考慮剪切效應的復合材料層合板阻尼特性研究

王文博，漆文凱，沈 承

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統重點實驗室，南京210016）

0 引言

先進的復合材料作為當前最具研究前景的新型戰略材料被廣泛應用于航空航天結構件上。復合材料與傳統廣義上的混合材料的本質區別在于采用復雜的復合工藝從微觀層次上將不同材料進行搭配組合，使得各基礎材料性能的不足得以互相彌補。這種制造工藝決定了復合材料具有靈活的可設計性優點，可以通過材料設計使各材料在性能上產生預期的相互協同效應，從而獲得理想的抗疲勞、耐腐蝕、高強度質量比的新型復合材料，滿足航空發動機復雜外部環境的需求。因此復合材料成為現階段航空發動機結構設計中最重要的先進材料之一[1-4]，應用于風扇葉片、導流板、降噪蜂窩內襯以及外涵機匣等航空發動機冷端部件。與傳統鈦合金相比，航空發動機結構中應用先進復合材料的減質效果明顯。據美國NASA統計，減質比可達13.1%。然而在使用先進復合材料進行部件結構設計時，材料的阻尼特性預測比傳統鈦合金復雜得多。有關復合材料層合板的研究顯示，復合層數、各層鋪設角度、各層厚度與其阻尼特性有著直接聯系，因此預測和分析在復雜的外部載荷下復合材料的阻尼特性是結構設計師最關心的問題之一。國內外學者[5-11]對此做了大量研究工作，總結了先進復合材料結構的阻尼表現機理，有纖維和基體固有的黏彈性阻尼、復合材料界面相阻尼、復合材料損傷的耗散阻尼等。

在工程應用中，對于板殼結構的處理方法有Kirchhoff假設和Hencky假設，后者相對于前者考慮了剪切變形的影響。上述研究工作中的復合材料模型大多基于Kirchhoff板殼假設，未考慮剪切應力對有限元模型的影響。研究表明，剪切變形對復合材料層合板結構的阻尼特性影響顯著，而且影響效果隨著板的厚度增加而增強。本文引入Hencky[12-13]假設在剪切應力的影響下，建立了復合材料層合板的有限元分析模型，該模型可廣泛適用于薄板和中厚板。本文利用Matlab軟件對上述模型理論進行了計算，通過算例驗證了等效損耗因子預測模型，最后具體分析了矩形層合板結構的長寬比對固有頻率和振型的影響規律。

1 有限元模型

有限元分析關鍵在于計算工程結構的剛度矩陣[K]

式中：上標e代表單元，V代表單元的體積；[B]為幾何矩陣，[D]為剛度系數矩陣，分別反映了單元內部的應變-位移關系和應變-應力關系。

1.1幾何矩陣

如圖1所示，基于Hencky假設下，板上任意1點的位移函數為

式中：θy（x,y）和θx（x,y,t）為中間層平面的轉動角度。

圖1 考慮剪切影響時轉角與位移關系

此時，應變矩陣ε表示為

式中：{δ}e為單元的結點位移值；[B]為幾何矩陣，二者詳細表示如下

中面為平面曲邊四邊形的8結點板單元如圖2所示。其中面形狀和厚度描述為

圖2 8結點Hencky板單元

8結點Hencky板殼殼單元的形函數為

式中：Ni（ξ，η）為局部坐標的插值函數。

而[B]矩陣要求對整體坐標進行求導，坐標轉換有

式中：[J]為雅可比矩陣，階次為2×2。

結合式（2）～（5），可寫出任意位置點i（ξ，η）的形函數Ni，根據式（6）計算形函數Ni對坐標x，y的1階偏導數。

1.2 等效剛度矩陣

假設材料表現為正交各向異性，各層的應力與應變關系為

式中：[Q]為剛度相關矩陣，各非零元素為

式中：E1、E2分別為材料在 0°、90°方向的楊氏模量；ν為材料的泊松比。

為了體現各層的鋪層方向，在微觀層次下統一復合材料纖維的坐標系統，如圖3所示。此時單層結構主軸方向1-2與x-y坐標之間的夾角為θk（k=1，2，…，n）。引入坐標轉換公式

