漸開線齒輪齒頂厚理論計算分析

朱陳嘉，李 虎

（上海振華重工（集團）股份有限公司，上海 200125）

0 引言

一對漸開線齒輪嚙合是由其齒頂和齒根共同參與完成，為了保證齒頂強度就要保證必要的齒頂厚，一般要求齒頂厚Sa≥0.25m，對于表面淬火的齒輪，則要求Sa＞0.4 m[1]，如圖1所示。通常標準齒輪齒頂厚大多能滿足這一要求，而變位齒輪由于其齒頂厚Sa隨著正變位系數x的增大而減小，即齒頂變尖，齒頂厚度變薄。所以變位系數過大時，特別是當齒數較少時，會導致齒頂厚度不能滿足要求，造成齒頂部分強度和剛性的削弱，尖銳處易刮傷齒面，影響齒輪的正常嚙合，甚至在齒輪加工方面無法進行齒頂修緣。通過三維建模研究齒輪齒頂厚，將齒頂厚測量結果和理論計算結果進行分析，該分析計算可以為齒輪齒頂厚的設計和測量提供技術支持和指導作用。

圖1 齒頂厚

1 齒頂厚的驗算公式

其中：da為齒輪齒頂圓直徑；a為齒輪分度圓壓力角；aa為齒輪齒頂壓力角；aa為 arccos（db/da）.

通過公式可以看出：對于直齒輪齒頂厚計算可以直接將齒輪參數帶入公式計算得到，而由于斜齒輪存在法面參數和端面參數，所以在利用該公式計算斜齒輪齒頂厚時需注意帶入的參數是否合理。

2 漸開線齒輪三維造型

2.1 漸開線方程

在對齒輪進行三維造型時，必須保證造型出的實體齒形是一條接近真實漸開線齒廓的曲線。根據漸開線的生成原理，可推導出漸開線方程（2）如下[2]：

其中：rb為齒輪的基園半徑；φ為漸開線發生線與基圓的切點至原點的連線與漸開線的起點與原點連線的夾角，如圖2所示∠AOB.

圖2 漸開線形成

2.2 標準漸開線齒輪三維造型

2.2.1 編寫齒輪參數計算表

根據漸開線齒輪的計算公式編寫齒輪設計參數表，并按照漸開線方程（2）在excel中計算出齒形漸開線節點位置坐標。

2.2.2 Inventor草圖

如圖3所示：在Inventor草圖環境中通過“導入點”生成漸開線坐標點，以樣條曲線連接，然后以坐標原點為中心分別作出齒輪的基圓、分度圓及齒頂園（基圓、分度圓及齒頂圓大小均在齒輪設計參數表中計算得出）。

圖3 齒形漸開線

圖4 齒形草圖

齒輪的齒形是由兩條對稱的漸開線組成，根據這一特點以漸開線與齒輪分度圓交點為端點作分度圓的一條弦，如圖4所示，定義弦長（弦長由公式（3）計算所得），連接弦的中點和坐標原點即為齒形的對稱中心線，通過“鏡像”即可得到另一側漸開線齒形。

分度圓弦齒厚公式：

2.2.3 Inventor三維造型

齒形草圖完成后通過“拉伸”和“環形陣列”即可生成直齒輪模型。如圖5所示。

圖5 三維標準直齒齒輪

2.3 漸開線變位直齒輪三維造型

根據機械設計手冊中齒輪基圓的計算公式可知基圓大小取決于模數、齒數和壓力角的大小。而齒輪漸開線的形狀取決于基圓的大小，可知直齒輪變位后，由于基圓不變，其齒形與標準齒輪同屬一條漸開線。根據變位的原理，齒輪的分度圓不變，齒頂圓發生變化，即變位齒輪相對于標準齒輪僅漸開線應用的區段發生變化，正變位齒輪應用曲率半徑較大的一段漸開線，而負變位齒輪應用曲率半徑較小的一段漸開線[3]。

綜上所述直齒變位齒輪的三維造型可按對應標準齒輪參數生成漸開線，借助變位后的分度圓弦齒厚作出齒形對稱中心線，再用變位后的齒頂圓截取漸開線得到的齒形即為變位后的齒形。然后通過拉伸和陣列即可得到變位齒輪的三維模型。

2.4 斜齒輪三維造型

斜齒輪與直齒輪相比存在著螺旋角β，因而斜齒輪具有端面參數與法面參數。在斜齒輪幾何尺寸計算過程中通常按照端面參數計算，端面參數可通過法面參數與螺旋角β之間的關系換算得出。

