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以靜制動
——談動態問題的解決之道

2018-06-21 03:29:12高靈敏
初中生世界 2018年23期

高靈敏

動態問題顧名思義就要有動的元素.可以是某一元素或兩元素,它們的運動變化導致問題的結論改變或者保持不變,這揭示了“運動”與“靜止”,“一般”與“特殊”的內在聯系.

解這類問題的關鍵是分清幾何元素運動的方向和路徑,注意在運動過程中哪些是變量,哪些是不變量,并且正確分析變量與其他量之間的內在聯系,建立它們之間的關系,有時還要根據幾何元素所處的不同位置加以分類討論.這類試題還往往要綜合運用勾股定理、相似三角形、方程、函數等知識來解決.

例1 (2017·徐州)如圖1①,菱形ABCD中,AB=5cm,動點P從點B出發,沿BC—CD—DA運動到點A停止,動點Q從點A出發,沿線段AB運動到點B停止,它們運動的速度相同.設點P出發xs時,△BPQ的面積為ycm2.已知y與x之間的函數關系如圖1②所示,其中OM,MN為線段,曲線NK為拋物線的一部分,請根據圖中的信息,解答下列問題:

圖1

(1)當1<x<2時,△BPQ的面積(填“變”或“不變”);

(2)分別求出線段OM,曲線NK所對應的函數表達式;

(3)當x為何值時,△BPQ的面積是5cm2?

【分析】(1)根據函數圖像即可得到結論;(2)設線段OM的函數表達式為y=kx,把M(1,10)代入即可得到線段OM的函數表達式;設曲線NK所對應的函數表達式為y=a(x-3)2,把(2,10)代入得到曲線NK所對應的函數表達式;(3)把y=5分別代入y=10x和y=10(x-3)2即可得到答案.

解:(1)由函數圖像知,當1<x<2時,△BPQ的面積始終等于10,所以當1<x<2時,△BPQ的面積不變.

(2)設線段OM的函數表達式為y=kx,

∵圖像過M(1,10),∴10=k,

∴線段OM的函數表達式為y=10x;

∵點P作勻速運動,且菱形的各邊相等,故P在三邊上運動所需時間相同.

∴K(3,0),∴設曲線NK所對應的函數表達式為y=a(x-3)2,

∵圖像過(2,10),

∴10=a(2-3)2,解得a=10,

∴曲線NK所對應的函數表達式為:

y=10(x-3)2.

【點評】這類題的一般做法是:弄清兩圖的對應關系,即弄清點P、Q如何運動可得到右圖對應的圖像,但該題只要重點看右圖即可解決.本題有個小“陷阱”,只說P、Q運動速度相同,沒說運動起始時刻是否相同,若你有P、Q同時運動的思維定式,可能會繞不出來.

例2 (2017·無錫)操作:“如圖2,P是平面直角坐標系中一點(x軸上的點除外),過點P作PC⊥x軸于點C,點C繞點P逆時針旋轉60°得到點Q.”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換.

圖2

(1)點P(a,b)經過T變換后得到的點Q的坐標為 ;若點M經過T變換后得到點N(6,-3),則點M的坐標 .

(2)A是函數y=3x圖像上異于原點O 2的任意一點,經過T變換后得到點B.

①求經過點O、點B的直線的函數表達式;

②如圖3,直線AB交y軸于點D,求△OAB的面積與△OAD的面積之比.

圖3

【分析】(1)連接CQ,可知△PCQ為等邊三角形,過Q作QD⊥PC,利用等邊三角形的性質可求得CD和QD的長,則可求得Q點坐標;設出M點的坐標,利用P、Q坐標之間的關系可得到點M坐標的方程,可求得點M的坐標.

(2)①可取A(2, 3),利用T變換可求得B點坐標,利用待定系數法可求得直線OB的函數表達式;②用同底的兩個三角形面積之比等于高的比,可求得△OBD的面積與△OAD的面積之比,進而求出△OAB的面積與△OAD的面積之比.

解:(1)如圖4,連接CQ,過Q作QD⊥PC于點D,由旋轉的性質可得PC=PQ,且∠CPQ=60°,∴△PCQ為等邊三角形,

圖4

【點評】該題首先要弄懂T變換;其次一般表示點A會含有字母,我們這里直接取定點A(2, 3),用了以“特殊”代替“一般”的思想.

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