基于固定時間一致性的無人機集群構型變換

梁曉龍, 劉 流, 何呂龍, 史振慶, 任寶祥

(空軍工程大學空管領航學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

近年來,無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)集群的編隊控制問題得到了來自科研和工程領域的關注,并取得了大量研究成果[1-2]。在軍事應用中如集群無源定位協調構型[3]、集群協同反隱身構型[4]等便是通過形成特定的編隊構型使集群具有不同的功能。在具體任務執行過程中,集群往往需要根據不同要求在不同構型間進行變換。此時能夠準確掌握集群構型變換所需時間,使得集群在指定時間內完成構型變換對于任務行動的規劃與執行具有重要意義[5]。

在集群系統的構型變換與重構的研究方面,國內外學者已經取得了一些成果。文獻[6]提出了一種基于多智能體的混合優化算法,在重構的不同階段采取不同的策略:采用變分法來產生燃料最優的重構路徑,并利用動態規劃方法來進行全局的任務分配,利用遺傳算法來決定重構編隊構型,但該算法并未考慮在重構過程中的防撞問題。文獻[7]在此基礎上提出了分層進化路徑規劃方法,實現了重構過程中集群間的防撞,并采用了最優控制的思想解決重構問題。文獻[8]則將集群構型的重構定義為參數的最優化問題,提出了混合粒子群遺傳算法,提高了尋找全局最優解的收斂速度,實現了時間和燃料最優的集群重構。

隨著一致性理論的發展[9],多智能體信息一致性理論也逐漸應用于集群系統的編隊控制、群集運動和狀態估計等領域,僅依靠局部信息交互的一致性算法日漸成熟[10]。文獻[11]研究了具有時延的二階多智能體系統編隊控制問題,設計了基于位置和速度信息的編隊控制協議并給出了協議中增益矩陣的確定方法。文獻[12]進一步研究了具有切換拓撲的二階多智能體系統的編隊控制問題,給出了實現時變編隊的充要條件,討論編隊可實現的約束條件,并利用多架四旋翼無人機對理論分析結果進行了實驗驗證。但以上文獻關于多智能體系統一致性問題的研究都是漸進一致結果,無法使系統在指定時間內達到一致。文獻[13]提出了多智能體系統基于連續狀態反饋的分布式有限時間一致性協議,開始關注一致性中的收斂速率問題。文獻[14]針對有領導者和無領導者的多智能體系統,通過“加冪積分器”的方法提出了連續的有限時間一致性協議,但該方法能否使得系統在有限時間達到一致還取決于智能體的初始狀態。文獻[15-18]提出了具有時延、非線性擾動情況下多智能體系統的固定時間一致性協議,且與智能體的初始狀態無關,實現了固定時間內的一致,但系統無法按照期望構型收斂。

本文在固定時間一致性理論研究成果基礎上,重點解決具有一階積分特性的無人機集群系統在固定時間內實現期望構型變換的問題,創新點主要有兩點:一是通過在現有固定時間一致性協議中引入編隊參考向量,實現了無人機集群能夠完成指定的構型變換;二是搭建四旋翼無人機集群系統,利用系統對所設計的控制協議進行飛行實驗,驗證了理論結果的有效性。

符號說明:本文中,在不引起歧義的情況下,用1(0)表示元素全為1(0)的相應維數的矩陣或向量,sig(x)α=sign(x)|x|α,在仿真及實驗過程中涉及到的位置單位為米(m),速度單位為米每秒(m/s)。

1 預備知識

將每個智能體作為節點,則智能體網絡拓撲通常用有向圖G=(W,E,A)來描述,其中W=(w1,w2,…,wn)為非空有限的節點集合,E={(wi,wj):wi,wj∈W(G)}為邊集,A=[aij]∈RN×N為非負鄰接矩陣。在圖G中,若節點i與節點j之間存在信息交換,則存在邊(wi,wj);若信息交換是沒有方向性的,即(wi,wj)∈E?(wj,wi)∈E,則稱圖G為無向圖;若信息流只從節點j流向節點i,即邊是有方向性的,則稱圖G為有向圖,可以將無向圖看作有向圖的特殊情況。如果在任意兩個節點之間都存在至少一條路徑,則圖G為連通的。記節點i的鄰居節點為集合Ni?W(G),即Ni={wj∈W:(wi,wj)∈E}。如果wj∈Ni(i≠j),則aij>0,否則aij=0。圖的Laplacian矩陣L=[lij]∈RN×N定義為

