介入手術機器人滑輪繩索系統傳動特性的研究*

殷 杰，齊 飛，鞠 峰，陳 柏

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

隨著達芬奇手術機器人的出現和推廣應用[1]，機器人輔助介入手術系統得到廣泛的關注，國內外很多學者對這個領域展開一系列研究。相比于傳統介入手術治療，機器人技術能夠提高醫療器械靈巧性和控制精度，同時能大大提高手術成功率和降低醫生的疲勞程度[2]。當微創介入導管機器人進入人體時，保證機器人運動精度是非常關鍵的，很小的力損失都會對人體造成傷害，甚至威脅病人的生命。因此，手術機器人精確力控制一直是研究的熱點和難題[3]。為了實現精確力控制，需要研究手術機器人系統的力傳輸特性。

介入導管手術機器人主要采用繩索驅動機構[4]，能在狹小的血管中運動，減小體積和重量，有較高的靈活性。然而，由于滯后、側隙、死區等非線性問題，繩驅動方式存在一些缺陷，這些非線性行為導致張力損失和系統性能差[5]。根據機械結構傳動模型進行劃分，繩驅動結構大致可以兩種：一種是通過滑輪進行換向，其傳動路線固定；第二種可以通過套索進行傳動，其傳動路線可以是任意方向。這兩種傳動方式在醫療機器人中都有所應用，如下肢外骨骼康復機器人，達芬奇手術機器人，Sensei送管機器人系統，腹腔鏡手術機器人等[6]。但是由于在傳動過程中存在非線性摩擦，導致在使用力控制模型控制導管機器人時，難以準確控制其驅動力的大小。

一種解決方式是在傳動系統末端添加傳感器測量實際輸出力，但是由于機器人機械結構復雜且微小，不易直接在末端添加傳感器。同時傳感器對環境的要求很高，在插管實驗時人體環境會對其較大干擾，導致精度下降。

另一種方式是通過建立傳動模型對輸出力進行實時預測和計算，這種方式是現在主流的研究方向。吳青松等[7]推導了任意負載條件下的雙套索力矩傳動模型，并通過試驗驗證雙套索系統在正弦輸入各階段力矩傳動關系，并建立摩擦補償模型；GAO Xiao-ping[8-9]對Capstan方程進行改進，引入power法則摩擦力和彎曲剛度對高性能的紗線傳動模型進行分析，為精確控制張力提供理論依據；XUE Ren-feng[10]將該方法應用于腹腔鏡手術機器人末端執行器，并提出了力和位置補償策略；PENG Yun[11]基于任意拉格朗日歐拉耦合法，提出了有效的摩擦索滑輪系統多體建模方法。

針對介入導管機器人的滑輪繩索傳動結構，本文在Capstan方程基礎上，建立系統傳動模型，并分析傳動過程中非線性摩擦力，通過仿真和實驗分析傳動模型的準確性，在不加入傳感器的情況下，準確預測繩索末端輸出力。

1 滑輪繩索系統

在機器人驅動單元中由于繩索需要換向和預緊，在傳動系統中常使用滑輪進行傳動和換向，同時在繩驅動機器人系統中存在非線性摩擦和導管本體反作用力，在手術過程中很難預測力和位置[12-14]。本文建立了驅動單元的力傳遞模型，以便更好地實現導管力控制，保證導管介入的安全性和可靠性。

介入導管機器人單節繩索通過兩組滑輪進行轉向，最終將力傳遞到導管前端。導管采用單線驅動方式，其本身可以看成彈性體，施加外力變形，撤去外力恢復原狀，因此可以用彈簧等效為導管本體，機器人驅動模塊滑輪繩索系統圖如圖1所示。

圖1 機器人驅動模塊滑輪繩索系統圖虛線—該狀態下力的方向；P1，P2—兩個滑輪;R0—驅動軸半徑;R1，θ1——滑輪P1半徑和夾角;R2，θ2—滑輪P2半徑和夾角。

整個系統類似于一個開環系統，具有兩種獨立的狀態。實線表示電機正轉時，繩索處于繃緊狀態，此時驅動繩索受到電機輸出力Tin和彈簧阻力Tout的作用，且Tin﹥Tout，繩索收縮，拉緊彈簧，黑色箭頭表示該狀態下力的方向；當電機反轉時，繩索處于放松狀態，且Tin

2 滑輪繩索建模

2.1 經典Capstan方程

經典的Capstan方程用于建立皮帶輪的傳動模型，主要研究摩擦力對其傳動效率的影響，是相對簡單的傳動模型。由于摩擦力和張力的作用，繩索張力在滑輪兩端的力是不相等的。

(1)

式中:Ti-1，i—輸入力；Ti+1，i—輸出力；μ，—摩擦系數；α—包角。

由公式可見，當摩擦系數和包角一定時，輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i成線性關系；當摩擦系數和輸入力一定時，包角越大，輸出力越小；當包角和輸入力一定時，摩擦系數越大，輸出力越小。

