基于固定時間一致性的無人機集群構(gòu)型變換

梁曉龍, 劉 流, 何呂龍, 史振慶, 任寶祥

(空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

近年來,無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)集群的編隊控制問題得到了來自科研和工程領(lǐng)域的關(guān)注,并取得了大量研究成果[1-2]。在軍事應(yīng)用中如集群無源定位協(xié)調(diào)構(gòu)型[3]、集群協(xié)同反隱身構(gòu)型[4]等便是通過形成特定的編隊構(gòu)型使集群具有不同的功能。在具體任務(wù)執(zhí)行過程中,集群往往需要根據(jù)不同要求在不同構(gòu)型間進行變換。此時能夠準確掌握集群構(gòu)型變換所需時間,使得集群在指定時間內(nèi)完成構(gòu)型變換對于任務(wù)行動的規(guī)劃與執(zhí)行具有重要意義[5]。

在集群系統(tǒng)的構(gòu)型變換與重構(gòu)的研究方面,國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得了一些成果。文獻[6]提出了一種基于多智能體的混合優(yōu)化算法,在重構(gòu)的不同階段采取不同的策略:采用變分法來產(chǎn)生燃料最優(yōu)的重構(gòu)路徑,并利用動態(tài)規(guī)劃方法來進行全局的任務(wù)分配,利用遺傳算法來決定重構(gòu)編隊構(gòu)型,但該算法并未考慮在重構(gòu)過程中的防撞問題。文獻[7]在此基礎(chǔ)上提出了分層進化路徑規(guī)劃方法,實現(xiàn)了重構(gòu)過程中集群間的防撞,并采用了最優(yōu)控制的思想解決重構(gòu)問題。文獻[8]則將集群構(gòu)型的重構(gòu)定義為參數(shù)的最優(yōu)化問題,提出了混合粒子群遺傳算法,提高了尋找全局最優(yōu)解的收斂速度,實現(xiàn)了時間和燃料最優(yōu)的集群重構(gòu)。

隨著一致性理論的發(fā)展[9],多智能體信息一致性理論也逐漸應(yīng)用于集群系統(tǒng)的編隊控制、群集運動和狀態(tài)估計等領(lǐng)域,僅依靠局部信息交互的一致性算法日漸成熟[10]。文獻[11]研究了具有時延的二階多智能體系統(tǒng)編隊控制問題,設(shè)計了基于位置和速度信息的編隊控制協(xié)議并給出了協(xié)議中增益矩陣的確定方法。文獻[12]進一步研究了具有切換拓撲的二階多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題,給出了實現(xiàn)時變編隊的充要條件,討論編隊可實現(xiàn)的約束條件,并利用多架四旋翼無人機對理論分析結(jié)果進行了實驗驗證。但以上文獻關(guān)于多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究都是漸進一致結(jié)果,無法使系統(tǒng)在指定時間內(nèi)達到一致。文獻[13]提出了多智能體系統(tǒng)基于連續(xù)狀態(tài)反饋的分布式有限時間一致性協(xié)議,開始關(guān)注一致性中的收斂速率問題。文獻[14]針對有領(lǐng)導(dǎo)者和無領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng),通過“加冪積分器”的方法提出了連續(xù)的有限時間一致性協(xié)議,但該方法能否使得系統(tǒng)在有限時間達到一致還取決于智能體的初始狀態(tài)。文獻[15-18]提出了具有時延、非線性擾動情況下多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性協(xié)議,且與智能體的初始狀態(tài)無關(guān),實現(xiàn)了固定時間內(nèi)的一致,但系統(tǒng)無法按照期望構(gòu)型收斂。

本文在固定時間一致性理論研究成果基礎(chǔ)上,重點解決具有一階積分特性的無人機集群系統(tǒng)在固定時間內(nèi)實現(xiàn)期望構(gòu)型變換的問題,創(chuàng)新點主要有兩點:一是通過在現(xiàn)有固定時間一致性協(xié)議中引入編隊參考向量,實現(xiàn)了無人機集群能夠完成指定的構(gòu)型變換;二是搭建四旋翼無人機集群系統(tǒng),利用系統(tǒng)對所設(shè)計的控制協(xié)議進行飛行實驗,驗證了理論結(jié)果的有效性。

