3-DOF并聯微夾取器的運動學建模

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(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

近幾十年來，隨著微納米技術的快速發展，研究對象的不斷細微化，微操作技術受到人們越來越多的關注[1-3]。為了實現對微小物體的抓取、移動等操作，微操作機器人的末端執行器需要2個手指的協調作用，即微夾取器。目前，絕大多數的微夾取器均是以基于鑷子夾取物體的操作原理而設計的，它具有結構簡單、操作方便、控制精度高的特點[4-7]。但是，由于2根手指之間只有1個自由度，限制了微夾取器的操作能力。而采用基于筷子操作原理的方式對細胞進行抓取、翻轉是更加靈活的操作方式。日本東京大學的Tanikawa[8]和Ramadan[9]設計了一種由壓電陶瓷管驅動的基于筷子操作原理的微夾取器，其操作空間為幾百微米，定位精度小于0.1 μm。雖然該微夾取器成功抓取了微米級的球形物體，但是它的結構復雜，體積也較大，進而造成加工成本高等問題。

在此，提出了一種由直線超聲電機[10-11]驅動的基于筷子操作原理的三自由度并聯微夾取器，其結構緊湊且簡單。利用空間坐標轉換和矢量鏈法建立了其運動學模型，求解了微夾取器輸入與輸出的運動學關系。通過實驗測量驗證了該運動學模型的準確性，并對出現的誤差進行了分析，最后運用該微夾取器成功夾取了蝦卵細胞。

1 微夾取器結構

基于筷子操作原理的微夾取器是微操作機器人設計的發展方向。本文所設計的微夾取器采用并聯結構，它包括手臂、驅動部件、柔性鉸鏈、圓盤、固定手指、活動手指和底座，如圖1所示。手臂為圓柱體結構，固定在底座上，是微夾取器的主體支撐結構。為方便將驅動部件安裝在手臂上，在手臂的圓柱形表面切割出3個凹槽，3部驅動元件均勻安裝在手臂的中軸線周圍，兩兩相差120°。驅動部件包括直線超聲電機、滑塊和直線導軌，其中導軌與手臂的中軸線平行。3個萬向柔性鉸鏈的一端固定在導軌上，另一端固定在圓盤上。固定手指安裝在手臂上，指尖穿過圓盤上的中心孔，不產生任何運動。活動手指安裝在圓盤上，與手臂中軸線成一夾角，指根固定在圓盤上的位置與其中一個柔性鉸鏈的底端面關于圓盤對稱。

直線超聲電機驅動導軌移動，導軌帶動圓盤轉動，而圓盤的轉動實現活動手指的運動，從而實現活動手指和固定手指之間的相對運動，并用于對微小物體進行抓取和調整位姿的操作。3個導軌的位移是相互獨立的，它驅動圓盤產生1個自由度的平動和2個自由度的轉動，因此，活動手指也有3個自由度的運動，表現在手指尖端點在x,y,z3個方向的移動。

圖1 微夾取器的結構示意

2 運動學建模及分析

該微夾取器采用的是萬向柔性鉸鏈，其在受力時可產生彎曲變形從而使得運動平臺能夠轉動。圓盤在實際操作中發生的轉動角度極其微小，因而柔性鉸鏈的彎曲變形也極其微小[9]，因此為了簡化模型，得到簡單的且更直觀的運動學模型，將各向同性的萬向柔性鉸鏈視作球鉸。

2.1 運動學模型描述

由于固定手指沒有運動，因此只針對活動手指來建立模型。微夾取器的數學模型如圖2所示。全局坐標系{O}建立在手臂的底面圓心處，z軸沿著手臂中軸線，正方向指向圓盤，x軸指向其中一條運動鏈，根據直角坐標系右手法則，y軸方向也就確定了。圓盤視為一個以C為圓點、R為半徑的活動平臺。3條相同且平行的運動鏈通過與底面垂直的滑動副di(由直線超聲電機驅動)來連接底面和活動平臺，i=1,2,3代表運動鏈的順序。運動鏈和活動平臺之間由球鉸Pi連接，其在活動平臺上的分布如圖3所示。

圖2 微夾取器的數學模型

圖3 鉸鏈在活動平臺上的分布

手指的一端固定在與球鉸P1相連的活動平臺上，與活動平臺之間的角度為θ，另一端點定義為點E，即微夾取器的操作末端。在活動平臺的圓心C處建立局部坐標系{C}，其法向量為NC,單位法向量為nC。微夾取器的廣義輸出坐標定義為xE=[xEyEzE]T，其中，xE，yE，zE表示操作末端在全局坐標系中的位置。球鉸在坐標系{O}中的位置為xPi=[xPiyPizPi]T。初始狀態下，活動平臺沒有發生轉動，即手指的末端點E與活動平臺中心點C之間的連線垂直于圓柱形底面。

由于活動平臺在z軸方向沒有轉動，所以活動平臺相對于全局坐標系的轉動，可以用1個3×3的空間坐標變換矩陣來表示。根據剛體有限轉動歐拉定理可知，坐標系{O}和坐標系{C}之間的空間坐標變換矩陣為：

RXY′(α,β)=RY′(β)·RX(α)=

(1)

RX，RY′為坐標軸各次轉動后所對應的方向余弦矩陣；角α，β分別為活動平臺繞x軸和y軸的轉動角度。根據微夾取器的數學模型，利用矢量鏈法可得操作末端點E在全局坐標系中的坐標為：

(2)

(3)

(4)

