制造的斜齒輪齒向修形曲線的優化分析

崔雪瑩，操 兵，劉鵬祥

（1.中國航發哈爾濱東安發動機有限公司，黑龍江 哈爾濱 150066；2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）

0 引言

齒輪齒向修形是沿齒線方對齒面進行微量修整，使齒面形狀與理論形狀產生一定量的偏差。齒向修形能夠減少由于受載后齒形、齒向畸變和制造、安裝誤差所造成的齒頂嚙合沖擊以及偏載等情況，能夠降低傳動系統的噪音，延長齒輪的服役時間。

目前，海內外專家學者對漸開線齒輪的齒向修形進行了大量的研究。在齒向修形的設計方面：通過研究載荷沿接觸線的分布規律，提出了齒輪齒向修形優化設計方法[1]。在考慮齒輪輪體的彎曲扭轉變形、齒面彈性變形及齒面誤差的基礎上，提出了齒向修形量的計算方法[2]。基于齒輪副所有接觸載區域載荷之和等于總載荷的假設，提出計算鼓形修整理論修整量的計算方法。在修形齒輪的加工方面：采用附加徑向運動對拓撲修形斜齒輪進行成形磨齒，提出了一種減小成形磨齒誤差的砂輪廓形優化方法；在分析了齒向修形與接觸線間的關系、砂輪安裝參數與接觸線間的關系的基礎上，提出了一種提高優化成形磨齒接觸線的方法，進一步提高了成形磨齒的精度。

綜上所述，在齒向修形的修形曲線的設計，修形量的確定以及修形齒輪的加工等方面均有相關的研究。但目前所有齒向修形的設計均只考慮了修形對傳動性能的影響，并未考慮給常用齒輪加工方式帶來的困難。蝸桿砂輪磨削作為中小模數齒輪的主要的加工方式，其在加工齒向修形的斜齒輪時存在原理性誤差，產生齒面扭曲，嚴重制約了齒輪精度的進一步提升。還未發現從蝸桿砂輪磨削修形齒輪工藝角度研究齒輪修形存在的問題。

在分析了齒面扭曲產生機理以及建立鼓形修形量與齒面扭曲量對應的關系模型后，本文提出一種齒向鼓形修形曲線的優化方法。并以蝸桿砂輪磨削某齒向修形斜齒輪為例，計算了齒向鼓形修形曲線優化前后齒面扭曲量，分析了齒面接觸應力以及齒向載荷的分布情況。

1 鼓形修形曲線方程及蝸桿砂輪磨削路徑設計

在常用的齒向修形方法中，鼓形修形由于設計簡單、加工方便而且控制修形質量容易，所以應用范圍最廣。齒向鼓形修整的目的是避免嚙合齒輪副在兩端發生點接觸；同時使載荷在齒寬方向上分布均勻。

1.1 齒向修形曲線方程

齒向鼓形修形是設計一條齒向曲線使齒輪在兩端齒厚變小，中間鼓起，如圖1所示。以齒輪分度圓柱截齒廓所得曲線為研究對象，當沒有齒向修形時，所得曲線是一條螺旋線，圖2為鼓形修形曲線示意圖。

圖1 齒向鼓形修形示意圖

圖2 鼓形修形曲線

令鼓形修形曲線的鼓點在齒寬中部，此處修形量為0；齒輪兩端的修行量為g，則鼓形修形曲線的方程為：

式中：ρ為拋物線系數，g是齒輪參數與最大修形量的函數；z為自變量，其取值范圍為

1.2 蝸桿砂輪磨削修形齒輪路徑設計

蝸桿砂輪磨削齒向修形斜齒輪是通過改變砂輪磨削軌跡實現的。蝸桿砂輪沿齒輪徑向的附加運動（X軸運動）和沿齒輪切向的附加運動（Y軸的運動）均可以改變包絡出的齒輪廓形的位置。以齒輪節圓上的齒向修形量為準，討論齒向修形量與蝸桿砂輪沿X、Y軸附加運動量間的關系。