符號說明:本文中,在不引起歧義的情況下,用1(0)表示元素全為1(0)的相應(yīng)維數(shù)的矩陣或向量,sig(x)α=sign(x)|x|α,在仿真及實驗過程中涉及到的位置單位為米(m),速度單位為米每秒(m/s)。

1 預(yù)備知識

將每個智能體作為節(jié)點,則智能體網(wǎng)絡(luò)拓撲通常用有向圖G=(W,E,A)來描述,其中W=(w1,w2,…,wn)為非空有限的節(jié)點集合,E={(wi,wj):wi,wj∈W(G)}為邊集,A=[aij]∈RN×N為非負鄰接矩陣。在圖G中,若節(jié)點i與節(jié)點j之間存在信息交換,則存在邊(wi,wj);若信息交換是沒有方向性的,即(wi,wj)∈E?(wj,wi)∈E,則稱圖G為無向圖;若信息流只從節(jié)點j流向節(jié)點i,即邊是有方向性的,則稱圖G為有向圖,可以將無向圖看作有向圖的特殊情況。如果在任意兩個節(jié)點之間都存在至少一條路徑,則圖G為連通的。記節(jié)點i的鄰居節(jié)點為集合Ni?W(G),即Ni={wj∈W:(wi,wj)∈E}。如果wj∈Ni(i≠j),則aij>0,否則aij=0。圖的Laplacian矩陣L=[lij]∈RN×N定義為

(1)

為便于后文進一步研究,還需要以下引理。

引理1[19]對于無向圖G,其鄰接矩陣A和Laplacian矩陣L都是對稱矩陣。如果G是連通的,則0是L的單一特征值,其余特征值均為正。

引理2[20]對于具有n個節(jié)點的連通無向圖G,其Laplacian矩陣L具有以下性質(zhì):

(1) 對于任意

(2)L是半正定矩陣;

(3) 將L的特征值記為{0,λ2,λ3,…,λn}且滿足0≤λ2≤λ3≤…≤λn,則第二小的特征值λ2>0,若1Tx=0,則xTLx≥λ2xTx。

引理3[15]如果存在一個連續(xù)徑向有界函數(shù)V:Rn→R+∪{0}滿足:

(1)V(x)=0?x=0;

(2)

注1從引理3可以看出達到一致的時間T滿足T≤Tmax。Tmax的取值只與α,β,p,q,k的取值有關(guān),這些參數(shù)的取值只取決于一致性控制協(xié)議、智能體的數(shù)量以及Laplacian矩陣L第二小的特征值,與多智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。

引理4[21]取a1,a2,…,aN≥0,則

(3)

2 問題描述及固定時間一致性協(xié)議

2.1 問題描述

考慮由N個無人機組成的集群系統(tǒng),多無人機之間的通信拓撲用無向圖G描述,本文在固定連通拓撲下進行研究。無人機i∈{1,2,…,N}看作是G的節(jié)點wi。把單個無人機視為質(zhì)點,其動力學(xué)模型采用一階積分模型[16]:

(4)

其中,i=1,2,…,N,xi(t)、ui(t)分別表示第i個無人機的位置和速度,同時ui(t)也為對應(yīng)的控制輸入。假定無人機三維運動相互解耦,為便于描述,本文在一維的情況下進行分析,但所得的結(jié)論仍適用于二維平面及三維空間。

定義1?i,j=1,2,…,N,如果存在固定時間T使得系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下都滿足:

(5)

則稱系統(tǒng)能夠在固定時間T內(nèi)實現(xiàn)一致,并達到期望構(gòu)型。

其中,rij=ri-rj為編隊參考構(gòu)型向量,R=[rij]為參考構(gòu)型矩陣,固定時間T≤Tmax。

2.2 固定時間一致性協(xié)議

為實現(xiàn)無人機集群系統(tǒng)的固定時間一致性,設(shè)計如下基于位置信息的分布式控制協(xié)議:

