新型電磁振動臺低頻振動控制研究

謝寶瑩，楊斌堂，楊詣坤，曹逢雨，易思成

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

振動臺在航空、航天、汽車、鐵路等領域中廣泛應用，通過模擬環境振動，可對各類結構與設備進行故障診斷、可靠性測試與疲勞測試。隨著現代科技的發展，高性能振動臺的開發顯得尤為重要。電磁振動臺具有響應靈敏，頻率范圍寬，輸出加速度大等特點，且驅動環節靠電磁能實現，控制方便，在寬頻測試中應用廣泛[1]。但傳統電磁振動臺存在行程小、難以實現5 Hz以下低頻振動、波形失真嚴重等問題。如英國Ling公司的電磁振動臺，工作原理基于音圈電機，動子工作時處于懸浮狀態，因此無法實現5 Hz以下低頻振動且驅動位移較小。針對此問題，上海交通大學楊斌堂等[2–4]設計了一種基于共軛等徑凸輪型復合磁能往復擺驅動方法的新型電磁振動臺，可以實現大位移、低頻5 Hz以下及高至五千赫茲的寬頻振動輸出，對于電磁振動臺的發展具有重要意義。

開環工況下，新型電磁振動臺在低頻、大位移輸出時存在復雜的磁滯非線性問題，波形失真較大，影響了振動臺的低頻輸出性能。為降低磁滯非線性因素對系統的影響，現有文獻已提出并實驗驗證了兩種解決方案。一種是基于磁滯逆模型的前饋控制方法，以磁滯模型的精確辨識為前提。Mohammad Al Janaideh等[5]根據Prandtl-Ishlinskii模型獲得了磁滯逆模型，將其作為前饋控制器，仿真結果顯示，該方法可有效補償磁滯非線性，但磁滯建模過程復雜。另一種方法將被控系統分解為線性系統與磁滯非線性系統兩部分，針對不同的系統特性，分別設計控制器，避免了磁滯建模的復雜過程[6]。上海交通大學谷國迎[7]將磁滯非線性視為系統干擾，應用魯棒控制策略進行補償。

本文采用磁滯分解方法，將周期性信號輸入下的磁滯非線性視為有界周期性干擾。針對分解得到的線性系統設計了PI控制器，結構簡單，魯棒性好。針對磁滯非線性干擾，以選頻濾波器理論為基礎設計改進型重復控制器，避免了重復控制算法對非倍頻成分引起的誤差、干擾的放大，有效地抑制了系統的磁滯非線性，系統波形輸出的失真度減小。眾所周知，由系統特性引起的跟蹤誤差在周期性信號的輸入下也具有周期性，因此，改進型重復控制器可對系統特性與磁滯非線性引起的跟蹤誤差同時進行補償，對新型電磁振動臺的低頻波形控制具有重要意義。

1 磁滯非線性分解

包含磁滯非線性環節的系統模型可用圖1框圖表示。

圖1 非線性系統模型

其中：i(t)為新型電磁振動臺的控制電流輸入；q(t)為磁滯非線性輸出，且不可通過測量直接獲得；y(t)為系統的位移輸出；(s)描述q(t)與y(t)之間關系的線性時不變系統；H(·)表征i(t)與q(t)之間的磁滯非線性關系，表達式為

根據文獻[8]，任何率相關的磁滯非線性可分解為一個線性增益α和一個周期且有界的干擾d()t，如圖2所示。即

其中：

圖2 磁滯分解模型

i是i(t) 的縮寫 ；是(t)的縮寫，i的1階導數，q0表示q(0)；i0表示i(0)；當x≥0時，函數sgn(x)=1，否則sgn(x)=-1；d(t)滿足

即 |d(t) |≤supt≥0|d(t) |，因此，d(t)有界。當系統有周期為T的信號i(t)輸入時，得到i(t+T)=i(t)，(t+T)=(t)，根據公式可得到d(t+T)=d(t)，因此，d(t)可視為系統周期性且有界性的干擾。

2 控制器設計

2.1 線性控制器

線性控制器的設計以能夠精確辨識系統的線性模型為前提。將上一章磁滯非線性分解得到的線性增益與被控系統線性模型合并，如圖3所示，得到磁滯分解模型的等效分解模型。

圖3 磁滯分解等效模型

新型電磁振動臺在小電流輸入時，被控系統可以等效為線性模型。為辨識系統線性模型，振動臺在開環工況下，通入0～20 Hz小幅值帶限白噪聲電流信號，實驗測量輸出位移。應用MATLAB系統辨識工具箱，根據輸入電流與輸出位移，得到系統的傳遞函數

對比圖4實驗得到的系統頻響（虛線）與辨識模型的頻響（實線），0～5 Hz區間內辨識模型精確度為84%。

系統對線性控制器的要求較低，因此，線性控制器C(z-1)選用最簡單的PI控制器，易于實現，魯棒性好，與非線性控制器互不影響。C(z-1)的離散形式為

圖4 實驗結果與系統辨識頻響

其中：Kp為比例增益，Ki為積分增益。

2.2 改進型重復控制器

針對磁滯非線性，本節設計了改進型重復控制器。重復控制（RC）器適用于往復運動的系統，因此傳統振動臺在周期輸入時，多采用重復控制算法。重復控制基于內模原理[9]，將外部作用的信號發生器1(1-z-N（)N為干擾信號一個周期的采樣點數）嵌入原有閉環控制系統。RC控制器閉環靈敏度函數的頻響具有梳齒狀，使得各倍頻處的幅值增益大幅度降低，能夠有效抑制由倍頻引起的跟蹤誤差。