（1）X軸附加移動量

圖3是X軸附加運動示意圖。圖中Pa是修形前齒輪端面廓形。

圖3 X軸附加運動

當齒輪在該端面的齒向修形量為G（z），蝸桿砂輪在該位置的X軸的附加移動量Δx與G（z）間的關系為：

式中：β為齒輪的螺旋角，α為齒輪端面壓力角。

蝸桿砂輪沿X軸的附加移動將使齒輪左右齒廓相對于齒槽對稱面的偏移量相同。所以，X軸的附加移動對齒輪左右齒廓產生相同的修形量。

（2）Y軸附加移動量

圖4是蝸桿砂輪沿Y附加運動與所加工的齒廓間的關系。

圖4 Y軸附加運動

Y軸附加移動量Δy與修形量間的關系為：

當蝸桿砂輪沿齒輪切向有附加移動時，將使蝸桿砂輪偏向于齒輪的一個齒面而遠離另一個齒面。所以，將對齒輪左右兩齒廓產生相反的修形量。

蝸桿砂輪磨齒機是五軸聯動數控機床，在加工齒輪過程中，C軸和Y軸具有確定的運動關系。因此，可以將Y軸的附加移動轉換成C軸的附加移動。其間的轉換關系為：

蝸桿砂輪磨削齒向修形齒輪時，通過X軸和Y軸（或C軸）的組合運動，可以實現左右齒面任意的齒向修形。

2 齒面扭曲產生機理及鼓形修形曲線優化方法

2.1 齒面扭曲產生機理

齒面扭曲現象是指齒輪的端面齒廓沿齒寬方向逐漸發生扭轉的現象，反映了齒輪各個端面存在不均勻的切除量[a][3]。圖5是齒面扭曲的示意圖。

圖5 齒面扭曲示意圖

蝸桿砂輪磨削漸開線斜齒輪可以看成是一對交錯軸斜齒輪的嚙合過程[4]。在磨削過程中，蝸桿砂輪與被磨齒輪為點接觸，接觸點的位置在齒輪齒面上連續變化形成接觸跡[5]。將空間的接觸跡表示在齒輪基圓柱切平面內，如圖6所示。該圖中，接觸跡將被展成直線，并與齒輪端面的基圓夾角為基圓螺旋角。當齒輪存在齒向修形時，其修形曲線是疊加在齒輪分度圓的螺旋線上，使分度圓上的接觸點在不同端面上存在高度差，以達到齒向修形的目的。

圖6 左右齒面展開圖

由于接觸跡與齒輪端面存在夾角βb，同一條接觸跡與齒頂的接觸點和齒根的接觸點存在高度差2Sv，則同一個齒輪端截面廓形是由不同接觸跡共同形成的。

以右齒面為例，齒頂的修形曲線將為ad，齒根的修形曲線將為cf.齒根和齒頂的實際修形曲線將偏離設計的修形曲線。在齒輪上端面，從齒頂到齒根，端面廓形上點的修形量逐漸減小；在齒輪下端面，從齒頂到齒根，端面廓形上各點的修形量逐漸增大。從齒輪上端面到下端面，齒頂到齒根的修形量變化相反，從而造成了齒面扭曲。

2.2 齒面扭曲量的計算

目前，齒面扭曲量的計算并沒有統一的公式。由于齒面扭曲最終反映在齒形誤差，且齒形誤差隨著齒向修形曲線連續變化，一般齒輪上下端面處齒形誤差的絕對值最大（根據齒面扭曲機理可以判斷，上下端面處的齒形誤差一個為正值，另一個是負值）。所以，本文以上下端面齒形誤差的差值來評定扭曲量。

首先建立齒向鼓形修形曲線各端截面處的齒形誤差模型，如圖7所示，La為齒頂修形曲線，L為分度圓處修形曲線，Lb為齒根處的修形曲線。

圖7 齒形誤差模型

圖7 中，分度圓處的修形曲線的表達式為：

則齒頂和齒根的修形曲線的表達式分別為：

則可以得到任意端面處的齒形誤差為：

根據本文對齒面扭曲量的定義，齒面扭曲量可

2.3 齒面鼓形修形曲線的優化

由上一節齒面扭曲量的計算公式可以知道，齒面扭曲量與最大修形量g成正比。從齒輪傳動考慮，鼓形只需作用在齒寬中部即可使載荷均勻分布在齒寬中部，并不需要全齒寬鼓形。由此，采用二次曲線組合的方式對齒向修形曲線的兩端進行優化。圖8為齒向修形曲線優化的示意圖。