(6)

式中,c1,c2,c3為正常數(shù)；p∈(0,1),q∈(1,∞)。協(xié)議式(6)在文獻[16]的基礎(chǔ)上引入了參考構(gòu)型向量rij,從而使得集群編隊能夠按照期望構(gòu)型達到一致。

為便于下文相關(guān)定理的證明,令ei=xi-ri,將協(xié)議(6)轉(zhuǎn)化為如下形式:

(7)

注2從控制協(xié)議式(7)中可以看出,t時刻控制輸入的產(chǎn)生是由無人機根據(jù)自身及鄰居無人機的位置信息、與期望構(gòu)型的對比所計算產(chǎn)生的,若輸入產(chǎn)生頻率在PIX自駕儀可執(zhí)行的性能范圍內(nèi),便可使集群達到期望位置,完成構(gòu)型變換。

定理1無人機集群系統(tǒng)式(4)能夠通過協(xié)議式(6)實現(xiàn)固定時間一致性的充分條件是:系統(tǒng)的無向通信拓撲圖保持連通,即系統(tǒng)的Laplacian矩陣L≥0。

固定一致時間T滿足:

(8)

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(9)

則

(10)

由于

則

(11)

此時只需要L≥0,即矩陣L半正定,無向通信拓撲圖連通即可滿足

固定一致時間T滿足式(8),定理1得證。

證畢

注3從定理1的證明可以看出,在理論上系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的時間可以根據(jù)參數(shù)的設(shè)置任意指定,但在實際應(yīng)用中,受到硬件性能的限制,往往需要根據(jù)實際情況具體考慮,選擇合適參數(shù)實現(xiàn)指定時間內(nèi)的一致性。

3 仿真及實驗結(jié)果分析

本部分首先對所搭建的四旋翼無人機實驗系統(tǒng)進行介紹,隨后在Matlab環(huán)境下進行數(shù)值仿真并利用四旋翼無人機平臺進行飛行驗證,并對實驗數(shù)據(jù)進行分析。

3.1 實驗系統(tǒng)介紹

實驗驗證系統(tǒng)由四旋翼無人機平臺、地面站、數(shù)據(jù)鏈共同組成,系統(tǒng)實物圖如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機實驗系統(tǒng)Fig.1 Quadrotor experimental system

四旋翼無人機的飛行控制系統(tǒng)采用的是PIX自駕儀,自駕儀內(nèi)置3組加速度計、3組陀螺儀、2組電子羅盤來估計四旋翼無人機的運動狀態(tài),并通過一張存儲容量為4 GB的反式(trans flash,TF)存儲卡記錄實驗數(shù)據(jù)。系統(tǒng)采用全球定位系統(tǒng)(global position system,GPS)作為定位模塊為無人機提供實時定位導(dǎo)航,其頻率為10 Hz,定位模塊通過串口通信與無人機進行數(shù)據(jù)傳輸。實驗系統(tǒng)為了實現(xiàn)無人機集群的分布式組網(wǎng)通信,采用基于Mesh組網(wǎng)技術(shù)的YL-800N自組網(wǎng)模塊,通信頻率為433 MHz。由于無人機在調(diào)用相關(guān)控制協(xié)議進行運動控制時需要一定的計算量和較高實時性,系統(tǒng)選用STM32F4系列微處理器進行實時運算。系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 實驗系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Hardware structure of the experimental system

3.2 仿真及實驗數(shù)據(jù)分析

考慮一個包含4架無人機的集群系統(tǒng),在二維平面內(nèi)進行運動并進行隊形變換,相關(guān)系統(tǒng)矩陣為

式中,xix，xiy分別表示第i(i=1,2,3,4)架無人機的北向位置和東向位置。

無人機的初始狀態(tài)為

相關(guān)參數(shù)為p=0.8,q=20,c1=0.5,c2=0.5,c3=5。為使無人機的速度符合無人機性能要求,對無人機速度輸入大小作如下限制:

