時滯加速度反饋控制下懸索的主共振分析

李祿欣，彭 劍，2，向明姣，謝獻忠

（1.湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學 結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201）

懸索結構是大跨度空間結構的一種重要形式，在建筑、橋梁、電力電訊等工程領域得到廣泛應用。但是，隨著懸索跨度的增大，在外部荷載下懸索的振動愈加顯著，導致結構疲勞破壞，給人們的生產生活帶來極大的危害。因此懸索的振動控制逐漸成為了工程實際亟待解決的關鍵問題之一。

許多學者已經對懸索結構的線性/非線性動力學行為和振動控制策略進行了研究[1–3]。謝獻忠等[4]考慮了鄰檔輸電線通過懸垂絕緣子串產生的相互影響，建立了輸電線路非線性耦合振動的動力學模型，并通過算例進行了分析。楊立軍等[5]分析了溫度變化、振幅、外激勵等因素對橢圓型雙曲拋物面索網非線性振動的影響。趙珧冰等[6]對比分析了懸索主共振響應的多尺度解與同倫分析解。Iyengar等[7]分析了受橫向加載懸索的自由振動和參數不穩定性。Fujino等[8]從主動剛度控制對索進行了研究，同時，通過邊界控制來抑制懸索振動的方法被提出[9–10]。此外，被動阻尼器是振動控制常用的設備，其作用位置一般靠近懸索支座（尤其對于較長的懸索），盡可能限制可實現的最大模態阻尼[11]。Pasca等和Gattull等[12–13]利用可移動支座對懸索面內/面外的非線性振動進行縱向反饋控制。

近年來，時滯問題受到許多學者[14–15]的廣泛關注與研究，時滯反饋控制也有了一定的發展。趙艷影和徐鑒[16]研究了時滯非線性動力吸振器的減振機理。齊歡歡等[17]對超音速飛行器機翼顫振進行了時滯反饋控制研究。劉曉平等[18]研究了主動引入時滯的結構振動輸出反饋控制方法，并取得較好的振動控制效果。呂書清[19]對時滯反饋系統的主動控制方法進行了研究，并得出系統最大允許時滯量的解析確定方法。劉燦昌等[20]研究了參數激勵下非線性振動時滯反饋最優化控制參數的確定。孫藝瑕和徐鑒[21]對時滯動力吸振器的控制參數對其減振效果的影響進行了分析。孫洪鑫等[22]通過仿真分析得到了基于磁致伸縮作動器的拉索的振動控制時滯補償效果。陳茂生等[23]研究了考慮時滯的結構主動質量阻尼(AMD)控制系統的主動最優化控制方法。彭劍等[24]研究了斜拉索控制系統中的時滯效應及其參數穩定性。

時滯反饋控制為兩參數控制問題，通過調整反饋控制增益和時滯參數可以達到最優控制，本文基于時滯吸振技術，采用軸向時滯加速度反饋控制策略對懸索的非線性主共振響應進行了分析。

1 數學模型及控制方程

如圖1所示的水平懸索，利用Hamilton變分原理，引入擬靜態假設，忽略其彎曲剛度、扭轉剛度以及剪切剛度的影響，可以得到懸索的面內非線性運動方程為[6,13]

式中：m為懸索的線重，c是懸索的阻尼系數，E為彈性模量，A為橫截面積，H為水平張力(H=mgL2/8b,H≤EA)，L為懸索的跨徑，b為垂度，g為重力加速度，uc(t)為施加于右端移動支承的縱向位移，外激勵F(x,t)假定為簡諧激勵，其表達式為F(x,t)=P(x)cos(Ωt)，Ω為外激勵的頻率，P(x)為外激勵的分布函數。

本文假設懸索垂跨比較小(b/L＜1/8)，因此其線形可用拋物線描述為y(x)=4b[x/L-(x/L)2]。采用軸向線性時滯反饋策略進行振動控制，即

圖1 受控懸索系統的構形與特性

其中：gl為控制系統的控制系數，τ為控制系統的時滯值。引入無量綱參數為

無量綱化之后的運動方程可以表示為

此外，方程(4)及下文中的星號均去掉。

運用Galerkin方法對方程(4)進行離散，設無量綱化之后的位移函數v(x,t)可表示為

方程中：qn(t)為廣義坐標函數，?n(x)為懸索的第n階模態函數.將方程(5)代入方程(4)可得

式中：

其它參數及模態函數?n(x)見文獻[6]。

2 主共振響應

根據多尺度法[25]，引入小量ε（ε＜＜1），調整方程(6)各項的系數 ，即：μn≈ε2μn,Λnnnn≈ε2Λnnnn,Γnnn≈εΓnnn,gl≈ε2gl,fn≈ε2fn·Ω≈ωn+ε2σ,其中：σ為調諧參數。設方程(6)的解為