將優化后的齒向修形曲線按齒寬分成三段。優化后的齒向修形曲線的方程為：

圖8 齒向修形曲線優化

式中：t1=e1/b，0 ＜ t1＜ 0.5；k1=m1/n1，0 ＜ k1＜ 1；t2=e2/b，0 ＜ t2＜ 0.5；k2=m2/n2，0 ＜ k2＜ 1.

由上式可知，通過調整 t1、t2、k1、k2就可以實現不同齒面扭曲修形的設計，控制齒面扭曲在合理范圍內。

當t1=t2、k1=k2時，齒面扭曲量為：

3 計算實例及結果分析

表1是齒輪參數。令該齒輪的齒向鼓形修形的的鼓點在齒寬中點，鼓形修形拋物線系數ρ=0.001 13 mm，最大修形量g=0.02 mm.齒向修形曲線優化參數：t1=t2=0.1，k1=k2=0.09.

表1 齒輪參數

3.1 齒面扭曲量的計算

根據前面推導的齒面扭曲量的計算公式，計算鼓形修形曲線優化前后齒面的扭曲量。計算結果如下：

從齒向修形曲線優化前后的扭曲量的計算結果可以發現：相較于原本的修形曲線，經過二次曲線組合優化后的修形曲線的扭曲量降低了72%，齒面扭曲量降低效果十分明顯。

3.2 齒面接觸應力及齒向載荷分布分析

前面已經說明齒向修形的出發點，在此不再贅述。根據齒向修形的目的，分析齒向修形曲線優化前后齒面接觸應力以及載荷分布是有必要的。

基于有限元分析法，對平行軸斜齒輪實體副進行網格劃分，建立嚙合齒面間的接觸副，并對齒輪副施加相應約束，得到有限元模型如圖9所示。在分析時，認為在任意時刻，齒輪副的嚙合運動為準靜態過程。

圖9 齒輪嚙合有限元模型

齒向修行前后齒面的最大接觸應力和最大等效應力結果如表2.

表2 齒面應力計算結果

由表2可知，齒向修形后，齒輪副的最大等效應力及最大接觸應力均減小。齒向修形曲線優化前后，最大等效應力及最大接觸應力幾乎沒有變化，說明齒向修形曲線的優化對齒面最大等效應力及最大接觸應力沒有影響。

在齒輪副嚙合過程中，提取最長接觸線。在該接觸線上均勻取點，繪制接觸應力曲線，如圖10、圖11所示。

圖10 齒面接觸線

圖11 接觸線應力曲線

由圖10、圖11可知，齒向修形齒輪靠近齒輪端面的接觸點處的應力較未修形的齒輪小。齒向修形曲線優化后，兩端面附近的應力值相對未優化的齒向修形齒輪有所增長，但增加值不大。對載荷的分布影響不大，載荷仍集中分布于齒寬中部。

4 結論

本文計算了齒向修形曲線優化前后齒面扭曲量，分析了齒向修行曲線優化前后齒面接觸應力以及齒向載荷的分布，可以得出如下結論：采用二次曲線組合的方法對齒向鼓形修形曲線優化的方法能夠將齒面扭曲量控制在理想范圍內，并且對齒面接觸應力以及齒向載荷的分布沒有影響，證明了該方法是可行的。

[1]朱孝錄，劉鵠然.齒輪在彎扭偏載下的齒向修形[J].機械，1993（4）：15-18

[2]俞 明.斜齒輪的鼓形修整[J].中國紡織大學學報，1990（02）：72-78.

[3]馬虎森.斜齒輪修形與摩擦激勵耦合動力學建模及噪聲分析[D].重慶：重慶大學，2015.

[4]F.L.李特文.齒輪幾何學與應用理論[M].上海：上海科學技術出版社，2008.

[5]李高敬，孫大琦.蝸桿砂輪磨齒的嚙合特征[J].精密制造與自動化，1981（3）：18-36.