此時根據(jù)式(8)可以計算出固定一致時間T=47.49 s。

系統(tǒng)仿真流程如圖3所示。首先根據(jù)構(gòu)型變換的時間需求選擇合適的控制協(xié)議參數(shù),由于是分布式控制協(xié)議,各無人機根據(jù)控制協(xié)議以及鄰居無人機的位置信息計算出自身的控制量,若控制量大小符合最大輸入限制,則無人機按照控制量進行運動,否則經(jīng)處理后由無人機執(zhí)行,最終無人機集群在固定時間內(nèi)達到期望構(gòu)型。

圖3 仿真流程圖Fig.3 Simulation flow chart

從編隊控制協(xié)議式(6)中可以看出,每一架無人機只需要根據(jù)自身及與其通信的鄰居無人機的位置信息和參考構(gòu)型位置便可完成運動控制,無人機之間通過YL-800模塊以10 Hz的頻率進行組網(wǎng)通信。在本次實驗驗證中,位置信息由GPS定位模塊進行測量(見圖4～圖7)。

在實驗過程中,為避免無人機出現(xiàn)相撞,本文主要從兩個方面進行設(shè)計考慮,首先將4架無人機的實驗高度分別定為5 m、7 m、9 m、11 m,4架無人機分別在各自高度進行二維平面內(nèi)的運動;其次在無人機中加入危險接近處置原則,即無人機在飛行過程中若感知到存在另外無人機與自身距離小于1 m,則停止飛行。實驗過程中的飛行情況如圖8所示。

圖4 運動軌跡圖Fig.4 State trajectories of four quadrotors

圖5 控制輸入變化圖Fig.5 Control inputs of the four quadrotors

圖6 南北方向速度變化圖Fig.6 North-south direction velocity curve

圖7 東西方向速度變化圖Fig.7 East-west direction velocity curve

圖8 實驗編隊飛行圖Fig.8 Formation flight image in experiment

無人機起飛后便由地面站向無人機發(fā)送指令,無人機進行組網(wǎng)通信,調(diào)用相應(yīng)控制協(xié)議進行構(gòu)型變換,從圖4(b)中可以看出,無人機集群編隊在固定通信拓撲的條件下,按照文中設(shè)計的編隊控制協(xié)議,最終完成了期望構(gòu)型的變換,其中,綠色實線為無人機初始構(gòu)型,紫色虛線則表示最終期望構(gòu)型,圖4(c)反映了各無人機仿真運動軌跡與實驗運動軌跡的誤差變化圖,從圖中可以看出除少數(shù)時間誤差達到3.5 m左右,其余時間均穩(wěn)定在2 m左右,符合GPS實際定位誤差,說明了實驗結(jié)果的有效性。圖5反映的是實驗過程中控制輸入大小的變化,從圖5(b)中可以看出控制輸入大小在40 s左右基本穩(wěn)定在0,即無人機已經(jīng)達到期望構(gòu)型,且所用時間小于指定時間47.49 s,符合理論預(yù)期。圖6、圖7分別反映無人機在南北及東西方向上的速度大小變化。圖5(c)、圖6(c)以及圖7(c)表現(xiàn)的是相關(guān)數(shù)據(jù)的仿真與實驗數(shù)據(jù)誤差變化圖,從中可以看出實驗數(shù)據(jù)仍存在一定的誤差,主要是由傳感器誤差、通信時延以及外部環(huán)境因素造成的,除開始階段外速度以及控制輸入誤差大小不超過0.5,實驗結(jié)果依然具有有效性。

4 結(jié) 論

本文針對具有固定連通拓撲的一階無人機集群,設(shè)計了固定時間一致性控制協(xié)議,確保集群系統(tǒng)能夠在固定時間內(nèi)實現(xiàn)一致。

(1) 通過引入?yún)⒖季庩牁?gòu)型向量,使得無人機集群能夠完成期望構(gòu)型的變換,其充分條件為通信拓撲保持連通,利用Lyapunov函數(shù)給出了相應(yīng)證明；

(2) 搭建四旋翼無人機實驗系統(tǒng),利用4架四旋翼無人機對本文提出的控制協(xié)議進行實驗驗證,實驗結(jié)果證明了本文方法的有效性。

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