2.2 非線性摩擦建模

經典的Capstan方程相對簡單，假設條件較苛刻。僅僅考慮當兩個物體接觸的時候，遵循Amontons準則[15]。Amontons準則只是對純剛體試用，當兩個物體產生粘彈性變形時，遵循Power準則，力的表達式為：

F=aNn,n≤1

(2)

式中：F—摩擦力；N—正向力；a—接觸特性常量1；n—接觸特性常量2。

當n=1時，材料體現塑性變形；當n=0.67時，材料體現出粘彈性變形。當a=μ，n=1時，Power準則和Amontons準則一致。而本文采用的大力馬的釣魚線是一種高強度聚乙烯纖維線，屬于超高分子聚合物，同時具備粘性和彈性。理想彈性體是受到外力形變很小，符合胡克定律，撤去外力后能夠恢復原狀。理想粘性液體是指符合牛頓定律的流體，撤去外力之后不能恢復。在外力作用下，高分子材料的特性會介于彈性和粘性之間。

在滑輪傳動過程中，整個受力過程如圖2所示。

圖2 繩索受力分析圖T—繩子的張力；N—繩子的正壓力；V—運動方向；M—剪切力矩；Q—剪切應力；F—摩擦力；α—包角；Rj—第j個滑輪半徑；r—繩索半徑；R—滑輪半徑與繩索半徑之和

在無限小繩索中點處取原點O，X軸沿切線方向向右。考慮到x，y方向的受力平衡和扭矩M平衡，可以推導出X方向受力平衡：

(3)

Y方向受力平衡：

(4)

M轉矩平衡：

rdF=0

(5)

由于 dα→0，sindα→dα，cosdα→1 ，方程可以簡化為:

(6)

整套系統包括非線性摩擦，但是由于使用了柔性繩，可以忽略彎曲剛度的影響。

把Q=M=0，r=0代入式(3，4)可得：

T=aNn-Tdα+dN=0

(7)

最終可得：

(8)

在Ti-1，i滑輪輸入繩子的輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i，輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i的關系為：

(9)

根據式(9)分析可得：在a，n，θ一定的情況下，輸入力越大，輸出力越大；當輸入力不變時，包角θ越大，輸出力越小。

3 滑輪繩索系統仿真及實驗分析

3.1 仿真分析

本研究令輸出力Ti，i+1=1，改變a和n取值，即改變接觸特性，模擬繩索材料兩種變形狀態，繪制出輸出輸入比例(1/Ti-1，i)隨包角變化的曲線。筆者利用經典模型，當n=1時，改變a的值，繪制出曲線(實線和點虛線)。根據非線性摩擦模型，保證a值為0.15和0.30，分別取n為0.99(塑性變形)和0.67(粘彈性變形)進行仿真。

本研究同時對兩種模型進行對比仿真，一種是經典的Capstan方程模型，另一種是包含非線性摩擦力的滑輪繩索模型，兩種模型仿真對比圖如圖3所示。

圖3 兩種模型仿真對比圖

在經典Capstan方程中，當n=1時，摩擦系數μ=a，得到曲線一、二，兩條曲線在包角變大時，其輸出輸入的比值越小，由于輸出力一定，a越大輸入力越大，力損失也就越大，控制精度相對較差；而考慮其非線性摩擦時，在a不變時，對比塑性變形和粘彈性變形(n=1，n=0.67)，可知塑性變形時，包角和輸出輸入比成負相關，而粘彈性變形時，輸入力和輸出力的差值較小，力損失小，有利于提高控制精度。

對比曲線1(實線)和曲線4(虛線)，其a和n的值是一致的，兩種模型不同，但繪制的曲線相同，由此可見非線性摩擦模型和經典Capstan方程具有一致性，經典Capstan方程是非線性摩擦模型一種特殊情況。

利用非線性模型對輸入力和輸出力進行仿真，使μ=0.3，n=0.67，θ=π，令輸出力：

(10)

式中：f—頻率，f=0.03 Hz；t—時間。

將輸入力代入式(9)，計算Ti-1，i輸入力的大小，同時模擬力損失的大小。

仿真分析圖如圖4所示。

圖4 仿真分析圖

由圖4(a)可知，在一個周期內，輸入力隨時間先變小之后變大，輸出力也是先變小后變大，并且成正弦分布；由4(b)可知，力損失是隨時間近似成正弦分布，在輸入力最大時，輸出力最大，力損失最大；在輸入力最小時，輸出力最小，力損失也最小。

3.2 實驗平臺搭建

本研究對上述兩種模型進行分析，設計實驗驗證理論和仿真的準確性。根據簡圖1搭建實驗平臺，如圖5所示。

圖5 實驗驗證平臺

本研究在輸入和輸出端添加拉力傳感器，以便測量力的大小。拉力傳感器用于測量輸入力和輸出力，利用送變器將力學量轉換成標準電壓信號輸出0～5 V，并直接與自動控制設備接口或與計算機聯網。Maxon電機提供初始的預緊力，以及位置模式下正弦輸出，保證正弦輸出力，實現繩長和力控制。電機控制器用于發送命令控制電機，具有速度、位置和電流模式，同時具有兩個模擬量輸入端口，可以讀取兩個拉力傳感器的數值，并將數據發送至上位機進行處理。