(1)

為便于后文進一步研究,還需要以下引理。

引理1[19]對于無向圖G,其鄰接矩陣A和Laplacian矩陣L都是對稱矩陣。如果G是連通的,則0是L的單一特征值,其余特征值均為正。

引理2[20]對于具有n個節點的連通無向圖G,其Laplacian矩陣L具有以下性質:

(1) 對于任意

(2)L是半正定矩陣;

(3) 將L的特征值記為{0,λ2,λ3,…,λn}且滿足0≤λ2≤λ3≤…≤λn,則第二小的特征值λ2>0,若1Tx=0,則xTLx≥λ2xTx。

引理3[15]如果存在一個連續徑向有界函數V:Rn→R+∪{0}滿足:

(1)V(x)=0?x=0;

(2)

注1從引理3可以看出達到一致的時間T滿足T≤Tmax。Tmax的取值只與α,β,p,q,k的取值有關,這些參數的取值只取決于一致性控制協議、智能體的數量以及Laplacian矩陣L第二小的特征值,與多智能體系統的初始狀態無關。

引理4[21]取a1,a2,…,aN≥0,則

(3)

2 問題描述及固定時間一致性協議

2.1 問題描述

考慮由N個無人機組成的集群系統,多無人機之間的通信拓撲用無向圖G描述,本文在固定連通拓撲下進行研究。無人機i∈{1,2,…,N}看作是G的節點wi。把單個無人機視為質點,其動力學模型采用一階積分模型[16]:

(4)

其中,i=1,2,…,N,xi(t)、ui(t)分別表示第i個無人機的位置和速度,同時ui(t)也為對應的控制輸入。假定無人機三維運動相互解耦,為便于描述,本文在一維的情況下進行分析,但所得的結論仍適用于二維平面及三維空間。

定義1?i,j=1,2,…,N,如果存在固定時間T使得系統在任意初始狀態下都滿足:

(5)

則稱系統能夠在固定時間T內實現一致,并達到期望構型。

其中,rij=ri-rj為編隊參考構型向量,R=[rij]為參考構型矩陣,固定時間T≤Tmax。

2.2 固定時間一致性協議

為實現無人機集群系統的固定時間一致性,設計如下基于位置信息的分布式控制協議:

(6)

式中,c1,c2,c3為正常數；p∈(0,1),q∈(1,∞)。協議式(6)在文獻[16]的基礎上引入了參考構型向量rij,從而使得集群編隊能夠按照期望構型達到一致。

為便于下文相關定理的證明,令ei=xi-ri,將協議(6)轉化為如下形式:

(7)

注2從控制協議式(7)中可以看出,t時刻控制輸入的產生是由無人機根據自身及鄰居無人機的位置信息、與期望構型的對比所計算產生的,若輸入產生頻率在PIX自駕儀可執行的性能范圍內,便可使集群達到期望位置,完成構型變換。

定理1無人機集群系統式(4)能夠通過協議式(6)實現固定時間一致性的充分條件是:系統的無向通信拓撲圖保持連通,即系統的Laplacian矩陣L≥0。

固定一致時間T滿足:

(8)

證明構造如下Lyapunov函數

(9)

則

(10)

由于

則

(11)

此時只需要L≥0,即矩陣L半正定,無向通信拓撲圖連通即可滿足

固定一致時間T滿足式(8),定理1得證。

證畢

注3從定理1的證明可以看出,在理論上系統實現一致性的時間可以根據參數的設置任意指定,但在實際應用中,受到硬件性能的限制,往往需要根據實際情況具體考慮,選擇合適參數實現指定時間內的一致性。

3 仿真及實驗結果分析

本部分首先對所搭建的四旋翼無人機實驗系統進行介紹,隨后在Matlab環境下進行數值仿真并利用四旋翼無人機平臺進行飛行驗證,并對實驗數據進行分析。

3.1 實驗系統介紹

實驗驗證系統由四旋翼無人機平臺、地面站、數據鏈共同組成,系統實物圖如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機實驗系統Fig.1 Quadrotor experimental system

四旋翼無人機的飛行控制系統采用的是PIX自駕儀,自駕儀內置3組加速度計、3組陀螺儀、2組電子羅盤來估計四旋翼無人機的運動狀態,并通過一張存儲容量為4 GB的反式(trans flash,TF)存儲卡記錄實驗數據。系統采用全球定位系統(global position system,GPS)作為定位模塊為無人機提供實時定位導航,其頻率為10 Hz,定位模塊通過串口通信與無人機進行數據傳輸。實驗系統為了實現無人機集群的分布式組網通信,采用基于Mesh組網技術的YL-800N自組網模塊,通信頻率為433 MHz。由于無人機在調用相關控制協議進行運動控制時需要一定的計算量和較高實時性,系統選用STM32F4系列微處理器進行實時運算。系統的硬件結構圖如圖2所示。

