基于峰值優化的改進PTS算法

季 策, 張 超

(東北大學計算機科學與工程學院, 遼寧 沈陽 110169)

0 引 言

正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是一種基于多個正交子載波調制的頻分復用技術。由于OFDM技術具有抗頻率選擇性衰落能力強和頻譜利用率高等優點,使其在無線局域網、數字視頻廣播及無線移動通信等領域得到廣泛應用[1-2]。然而,OFDM系統中信號的峰均功率比(peak-to-average power ratio,PAPR)較高,當其通過功率放大器時會產生非線性失真,從而導致接收端的誤碼率(bit error rate, BER)性能下降。所以,如何降低OFDM系統的PAPR已成為研究熱點。

對于OFDM系統的高PAPR問題,許多降低PAPR的方法已經被提出,如限幅法[3-5](clipping)、選擇映射法[6-10](selected mapping, SLM)和部分傳輸序列法[11-30](partial transmit sequence, PTS)。其中,SLM和PTS是處理OFDM系統中信號的常用算法,屬于概率類的算法,不會產生失真。本文重點研究PTS算法,缺點是計算復雜度較高,計算復雜度主要產生于OFDM系統中備選序列的生成和備選序列的PAPR的計算。為了降低計算復雜度,許多改進的PTS算法相繼被提出。文獻[11-13]是基于遺傳算法的改進PTS算法,通過減少搜索次數,從而降低計算復雜度。文獻[14-16]是將PTS算法與限幅法相結合的聯合算法,先對OFDM信號作PTS優化處理,再對處理后的信號作限幅處理。文獻[17-19]簡化了備選序列生成的運算過程,降低了計算復雜度。文獻[20-24]是基于峰值優化的PTS算法,峰值優化的思想是對備選序列采樣位置的功率值進行分析,對峰值功率較小的采樣位置的數據不作處理,而對易出現較大峰值功率的位置的數據集中優化處理,通過減少優化的點數降低計算復雜度。基于峰值優化的PTS算法的核心在于確定易出現較大峰值功率的位置的度量函數,好的度量函數能夠準確地確定易出現較大峰值功率的位置,不同的基于峰值優化的PTS算法的區別正是度量函數的不同。

在絕大部分改進的PTS算法中,其基本思路是在PAPR性能和計算復雜度之間進行權衡,通過犧牲部分PAPR性能換取低計算復雜度,或是通過少量增加復雜度來換取PAPR性能的提升。本文提出的改進PTS算法亦是如此,是一種基于峰值優化的PTS算法。文中首先分析了每個采樣位置的最大峰值功率出現的特點,然后對其估計得到度量函數Pn,根據度量函數Pn和預設閾值確定易出現較大峰值功率的采樣點,對其集中優化,減少了優化的點數,降低了復雜度。本文提出的PTS算法與文獻[20]相比,在計算復雜度和BER性能基本相同的情況下,PAPR性能有一定的提升。

1 OFDM系統PAPR

在OFDM系統中,N個經過正交幅度調制(quadrature amplitude modulation,QAM)或正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)調制的符號以L倍的過采樣產生長度為LN的符號序列X=[X0,X1,…,XLN-1]。其中,Xk(k=0,1,…,N-1)為經過調制的輸入符號,Xk(k=N,N+1,…,LN-1)為L倍過采樣補的零。頻域序列X通過傅里葉逆變換(inverse Fourier transform,IFFT)變換得到OFDM時域序列x=[x0,x1,…,xLN-1],即

(1)

式中,L為過采樣因子。

OFDM時域序列x的PAPR定義為

(2)

式中,E[·]表示數學期望。

由于PAPR具有隨機性,通常用互補累計分布函數(complementary cumulative distribution function,CCDF)來衡量系統PAPR的統計分布特性,表達式為

CCDF=P(PAPR>PAPR0)=1-(1-e-PAPR0)LN

(3)

式中,PAPR0為閾值。

2 部分傳輸序列

PTS算法是一種無失真的概率類算法,能夠有效地降低OFDM系統的PAPR,其原理如圖1所示。在PTS算法中,一個OFDM符號序列X被分割為M個互不相交的子塊序列Xm=[Xm,0,Xm,1,…,Xm,LN-1],1≤m≤M。表達式為

(4)

(5)

(6)

(7)