斜齒輪的端面齒形是以端面參數為準的漸開線[4]。故斜齒輪端面齒形草圖可以以端面參數為準按照標準直齒齒形作圖，根據2.3漸開線變位直齒輪三維造型分析，變位斜齒輪的端面齒形草圖同樣可按照標準齒形草圖作圖。斜齒輪具有螺旋角β，在Inventor中端面齒形完成后需要通過“螺旋掃略”功能造出齒形。如圖6所示：螺旋線軸線過齒輪端面圓心且垂直于齒輪端面，螺旋線起點為分度圓與兩條齒形漸開線對稱中心線的交點。最后通過“環形陣列”即可生成斜齒輪模型。

圖6 斜齒輪螺旋線

3 公法線校對

為了驗證上述的齒輪造型方法是否準確，可用漸開線齒輪的公法線長度進行校對。漸開線齒輪的公法線長度是指與兩個異側齒面相切的兩平行平面間的距離Wn，可根據機械設計手冊中公式計算可得：

圖7為m=5，z=36的標準齒輪，根據公法線的定義作圖測量出公法線長度Wn=68.944 mm，與計算表中的計算值相等。圖 8為m=5，z=36，x=0.55的變位齒輪，根據公法線的定義作圖測量出公法線長度Wn=70.825 mm，與計算表中的計算值相等，故可說明上述2.2標準漸開線齒輪和2.3漸開線直齒變位齒輪的造型方法是可行的。

圖7 標準齒輪公法線

圖8 變位齒輪公法線

4 三維造型齒頂厚測量與公式計算值對比

按照前述的漸開線齒輪造型方法，建出不同參數的齒輪實體，利用Inventor自帶的測量工具在三維實體上量出齒形厚度值與通過漸開線齒輪齒頂厚計算公式（1）得到的計算值進行比較。

表1~表4中的“實體測量”值為三維實體造型測量出的齒頂厚，“公式計算”值為通過公式（1）所得到的齒頂厚，“差值”即為兩者的差的絕對值。

表 1 標準齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35）

表 2 直齒變位齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35，α=20°）

由表1和表2可看出，通過三維實體測量和公式計算出的齒頂厚結果是一致的。故在今后的設計計算中直齒輪的齒頂厚可直接通過公式計算得出。

根據齒頂厚計算公式可以看出，對于無變位的齒輪齒頂厚計算公式等同于：

利用公式（4）計算斜齒輪齒頂厚時，公式中的參數均為斜齒輪端面參數。從表3可以看出，通過三維實體測量和公式計算出的齒頂厚結果是一致的。

表 3 斜齒無變位齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35，β=15°）

在利用公式（1）計算斜齒變位齒輪中，存在兩種計算方法：一是在計算時公式中分度圓壓力角α帶入端面參數計算；二是在計算時帶入法面值計算。然后將兩組計算值與實體測量值比較，通過表4可以看出：實體測量值更接近以端面參數計算的值，以法面參數的計算值與實際測量值比較偏差值明顯較大。偏差值百分比如圖9所示，以端面參數代入計算時平均偏差為1.2%，以法面參數代入計算時平均偏差為6.6%.

表 4 斜齒變位齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35，α=20°，β=15°）

圖9 偏差百分比曲線圖

5 結論

本文分析了齒輪齒形漸開線成形原理，求得齒形漸開線的平面坐標方程，利用Inventor軟件對標準齒輪、直齒變為齒輪、斜齒無變位齒輪和斜齒變位齒輪進行三維建模。通過對模型的測量與計算分析可以看出，在運用齒輪齒頂厚公式計算時，選擇端面參數計算比選擇法面參數計算更接近三維模型的測量值。以上結果為運用公式計算齒頂厚時提供了理論依據。

[1]齒輪手冊編委會.齒輪手冊（上冊）[M].北京：機械工業出版社，1990（02）：02-15.

[2]邱榮茂，王大鳴，崔振勇.漸開線斜齒圓柱齒輪的三維造型[J].現代制造工程，2007（7）：37-38.

[3]包家漢，張玉華，薛家國.基于ANSYS的漸開線斜齒輪副參數化建模[J].機械傳動，2006（1）：54-56

[4]徐雪松，畢鳳榮，西洪杰.基于UG的漸開線斜齒輪參數化建模研究[J].機械設計與制造，2003（6）：47-48.