圖3 局部坐標與整體坐標的幾何關系

其中l=cosθ，m=sinθ。

于是，任意θ角方向剛度矩陣可以表示為

N層結構的層合板總應變能可寫成

式中：Ω為待積分平面；hk和hk-1為第k層板的上、下面的坐標值。

將式（3）代入式（11）中，計算層合板剛度系數矩陣

1.3 特征方程

層合板系統內部的總應變能為

式中：{δ}為節點位移。

類似地，層合板總動能可表示為

式中：[M]為總質量矩陣；ω為角頻率。

根據最小勢能原理

得到標準特征方程

通過式（16）可以求得各特征值ωr以及相對應的各模態振型δr。

2 比阻尼容量

計算系統的耗散能量ΔU與系統的最大應變能U的比值，將上述比值定義為1個周期內的比阻尼容量φSDC，即

經過調研，由于教師薪酬、院校辦學經費等原因，吉林省高職院校旅游管理專業的核心課程教學任務基本上都是由本校教師承擔，即使外聘教師，通常也對其學歷及職稱有要求，這就極大限制了旅游企業在一線實踐技能高超的人員走進大學課堂。在師資引進時，各院校對應聘者學歷要求是首要考慮的因素，以旅游管理專業博士研究生為主、碩士研究生為輔。從教育規律來看，碩士、博士階段是以培養科研型人才為主，因此，進入高職院校從事教學活動的教師通常具有極高的科研能力，但是大多沒有旅游企業實踐經歷，其實踐技能相對匱乏，這就與高職院校培養高技能應用型人才產生了矛盾。

在此基礎上，假設系統結構中的耗散能量ΔU等于各方向應力產生耗散能量之和

或者簡化成

式中：ψij為上述各向的損耗因子。

本文通過對三相橋聯模型[14]等效方法進行改進求得，式（18）可以整理為

求解等效阻尼剛度系數矩陣Dd與D類似，將式（12）中替換成如式（21）所示。

層合板系統的耗散能ΔU表示為

任意階模態振型δr可通過式（16）得到，最大應變能U和耗散能量ΔU可以根據式（13）、（22）得到。將U和ΔU代入式（17）得到各階比阻尼容量φr。

3 模型驗證

本文基于Hencky理論假設，建立了8結點四邊形板殼單元模型，對其各階固有頻率進行預測，并利用能量法求解各階模態比阻尼容量。約束條件為一端固支的情況。為了驗證有限元模型的有效性，首先將計算結果與文獻[15]中瑞利-里茲法的理論值和試驗結果進行比較。

目標復合材料913C-TS與913C-HTA的材料參數見表1。

表1 目標復合材料屬性參數

目標復合材料層合板材料參數詳見文獻[15]，對結果進行比較見表2、3。

表2 層合板材料913C-TS參數

從表中可見，在2種材料和鋪層設置情況下，無論是固有頻率或者比阻尼容量，本文提出的改進模型的預測結果與瑞利-里茲法解析以及文獻[15]中試驗結果吻合性良好，初步說明了改進模型的有效性，在原有研究基礎上考慮了剪切效應的影響，可進一步用于試驗測試驗證及參數討論，對碳纖維復合材料層合板等效損耗因子的研究提供了新方法，在其阻尼特性研究上具有較高的參考價值。總的來說，固有頻率各結果之間的誤差基本小于比阻尼容量之間的誤差，側面反映了阻尼機理的復雜性以及難以預測性。

表3 層合板材料913C-HTA 參數

4 參數討論

根據本文建立的Hencky理論有限元模型詳細討論復合材料層合板的結構幾何參數（主要是邊長）對前6階固有頻率的影響，如圖4、5所示。

圖4 邊長a對固有頻率的影響（T300/BMP316）

圖5 邊長b對固有頻率的影響（T300/BMP316）

從圖4中可見，第1、3階固有頻率變化幅度微小，其振型分別表現為1階彎曲和2階彎曲，說明層合板彎曲變形受寬度a變化影響很小；第6階固有頻率在各階段的幅度變化程度不同，當邊長比值在0.6附近時，第6階固有頻率幅度變化最為顯著，而比值達到0.7時，第6階固有頻率變化幅度趨于平緩；（3）第4、5階固有頻率均隨寬度a的增加呈近似線性降低，且各階頻率接近。

從圖5中可見，第1、2階固有頻率表現平緩，第3～5階固有頻率均隨長度減小呈一定比例線性提高，且第4、5階固有頻率變化十分接近，而第6階固有頻率受長度變化的影響同樣是最為顯著。

綜上所述，第1階固有頻率受層合板結構的長寬比影響微小，第2～5階頻率軌跡大多呈近似線性變化，而第6階固有頻率受長寬比變化影響最大。從層合板結構幾何參數上詳細分析了長寬比對結構各階模態特性的影響，對結構部件抗振優化設計有一定參考價值。

5 總結

本文應用Hencky假設，考慮剪切效應，建立了復合材料層合板結構的有限元模型，通過推導層合板總剛度、質量、阻尼矩陣，引入了耗散能原理，求解了目標算例復合材料層合板的前6階模態及相應的比阻尼容量。將結果與現有文獻的理論解進行對比，初步驗證了本文改進模型的有效性，并結合試驗結果進一步說明模型的準確性。

研究表明：復合材料層合板在一端固支下，無論是長度還是寬度的變化，對第1階固有頻率的影響都很微弱，而第4、5階固有頻率表現出趨于同頻現象，振型也會產生類似變化趨勢。而在長度和寬度變化下，第6階模態結果則表現出相反的對數變化軌跡。

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