圖1 PTS的基本原理Fig.1 Basic principle of the PTS

3 基于峰值優化的PTS算法

基于峰值優化的PTS算法是通過某種度量方法從LN個采樣位置中找出易出現較大峰值的Nγ個采樣位置,對Nγ個采樣位置的采樣點數據集中優化而不是對LN個采樣位置的采樣點數據優化,減少了優化的采樣點數,從而降低了計算復雜度。規定度量值Vn(0≤n≤LN-1)為第n個位置的所有備選采樣點數據中功率的最大值[22],表達式為

(8)

SV(Nγ)為易出現較大峰值功率的采樣位置的集合,表達式為

SV(Nγ)={n|Vn≥γ,0≤n≤LN-1}

(9)

式中,γ為預設閾值;Nγ為度量值Vn超過預設閾值γ的采樣點個數。然而,計算度量值Vn需計算所有備選采樣點數據,顯然不可取。

以M=4、W=2為例,即相位因子集合為{1,-1},說明度量值Vn的計算方法。正常情況下,以相位因子1和-1為旋轉量的子塊采樣點數據旋轉的圖例共WM-1=8種。規定用虛線將坐標復平面均勻分割為2W個區域,虛線分割的區域可以以原點為中心旋轉,分如下兩種情況討論:

(1) 如果子塊采樣點數據分布在虛線分割的對角區域(或同一區域),那么將所有子塊采樣點數據以相位因子1或-1旋轉到第一子塊采樣點數據x1,n所在區域,所有子塊采樣點數據求和后平方即為度量值Vn,如圖2所示。

(2) 如果子塊采樣點數據分布在虛線分割的非對角區域(或非同一區域),那么將所有子塊采樣點數據以相位因子1或-1旋轉到包含第一子塊采樣點數據x1,n的2個相鄰區域,每種情況中所有子塊采樣點數據求和后平方的最大值即為度量值Vn,如圖3所示。

圖2 對角分布下度量值Vn的計算方法Fig.2 Calculating method of the metric value Vn underdiagonal distribution

圖3 非對角分布下度量值Vn的計算方法Fig.3 Calculating method of the metric value Vn under non-diagonal distribution

雖然上述圖示可以直觀地得到度量值Vn的計算方法,但是實際操作相當困難,特別是子塊采樣點數據分布在虛線分割的非對角區域的情況。因為需要對每個采樣位置的子塊采樣點數據的分布進行判斷,然后根據分布特性對子塊采樣點數據進行旋轉,該過程非常繁瑣,因此需要對上述計算度量值Vn的方法進行簡化。基于上述分析,可以發現子塊采樣點數據分布在對角區域時旋轉后的數據占一個區域(陰影),而子塊采樣點數據分布在非對角區域時旋轉后的數據占兩個區域(陰影)。如果將所有子塊采樣點數據旋轉到第一子塊采樣點數據x1,n所在區域(對角分布或非對角分布)使其占一個區域,利用旋轉后的子塊采樣點數據求和后的平方值去估計度量值Vn,那么操作過程將很大程度上得到簡化。因此,定義一個新的替代度量值Pn的計算表達式為

(10)

式中,φm,n為子塊采樣點數據xm,n的相位；|·|為取模運算符;%為取余運算符。規定從坐標復平面的正實軸開始逆時針將復平面均勻分割為2W個區域,若子塊采樣點數據的分布特性如圖4(a)所示,則替代度量值Pn的計算方法如圖4(b)所示。由于矢量旋轉不改變其模值,所以可以將圖4(b)中的所有子塊采樣點數據旋轉到正實軸上方的第一區域,所有子塊采樣點數據求和后的平方仍為替代度量值Pn,如圖4(c)所示。

根據替代度量值Pn與預設閾值γ確定易出現較大峰值位置的集合,即

SP(Nγ)={n|Pn≥γ,0≤n≤LN-1}

(11)

圖4 替代度量值Pn的計算方法Fig.4 Calculating method of the alternative metric value Pn

現將基于峰值優化的PTS算法的具體步驟歸納如下:

步驟1將原始數據流經QPSK或QAM調制后的頻域序列X分割為M個互不相交的子塊序列Xm,對頻域子塊序列Xm作IFFT變換得到時域子塊序列xm;

步驟2計算時域子塊序列xm中所有的子塊采樣點數據xm,n的模值|xm,n|和相位φm,n,根據式(10)計算替代度量值Pn;

步驟3根據替代度量值Pn和預設閾值γ確定易出現較大峰值的采樣位置集合SP(Nγ);

步驟4對集合SP(Nγ)中的Nγ個采樣位置的數據集中優化,選出最佳相位因子序列的索引uopt;