然而，RC控制器的缺點是放大非倍頻周期性干擾。針對此問題，本文應用一種改進型重復控制器，引入選頻濾波器，僅允許周期性干擾中的倍頻成分通過重復控制器，改善了傳統重復控制器的缺陷。

圖5 改進型重復控制框圖

圖5 為改進型重復控制框圖。r(k)是參考輸入；e(k)是跟蹤誤差；u(k)是控制輸入；u*(k)是由C(z-1)控制器獲得的控制輸入；c(k)是由重復控制器獲得的控制輸入；d′(k)是輸入干擾；y(k)是位移輸出。

P(z-1)代表線性被控系統，表達式為

其中：d為系統延遲，Bs(z-1)包含穩定零點，Bu(z-1)包含不穩定零點。A(z-1)包含系統的所有極點。

Pn-1(z-1)是被控系統P(z-1)的逆模型，由零相位誤差跟蹤數字控制算法[10]獲得

其中：Buf(z-1)是Bu(z-1)的直接逆，z-nu是Bu(z-1)的最高次項，z-nc是保證Pn-1(z-1)為因果的系統延時項。

z-m為系統延時項，且z-m≈Pn-1(z-1)P(z-1)。

選擇有限脈沖響應濾波器作為選頻濾波器Q(z-1)，表達式為

其中：λ為決定選頻濾波器性能的重要參數。以2 Hz信號為例，采樣頻率為1000 Hz，得到Q(z-1)的頻率響應曲線，如圖6所示，可以明顯看到僅基頻與倍頻成分可以通過選頻濾波器。λ=0時，選頻濾波器不起作用，隨著λ的增大，選頻濾波器對非倍頻成分的過濾能力越好。

圖6 Q(z -1)頻率響應

由系統框圖得到閉環靈敏度函數

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僅采用C()

z-1控制器時，系統的靈敏度函數為

對比式(11)與式(12)，可以發現改進型重復控制器的作用主要在于1-z-mQ項，其頻率響應曲線如圖7所示。

λ=1時，改進重復控制器不起作用；0≤λ＜1時，可以明顯看到重復控制器對于各倍頻成分的誤差能起到很好的抑制作用。

選頻濾波器在實際應用中，往往會引起信號的延遲[11]，本文在選頻濾波器后加入零相位低通濾波器，其表達式為

圖7 1-z-mQ()z-1頻率響應

因此，實際應用中Q(z-1)的表達式為

其中：z-nq是保證q(z,z-1)為因果系統的延時項，nq是q(z,z-1)的最高階數。

3 實驗研究

3.1 硬件系統

為驗證改進型重復控制器對新型電磁振動臺低頻輸出位移控制的有效性，搭建如圖8所示實驗平臺。

擴展臺用以安裝、定位被測件，通過夾具與新型電磁振動臺剛性連接。選用Keyence激光位移傳感器測量臺面位移；數據采集使用NI Compact RIO系統，采樣頻率為1000 Hz，上位機控制程序通過采集到的位移信號計算控制電流，并通過NI Compact RIO輸出模塊給功率放大器（NF BP4610），放大后的驅動電流作為振動臺的輸入，以實現電磁振動臺的低頻位移波形跟蹤控制。

3.2 跟蹤控制

針對新型電磁振動臺5 Hz以下低頻段，采用改進型重復控制器進行跟蹤控制。選取1 Hz，2 Hz，5 Hz作為跟蹤控制測試頻率，以不同頻率的正弦信號作為參考信號輸入。出于振動臺自身振動特性的限制，選取1 Hz參考信號的峰-峰值為1 mm，2 Hz與5 Hz參考信號的峰-峰值為2 mm。圖9-（a）為期望、實際、開環位移。圖9（b）對比開環與跟蹤誤差。表1為各測試頻率處，開環與跟蹤定位波形輸出均方根誤差。

圖8 實驗硬件系統

表1 開環與跟蹤定位波形輸出均方根誤差

開環工況下，振動臺在1 Hz與2 Hz正弦輸出時波形誤差較大，最大誤差可占幅值的53.6%。本文所設計的改進型重復控制器顯著改善了振動臺的低頻輸出性能，1 Hz測試頻率處，波形輸出均方根誤差降低了63.4%；2 Hz測試頻率處，波形輸出均方根誤差降低了57.6%；5 Hz測試頻率處，振動臺開環位移輸出與跟蹤控制輸出性能幾乎無差異，波形輸出均方根誤差僅降低了5.6%，這一點也證明了新型電磁振動臺驅動機理優勢，即5 Hz以上單頻位移輸出性能良好，開環輸出即滿足測試要求。

4 結語

（1）本文應用磁滯非線性分解方法，將磁滯非線性分解為線性增益與有界周期性干擾，避免了磁滯建模的復雜過程。

（2）針對新型電磁振動臺的低頻位移波形失真問題，提出一種改進型重復控制器。引入選頻濾波器，避免了RC控制器對非倍頻周期誤差、干擾的放大，改善了傳統RC控制器的性能。

（3）實驗結果表明，該控制器可以顯著改善振動臺的低頻輸出性能，位移跟蹤效果好，波形輸出誤差減小。

圖9 1Hz跟蹤效果

圖10 2Hz跟蹤效果

圖11 5Hz跟蹤效果

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