球鉸在坐標系{O}中z軸的坐標即直線滑動副在z軸的坐標，對于直線滑動副，也就是輸入變量di有:di=zPi。因此，通過式(4)即可得到該微夾取器的運動學模型。

2.2 各運動鏈輸入與輸出的位移關系

式(4)中含有未知變量α和β，為了通過輸入變量di來計算活動平臺的轉角α和β，利用活動平臺的法向量與轉角之間的關系來獲得。如圖4所示，假設

圖4 先α后β旋轉坐標系

活動平臺的起始坐標系{C}首先繞著x′軸轉動了角度α，此時x′軸與平面y′y″z′z″是垂直的。然后，轉動后所形成的新的坐標系{Cx″y″z″}繞著y″軸轉動了角度β，那么x′軸，z″軸，z?軸是在一個平面內的，因此可得：β=π/2-∠x′Cz?。

同理，當活動平臺的起始坐標系{C}首先繞著y′軸轉動角度β，然后新坐標系{Cx″y″z″}再繞x″轉動α，可得：α=∠y′Cz?-π/2。

為了得到∠x′Cz?和∠y′Cz?的表達式，可利用活動平臺的單位法向量來求解。由di=zPi，可得由輸入變量di表示的鉸鏈Pi在全局坐標系中的坐標位置為：

(5)

進而可分別求得活動平臺的法向量和單位法向量分別為：

(6)

[cos∠x′Cz? cos∠y′Cz? cos∠z′Cz?]

(7)

|NC|=

i，j，k代表全局坐標系{O}中的單位法向量。

聯合上述各式，角α，β即可由di求出，分別為：

(8)

(9)

根據式(4)所描述的運動學模型，微夾取器的輸出位移xE可由輸入位移di表達出來。如果只考慮操作末端的位移變化量ΔxE隨輸入的位移變化量Δdi之間關系，可得到3條運動鏈上輸入與輸出之間的位移關系，分別為：

(10)

(11)

(12)

3 微夾取器的實驗研究

構建如圖5所示的實驗系統，來測試所研制的微夾取器的工作性能，開展抓取微小物體的實驗。為了實時測量直線超聲電機的輸出位移，即微夾取器的輸入位移，將位移分辨率為0.5 μm的光柵尺安裝在3條導軌的尾部。利用高精度電子顯微鏡系統的顯示器能實時監測手指末端的運動情況，即能測量微夾取器的輸出位移。

圖5 微夾取器的實驗系統

3.1 運動學關系驗證

微夾取器的圓盤半徑為R=52 mm。令活動手指與圓盤之間的夾角θ為60°，這樣的角度既能保證2根手指方便地對物體進行抓取操作，又能使得整體機構緊湊，不會因為手指過長而造成微夾取器的體積太大。

分別驅動圖2中3條運動鏈上的超聲電機導軌運動，選取導軌的移動位移量為0.1～1 mm之間的10個點，在顯微鏡下測量活動手指尖端在x軸、y軸和z軸上的移動位移量。通過多次實驗測量取平均值后，與利用MATLAB軟件計算出的運動學模型理論結果作對比，如圖6～圖8所示。圖6～圖8中的曲線代表模型計算結果，圓圈、三角形和星點分別代表手指尖端在x軸，y軸和z軸上的實驗測量值。

圖6 運動鏈1的理論與實驗對比

圖7 運動鏈2的理論與實驗對比

圖8 運動鏈3的理論與實驗對比

3.2 誤差分析

由圖6～圖8可知，3條運動鏈在x，y，z軸上的實驗測量值與理論計算結果都基本吻合，只有部分數值有超過20 μm的誤差，而且誤差大的測量點都分布在電機驅動到1 mm的位置附近，其原因主要有：

a.所建立的運動學模型沒有考慮柔性鉸鏈的彎曲變形而造成的在x-y平面上的位移，因此柔性鉸鏈的彎曲變形量越大，實驗測得的實際值與模型結果相差越大。

b.當電機的輸入位移在1 mm左右時，此時柔性鉸鏈的變形恢復力很大，使得操作末端存在機械漂移現象。

c.直線超聲電機具有響應快、瞬時沖擊力大的特點，因此會引起操作末端的微幅振動。

3.3 蝦卵細胞的夾取實驗

為了探究該微夾取器的夾取性能，開展了對微小物體的夾取實驗研究。顯微鏡下抓取直徑約為250 μm蝦卵細胞的具體過程如圖9所示。首先，根據被抓取物體的大小調整2根手指尖端之間的距離，如圖9a所示。然后，使固定手指末端緩慢靠近細胞，最終觸碰到蝦卵細胞的一側，如圖9b所示，以便活動手指的夾取工作。接著，驅動第1條運動鏈上的超聲電機，使活動手指末端靠近細胞，第2條和第3條運動鏈的電機用來保證2根手指對細胞位置的姿態調整和平衡，如圖9c所示。最后，通過調節3個電機的運動，當細胞有一定的變形量時，則表示已經抓取成功，如圖9d所示。單人便可完成抓取的整個過程，而且對操作人員的要求不高，使用起來比較方便。

圖9 蝦卵細胞的夾取過程

4 結束語

提出了一種由直線超聲電機驅動的基于筷子操作原理的3-DOF并聯微夾取器。為簡化模型，將萬向柔性鉸鏈簡化為球鉸，利用空間坐標轉換和矢量鏈法建立了其運動學模型，求解了微夾取器各運動鏈輸入與輸出的位移關系。構建了微夾取器的實驗系統，通過實驗測量驗證了該運動學模型的準確性，分析了出現誤差的原因。成功地抓取了直徑為250 μm的蝦卵細胞，表明該微夾取器具有良好的操作性。

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