首先在實驗前，需要對兩個傳感器進行標定，保證測量值的準確性。測量時，空載狀態為300 g，分別再加載0，200 g，400 g，600 g，800 g，1 000 g，1 200 g，1 400 g，1 600 g，1 800 g，2 000 g，2 200 g，2 400 g，2 600 g，2 800 g，3 000 g，3 200 g的砝碼，等信號穩定后，讀取電壓值并保存至文本文件中，在Matlab中對其求平均值，在利用cftool工具包擬合曲線，得到兩組標定曲線。

3.3 實驗分析

該實驗利用Maxon電機的位置模式，輸入正弦軌跡：

(11)

式中：β—輸出角度變化，Maxon電機位置模式中以qc為單位，2 048 qc為電機轉一圈的大小。

通過調整電機位置，拉動繩索控制初始預緊力。繩索的伸長量為：

(12)

彈簧的拉力隨伸縮量變化，實驗中阻力的等于彈簧的拉力：

(14)

式中：r1—旋轉軸半徑；k—彈性系數；x彈—彈簧伸縮量(繩索的伸縮量)。

大力馬線受力伸長量很小，可以忽略，因此繩索的伸長量x與彈簧伸縮量x彈相等。

實驗數據分析如圖6所示。

圖6 實驗數據分析圖

如圖6(a)所示，在100 s內3個周期中，輸入力和輸出力都是通過拉力傳感器實際測量的力，輸出力隨著輸入力的變化而發生變化。在一個周期內輸入力先下降，電機反轉，彈簧收縮，此時彈簧相當于驅動力，將彈簧力作為輸入力，靠近電機端的力視為輸出力；到達谷底的時候，輸入力逐漸增加，電機正轉，此時電機的力為輸入力(驅動力)，彈簧被動伸長，彈簧受力為輸出力，輸出力也逐漸變大。造成這種現象的原因是由于摩擦力的方向在電機正、反轉的時候不同，導致輸入和輸出力之間不斷轉換。

輸入力和輸出力的偏差即代表力的損失量，在滑輪繩索系統中，力損失主要是由于滑輪摩擦帶來的，因此滑輪摩擦可以近似等于力損失，如圖6(b)所示。分析摩擦力曲線可知：摩擦力大小是隨時間近似成正弦分布，在輸入力最大時，摩擦力最大，在輸入力最小時，摩擦力也最小，這與仿真的結果是相一致的。

在上述實驗中，a，n，θ都是定值，不會影響實驗中輸出力和輸入力的測量。為了驗證滑輪摩擦模型是否準確，本研究改變滑輪包角并進行正弦運動，找到運動過程中輸出力為20 N時，輸入力的大小，計算輸入和輸出力之比，試驗數據如表1所示。

表1 不同包角輸入力和輸出力的比值

表1中，隨著包角角度的不斷變大，其輸出輸入的比值不斷變小，摩擦力也就不斷增加。但是整體下降幅度不大，單滑輪所受摩擦力較小，輸入力和輸出力相差不大。

將實驗數據進行曲線擬合，得到的點線如圖7所示。

圖7 模型仿真及實驗擬合曲線

擬合曲線與(a=0.15，n=0.67)考慮非線性摩擦的仿真分析結果一致。可以看出，利用經典模型時，其輸入輸出比小，摩擦力損失較大。而考慮到非線性摩擦，其輸入輸出比小，摩擦力損失小，有利于力傳遞。同時在實驗過程中，繩索的摩擦具有粘彈性，其不能等效為普通剛體，經典Capstan方程并不適用于該系統，系統摩擦力較小。本文采用的繩索為高分子聚乙烯纖維，屬于聚合物，具有粘彈性，因此其實驗結果與粘彈性模型最為相似，在實際驅動過程中，可以采用此模型進行力控制，能夠提高控制精度。

4 結束語

本文針對介入導管機器人繩驅動結構，研究了繩索在傳動過程中受到的摩擦力，利用經典Capstan方程分析繩索受力，考慮到非線性摩擦問題，根據Power準則，分析了繩索粘彈性變形，建立了繩索-滑輪傳動模型。同時保證正弦輸出力前提下，利用非線性摩擦模型仿真輸入力以及系統力損失，并分析了力損失與輸入力和輸出力的關系。

本研究利用電機位置模式輸入正弦軌跡，保證正弦輸出力，測量了輸入力和輸出力，計算得到了力損失。通過改變包角，得到了實際輸入和輸出力的比值與包角關系曲線。實驗結果與仿真結果相符合，進一步驗證了摩擦模型的準確性，為介入手術機器人精確力控制提供了理論支撐。

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