4 算法的復雜度分析

針對傳統PTS算法、文獻[20]及本文提出的PTS算法進行計算復雜度分析。其中,文獻[20]是一種基于峰值優化的PTS算法。度量函數為

(12)

為了比較本文提出的PTS算法和文獻[20]的PTS算法,引入比率pγ,即

(13)

傳統PTS算法生成備選序列需要(M-1)ULN次復數乘法和(M-1)ULN次復數加法,計算備選序列的功率需要ULN次復數乘法,選出每個備選序列中最大峰值功率需要U(LN-1)次復數加法,選出PAPR最低的備選序列需要(U-1)次復數加法,共需MULN次復數乘法和(MULN-1)次復數加法。本文提出的PTS算法步驟2中需要(M+1)LN次復數乘法和(M-1)LN次復數加法,步驟3中需要LN次復數加法,步驟4中需要MUpγLN次復數乘法和(MUpγLN-1)次復數加法,步驟5中需要(M-1)LN次復數乘法和(M-1)LN次復數加法,共需(2+pγU)MLN次復數乘法和((2M-1)LN+pγUMLN-1)次復數加法。文獻[20]需要((2M-1)LN+pγUMLN)次復數乘法和((2M-1)LN+pγUMLN-1)次復數加法。通常情況下,選用計算復雜度降低率(computational complexity reduction ratio, CCRR)作為衡量計算復雜度降低的標準,即

(14)

傳統PTS算法、文獻[20]及本文提出的PTS算法的計算量及CCRR如表1所示。其中,N=1 024,L=4,M=8,W=2,pγ=0.073,將文獻[20]的PTS算法定義為Q-PTS,本文提出的算法定義為P-PTS算法。

表1 3種PTS算法的計算量及CCRR

由表1中數據可以看出,文獻[20]和本文提出的PTS算法的計算量基本相同,這是因為2種PTS算法都是基于峰值優化的,只是度量函數不同。相比傳統PTS算法,2種PTS算法計算量大幅度下降約91%。

5 仿真結果

為了說明本文提出的PTS算法在降低PAPR方面的性能,基于Matlab對傳統PTS算法、文獻[20]的Q-PTS算法及本文提出的P-PTS算法進行了仿真,如圖5所示。

仿真參數為:隨機分割方式,QPSK調制,子載波數N=1 024,過采樣因子L=4,子塊數M=8,相位因子個數W=2,pγ=0.073。由圖5可知,在pγ=0.073,即采樣個數Nγ=300時,本文提出的P-PTS算法的PAPR性能優于文獻[20]中的Q-PTS算法。選擇pγ=0.073的原因是考慮到整體仿真時間的緣故,隨著pγ的增大,圖5中P-PTS算法和Q-PTS算法的CCDF曲線逐漸向PTS算法的CCDF曲線靠近,PAPR的性能越好,但仿真的時間越長。

圖5 傳統PTS、P-PTS、Q-PTS算法的CCDF曲線Fig.5 CCDF curves for the PTS, P-PTS and Q-PTS

圖6給出了pγ取不同值時,原始OFDM信號、傳統PTS算法和P-PTS算法的CCDF曲線。

圖6 pγ取不同值時,原始OFDM信號、傳統PTS和P-PTS算法的CCDF曲線 Fig.6 CCDF curves for the original OFDM signal, PTS and P-PTS with the different pγ values

隨著pγ的增大,P-PTS算法的PAPR性能越好,計算復雜度越高。圖7給出了pγ=0.073時,原始OFDM信號、傳統PTS、P-PTS及Q-PTS算法的BER曲線。

圖7 pγ=0.073時,原始OFDM信號、傳統PTS、P-PTS及Q-PTS算法的BER曲線 Fig.7 BER curves for the original OFDM signal, PTS, P-PTS andQ-PTS when pγ=0.073

由圖7可知,原始OFDM信號、傳統PTS、P-PTS、Q-PTS算法的BER性能基本相同。

6 結 論

提出了基于峰值優化的PTS算法,該算法權衡了PAPR性能和計算復雜度,通過特定的度量函數Pn確定易出現較大峰值功率點的位置,集中對這些位置上的數據進行優化。通過算法復雜度分析和仿真結果可知,所提出的P-PTS算法相比文獻[20]的Q-PTS算法,在同傳統PTS算法計算復雜度降低程度和BER性能基本相同的情況下,PAPR性能更優。所以所提出的P-PTS算法具有一定參考價值。

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