其中：Tn=εmt(m=0,1,2)。將方程(7)代入方程(6)，并令兩端ε0，ε1和ε2的系數相等，得到

通過求解方程(8)到方程(10)，并消去久期項，可得

將An表示成極坐標

其中：a(T2)和β(T2)皆為實函數，將方程(12)代入方程(11)，并分離實虛部，得

其中：

則幅頻響應方程為

由方程(15)可知，可得主共振響應幅值的峰值為

3 數值分析與討論

本節對受控懸索第1階正對稱模態的主共振響應進行數值分析,基本參數如下[26]：橫截面面積A=0.1257 mm2，跨 徑L=600.5 mm，線 重m=4.8655×10-5kg/m，彈性模量E=1340.83 MPa，阻尼系數μ1=0.005。

圖2給出的是當時滯值τ=0.3π，外激勵幅值f1=0.003，不同控制增益gl值時，懸索第1階正對稱模態(n=1)主共振響應的幅頻曲線。

從圖中可以看出，在無控狀態(gl=0)下，幅值較大，當gl≠0時，即采取時滯反饋控制后，隨著控制增益gl值增大，懸索的第1階正對稱模態的響應幅值迅速下降，控制效果較明顯，注意到，gl=0.005時的響應幅值比gl=0.002時降低了近50%，同時，幅頻響應曲線也從多值變成單值，跳躍現象消失，共振區有明顯偏移。

圖2 不同控制增益時受控懸索第1階模態主共振幅頻響應曲線

給定f1=0.003，由圖3可以看到，當控制增益gl=0.001，不同時滯值時受控懸索第1階正對稱模態主共振響應的幅頻曲線。圖中顯示，隨著時滯，從0.1增大到0.4，響應幅值明顯減小，而這一點由圖4給出的峰值ap響應曲線可以更加直觀地呈現出來，即 響 應 幅 值 隨 時 滯τ∈(kπ/ω1,kπ/ω1+π/(2ω1))，k=01…,增 大 而 減 小 ， 而 隨 時 滯τ∈(kπ/ω1+π/(2ω1),kπ/ω1+π/ω1),k=0,1,增大而增大,呈周期性變化，且幅值的變化率明顯高于時滯值變化率。同時，隨著時滯值增大，幅頻響應曲線彎曲程度增強，共振區域有些許偏移。

圖3不同時滯值時受控懸索第1階模態主共振幅頻響應曲線

圖5 給出了當gl=0.001時，不同時滯和調諧參數情況下受控懸索第1階正對稱模態的激勵幅值與響應幅值的關系曲線。注意到，隨著調諧參數σ從-0.05增大到0.15，曲線也從單值變化為多值；隨著時滯值τ的減小，曲線彎曲程度增強。

圖6可以看出，索力在不同時滯下均呈現出周期性變化，且在τ∈(kπ/ω1,kπ/ω1+π/(2ω1)),k=0,1…時,隨著時滯的增大，索力的變化幅值有小幅度減小。因此，可以通過調整時滯值的大小來減少索力的幅值。

圖4 不同時滯值時受控懸索第1階模態主共振響應峰值曲線

圖5 時滯作用下主共振響應幅頻-激勵幅值曲線

圖6 時滯作用下拉索的張力變化

4 結語

本文建立了懸索的面內非線性運動方程，采用軸向時滯反饋控制策略，對懸索結構的主共振響應進行研究，通過算例分析，可得如下結論：

(1)主共振幅頻響應幅值隨時滯變化呈現周期性，

(2)控制增益對振幅影響較大，隨著控制增益的增大，懸索的響應幅值迅速下降。選取合適控制增益和時滯值，可以避免共振區，有效抑制大幅振動。

(3)可以通過調整時滯值的大小來減少索力的幅值。

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