鋼桁拱橋極值點失穩問題有限元分析

劉 洋,王 楠

(1.武漢港灣工程質量檢測有限公司，武漢 430040；2.海工結構新材料及維護加固技術湖北省重點實驗室，武漢 430040；3.中交武漢港灣工程設計研究院有限公司，武漢 430040)

現代鋼拱橋建設在我國起步較晚，理論研究也落后于國外[1,2]，得益于近幾十年來國內大跨度拱橋的大量修建，其跨徑不斷增加，矢跨比提高，相對剛度減弱，可見高聳的桁架結構受側向風荷載作用不容忽略[3,4]，尤其在主拱懸拼過程中，側向剛度較小，對側向風荷載更為敏感，因此不得不關注鋼桁架拱橋的抗風穩定性。目前國內對鋼桁架拱橋穩定性的研究重點主要集中在恒載、施工臨時荷載和汽車活載等作用下的第一類穩定性[5]，對風荷載的分析仍然以影響因素的形式加以考量，較少關注施工過程中的抗風穩定性，尤其是極值點失穩問題，為此，對鋼桁架拱橋施工過程中的彈塑性穩定分析很有必要。

1 極值點失穩問題的有限元分析

極值點失穩問題的分析過程可以理解為同時考慮幾何非線性和材料非線性的極限承載力問題，結構達到極限承載能力時，表現為結構完全崩潰，有限元[1,6]中，即為考慮幾何非線性和材料非線性對結構剛度的影響，通過求解非線性平衡方程，得出結構的極限承載力，求解方法通常采用荷載增量法[6-8]。結構在外荷載不斷增加的過程中，結構剛度也不斷呈非線性變化，當材料進入塑性狀態后，材料非線性對結構剛度也會產生影響，隨著結構剛度矩陣趨于奇異，結構承載能力達到極限，在整個過程中，可用增量方程表示為[6]

(0[K]o+0[K]L+0[K]σ){Δu}i={ΔP}i

(1)

其中，{ΔP}i為第i步荷載增量，{Δu}i為荷載增量{ΔP}i導致的節點位移增量。在求解極限承載力時，有如下兩個問題需要注意。

1.1 荷載增量的選取

在程序計算過程中，荷載是被分成若干步荷載的形式施加到結構上的，在計算開始時，位移近似呈線性變化，隨著荷載的不斷加大，初應力剛度影響越來越顯著，切線剛度矩陣和單元剛度矩陣行列式的值逐漸減小，荷載位移曲線趨于平穩，因此在荷載增量選取時可以在計算開始時適當取得大點，節約計算時間，同時，在將要達到極限承載能力時，較大的荷載增量使得計算結果難以收斂，因此需要逐步減小荷載增量，在程序分析時，可以采用自動荷載步的方式。ANSYS有限元軟件實現自動荷載步的方式主要是打開自動步長，根據前一荷載步荷載在分析計算時的迭代次數來確定當前荷載步的荷載增量，若前一步荷載在設定的迭代次數內未能收斂，則采用二分的形式重新劃分荷載增量并繼續計算。另外選取荷載增量的方式還可以依據特征剛度法[9]，表示為

[Ki]={ΔP}i/Δui

(2)

其中[Ki]表示第i步結構的特征剛度，{ΔP}i為第i步荷載增量，Δui為第i步結構位移中最顯著的一個節點增量位移分量，第i+1步荷載增量的計算依據第i步結構的特征剛度而選取，表示為

{ΔP}i+1/{ΔP}i=[Ki+1]/[Ki]

(3)

由此可以確保荷載增量開始較大，隨著結構趨于失穩時，荷載增量逐漸減小，由于[Ki+1]是未知的，則下一荷載步的荷載增量可以改寫為

{ΔP}i+1={ΔP}i·[Ki]/[Ki-1]

(4)

1.2 位移增量法

荷載增量法僅適用于極值點前的屈曲分析，在極值點處，結構的切線剛度矩陣的行列式值為零，因此無論荷載增量多小，結構都不可能發生相應的位移增量以達到平衡，也就是說計算不能收斂，為此荷載增量法無法逾越極值點，為進行后屈曲分析，我們可以在極值點處，采用位移增量法以替代荷載增量法。一般而言，可以將剛度矩陣重新排列，使得要控制的位移列到最后一項，對原剛度矩陣進行分塊，增量平衡方程可表示為

(5)

式中,Δλ為控制荷載增量步長的系數，(R1,R2)T為求解迭代過程中的不平衡力向量。上式可進一步改寫為

(6)

在極值點處迭代時，通過給定位移增量Δu2的值，可以求出相應的位移增量Δu1和荷載增量步長的系數Δλ，由于位移增量影響結構的剛度矩陣，求解過程中需要反復迭代運算，當(R1,R2)T的值在收斂容差內，則計算收斂。

2 工程背景

2.1 項目簡介

此項目北起于規劃永安南路，自北向南布置，經規劃潘臺路、航空路、規劃路、唐白河、濱河路，后止于規劃金沙路，主線全長1.945 km。主線橋起訖點樁號為K0+200～K2+145，其中橋梁起訖點樁號為K0+340.5～K1+913.5，全長1.573 km，主橋為跨徑組合(70+240+70) m的下承式鋼桁架拱橋，橋面全寬43.9 m。