圖2 實驗系統硬件結構圖Fig.2 Hardware structure of the experimental system

3.2 仿真及實驗數據分析

考慮一個包含4架無人機的集群系統,在二維平面內進行運動并進行隊形變換,相關系統矩陣為

式中,xix，xiy分別表示第i(i=1,2,3,4)架無人機的北向位置和東向位置。

無人機的初始狀態為

相關參數為p=0.8,q=20,c1=0.5,c2=0.5,c3=5。為使無人機的速度符合無人機性能要求,對無人機速度輸入大小作如下限制:

此時根據式(8)可以計算出固定一致時間T=47.49 s。

系統仿真流程如圖3所示。首先根據構型變換的時間需求選擇合適的控制協議參數,由于是分布式控制協議,各無人機根據控制協議以及鄰居無人機的位置信息計算出自身的控制量,若控制量大小符合最大輸入限制,則無人機按照控制量進行運動,否則經處理后由無人機執行,最終無人機集群在固定時間內達到期望構型。

圖3 仿真流程圖Fig.3 Simulation flow chart

從編隊控制協議式(6)中可以看出,每一架無人機只需要根據自身及與其通信的鄰居無人機的位置信息和參考構型位置便可完成運動控制,無人機之間通過YL-800模塊以10 Hz的頻率進行組網通信。在本次實驗驗證中,位置信息由GPS定位模塊進行測量(見圖4～圖7)。

在實驗過程中,為避免無人機出現相撞,本文主要從兩個方面進行設計考慮,首先將4架無人機的實驗高度分別定為5 m、7 m、9 m、11 m,4架無人機分別在各自高度進行二維平面內的運動;其次在無人機中加入危險接近處置原則,即無人機在飛行過程中若感知到存在另外無人機與自身距離小于1 m,則停止飛行。實驗過程中的飛行情況如圖8所示。

圖4 運動軌跡圖Fig.4 State trajectories of four quadrotors

圖5 控制輸入變化圖Fig.5 Control inputs of the four quadrotors

圖6 南北方向速度變化圖Fig.6 North-south direction velocity curve

圖7 東西方向速度變化圖Fig.7 East-west direction velocity curve

圖8 實驗編隊飛行圖Fig.8 Formation flight image in experiment

無人機起飛后便由地面站向無人機發送指令,無人機進行組網通信,調用相應控制協議進行構型變換,從圖4(b)中可以看出,無人機集群編隊在固定通信拓撲的條件下,按照文中設計的編隊控制協議,最終完成了期望構型的變換,其中,綠色實線為無人機初始構型,紫色虛線則表示最終期望構型,圖4(c)反映了各無人機仿真運動軌跡與實驗運動軌跡的誤差變化圖,從圖中可以看出除少數時間誤差達到3.5 m左右,其余時間均穩定在2 m左右,符合GPS實際定位誤差,說明了實驗結果的有效性。圖5反映的是實驗過程中控制輸入大小的變化,從圖5(b)中可以看出控制輸入大小在40 s左右基本穩定在0,即無人機已經達到期望構型,且所用時間小于指定時間47.49 s,符合理論預期。圖6、圖7分別反映無人機在南北及東西方向上的速度大小變化。圖5(c)、圖6(c)以及圖7(c)表現的是相關數據的仿真與實驗數據誤差變化圖,從中可以看出實驗數據仍存在一定的誤差,主要是由傳感器誤差、通信時延以及外部環境因素造成的,除開始階段外速度以及控制輸入誤差大小不超過0.5,實驗結果依然具有有效性。

4 結 論

本文針對具有固定連通拓撲的一階無人機集群,設計了固定時間一致性控制協議,確保集群系統能夠在固定時間內實現一致。

(1) 通過引入參考編隊構型向量,使得無人機集群能夠完成期望構型的變換,其充分條件為通信拓撲保持連通,利用Lyapunov函數給出了相應證明；

(2) 搭建四旋翼無人機實驗系統,利用4架四旋翼無人機對本文提出的控制協議進行實驗驗證,實驗結果證明了本文方法的有效性。

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