狗從甲的身邊跑到乙的身邊的路程，再計算狗從乙的身邊跑到甲的身邊的路程……如此把狗跑的路程相加，這樣很煩瑣、笨拙且不易計算.蘇教授從整體著眼，根據甲、乙出發到相遇經歷的時間與狗所走的時間相等，問題就迎刃而解了.

解：設兩人從出發到相遇用x小時，

3x+2x=10，x=2.

∴狗共跑了2×5=10千米.

【點評】蘇教授在解題時，把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，從而能觸及問題的實質：狗從出發到甲、乙兩人相遇所用的時間恰好是甲、乙二人相遇所用的時間，從而使問題得到巧妙地解決.蘇教授這種解決問題的思想方法實際上就是數學中的整體思想的應用.對于某些數學問題，靈活運用整體思想，常可化難為易，捷足先登.

例2 已知2x2+3x-1=5，則代數式-6x2-9x+1的值為（ ）.

A.17 B.18 C.-18 D.-17

【分析】本道題如果直接解方程比較麻煩，因為它的實數解是無理數，并且有兩個不相等的無理數解，代入也比較麻煩，若把所求的代數式變形，運用整體代入，則不僅化難為易，且妙趣橫生.

解：∵2x2+3x-1=5，

∴2x2+3x=6，

∴-6x2-9x+1=-3（2x2+3x）+1

=-3×6+1=-17.選D.

【點評】要想準確、迅速地解答化簡（計算）求值題，必須認真審題，在真正理解題意、弄清題目要考查的對象后，才能做到目標明確、有的放矢.

例3 已知當x=m時，代數式ax5+bx3+cx+1的值是4，求當x=-m時，代數式ax5+bx3+cx-1的值.

【分析】本題應將x=m代入代數式ax5+bx3+cx+1中去，這樣與所求的代數式有內在的聯系，便于整體代入.

解：由已知得：當x=m時，代數式ax5+bx3+cx+1=am5+bm3+cm+1=4，

∴am5+bm3+cm=3.

當x=-m時，代數式ax5+bx3+cx-1

=a（-m）5+b（-m）3+c（-m）-1

=-（am5+bm3+cm）-1=-3-1=-4.

【點評】本題兩個代數式中未知部分相同，且x的指數都為奇數，所以當x取值互為相反數時，這部分代數式的值就互為相反數.

【分析】常規的思路是先解方程組，用k表示x，y，然后再代入不等式求解，這樣做比較麻煩.如果我們著眼于“x+y”這個整體，只要將方程組中兩個方程“整體相加”便可用k表示出x+y，進而達到目的.

解：將方程組中①+②，得3x+3y=3k-3，即x+y=k-1，又x+y＞1，所以k-1＞1，解之得k＞2，所以k的取值范圍為k＞2.

【點評】解此類問題關鍵在于，我們要發現方程組與所提供的關于未知數的不等式之間的內在數量關系，以便確定兩個方程組是相減還是相加，或者是將方程適當變形后再加、減.

例5 若買鉛筆4支，筆記本3本，圓珠筆2支，共用11元；若買鉛筆9支，筆記本7本，圓珠筆5支共用25元.求買鉛筆1支，筆記本1本，圓珠筆1支，共需多少元？

【分析】設鉛筆、筆記本、圓珠筆的單價分別為x元，y元，z元，由題意得要求的是x+y+z.由已知條件只得出兩個三元一次方程，如果想求出x、y、z再代入，辦不到；若把x+y+z視為整體，問題就容易解決了.為此，將方程組變形為解得x+y+z=3，即購買鉛筆1支，筆記本1本，圓珠筆1支，共需3元.

【點評】在求解某些數學問題時，把一個較復雜的式子當作一個整體，根據其本身結構特征作整體處理，就能開拓思路，迅速求解.

【點評】用整體的方法去思考問題，對所要求的式子進行適當變形，然后結合所給的條件，對條件進行小變形，這樣就可以達到事半功倍的效果，解決問題又快又簡單.