全橋橋型布置圖如圖1所示。

2.2 建立計算模型

該文采用ANSYS有限元軟件進行分析計算，計算模型中鋼桁桿件、橫縱梁和臨時吊索塔架構件均采用BEAM189單元進行模擬，吊桿、扣索、背索和臨時系桿均采用LINK10單元模擬，橋面板采用SHELL63單元模擬，實常數根據實際橋面板厚度設置，吊索塔架與主體結構進行鉸接，通過不耦合相應兩節點繞橫橋向的轉動自由度加以實現。主體結構及臨時施工構件的幾何參數按照設計圖紙取值，鋼材的彈模取為206 GPa，拉索的彈模取為195 GPa，為實現材料非線性，鋼材采用雙線性隨動強化(BKIN)的理想彈塑性材料，屈服準則采用Von Mises屈服準則。主橋鋼結構除部分中支點處下弦桿采用Q390D鋼材外其余均采用Q345D鋼材；橋面板采用C50的混凝土；吊桿為強度等級為1 770 MPa的φ7成品高強鋼絲，規格為PES7-109；柔性系桿采用強度等級為1 860 MPa的56φ15.24鋼絞線。扣塔除立柱和橫聯采用Q345B的鋼材外，其余立柱剪力撐均采用Q235B鋼材；扣索和背索采用φ15.24低松弛鋼絞線，每桁均由2組140φ15.24鋼絞線組成。

鋼桁拱橋考慮施工階段的有限元模型如圖2所示，共有個13 567節點，共10 732個單元。另外，成橋狀態下拱橋縱梁邊界條件布置圖如圖3所示。

2.3 結果分析

穩定性分析也即屈曲分析，屈曲分析是一種用于確定結構在外荷載作用下開始變得不穩定時的臨界荷載值和屈曲結構發生屈曲響應時的模態形狀的技術。屈曲分析包括線彈性屈曲分析和非線性屈曲分析，線彈性屈曲分析在ANSYS軟件中對應特征值屈曲分析，非線性屈曲分析也即考慮幾何非線性和材料非線性雙重非線性的極限承載力分析。特征值屈曲分析的理論前提是材料始終處于線彈性階段，結構變形處于小撓度范圍內，只適用于理想結構，求解結果偏安全，但也有其工程意義，此外，其求解結果為極限承載力分析提供了荷載理論上限，對后續非線性屈曲分析的荷載取值具有指導意義，因此對結構進行線彈性穩定分析也很有必要。

2.3.1 一階穩定性在ANSYS中分析方法

特征值屈曲分析求解結果包括λ和{u}，即為荷載系數和屈曲模態，在軟件中實施的具體步驟如下：

1)靜力分析

進入靜力分析求解類型，打開預應力效應，PSTRES,ON，施加荷載進行求解；

2)模態分析

重新進入求解模塊，選擇模態分析類型，指定屈曲分析選項，求解完成，進入后處理模式。

2.3.2 恒載及安裝荷載下的一階穩定性

施工過程中除了主體結構及臨時結構自重和拉索內力外，中跨拱肋合龍前還存在邊跨壓重，通過ANSYS有限元軟件對鋼桁拱橋施工過程中4個特定工況在恒載和安裝荷載作用時的彈性穩定性進行分析，得出如下結果，見表1。

表1 各工況下恒載和安裝荷載一階穩定系數

注：表中穩定系數λ=極限荷載/單倍荷載。

考慮恒載和安裝荷載作用各工況下失穩模態如圖4所示。

從分析結果可以看出，吊索扣塔安裝前穩定安全系數較高，失穩形態主要表現為桁架腹桿局部失穩；安裝吊索扣塔后，拆除邊跨的臨時支架，隨著中跨節段的拼裝，荷載不斷加大，此時結構失穩表現為吊索塔架面外壓彎屈曲；隨著中跨荷載不斷加大，穩定安全系數不斷減小，安裝至主梁合龍段時，結構的失穩安全系數降至10.26；吊索塔架拆除后，卸載邊跨壓重，成橋狀態在恒載作用下的安全系數達到9.81，失穩形態表現為主拱面外反對稱失穩。總之，在恒載和安裝荷載作用下，施工過程中及成橋狀態的穩定性系數均較高。

3 結 論

a.靜風荷載一階穩定系數值均較大，可以看出施工過程及成橋狀態時整體抗風性能良好，結構抗風可靠度較高；

b.各工況下失穩模態均表現為第一道風撐平聯桿件面外的局部失穩，對于高聳的扣塔而言抵抗側向風安全性能良好，拱肋合龍前，隨著懸臂長度不斷增加，拱肋的橫向風荷載穩定安全系數不斷減小，隨著拱肋和主梁的合龍，側向剛度增大，穩定系數略有增大。

[1] 姜禮尚．有限元方法及其理論基礎[M]．北京：人民交通出版社，1980．

[2] 梅建松．大跨度鋼拱橋穩定性及極限承載力的研究[D]．武漢：武漢理工大學，2005．

[3] 李國豪．橋梁結構穩定與振動[M]．北京：中國鐵道出版社，2003．

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