基于響應耦合子結構法的機床動力學特性分析

歐淑彬，于秀娟，范登科

(1.安徽工業大學機械工程學院，安徽馬鞍山243032；2.合肥國軒高科動力能源有限公司安徽合肥210011)

現代工業對數控機床等高檔加工裝備的性能要求越來越高，特別是在航空工業中，渦輪機葉片、飛機機翼等大型復雜工件的加工制造對機床的切削速度、加工精度及穩定性提出了更高的要求[1]。為保證機床加工精度，提高加工效率，研究刀具中心點(tool center point，TCP)整個工作空間動力學特性至關重要。王磊等[2]采用集中參數法建立軸間耦合三軸聯動機床系統的動力學模型，研究機床在工作空間內的動力特性變化；劉海濤等[3]應用有限單元法獲得機床頻響函數在工作空間的變化。他們的研究局限于少數低階固有頻率和模態，影響動力學模型的分析精度。Law等[4]運用子結構綜合法研究工作空間內機床動態特性，保留了對TCP影響較大的中高階模態，但整機高階動力學特征方程的求解無形中提高了計算成本。

美國學者Jetmundsen等[5]首先提出響應耦合子結構法(receptances coupling substructure analysis，RCSA)并用于直升機機體振動分析。王二化等[6]，朱堅民等[7]基于RCSA推導機床刀尖點的頻響函數，采用實驗和仿真相結合的方法辨識刀具-刀柄的剛度和阻尼系數；Montevecchi等[8]，Mancisidor等[9]采用一種改進的RCSA法預估不同加工刀具TCP的頻響特性和穩定切削條件。RCSA法是將子結構的頻率響應函數在不同位置處綜合，獲得組合部件頻響函數的方法，避免了整體高階動力學特征方程的求解，具有較高的計算效率。鑒于此，筆者將該方法運用于機床動力學分析，將機床分為主軸和床身兩個獨立的子結構，分別建立有限元動力學模型，在Z方向維度的不同位置進行頻域綜合，獲得機床TCP的頻率響應函數(frequency response functions，FRFs)，以期為切削穩定域研究提供理論基礎。

1 機床RCSA動力學建模

機床是由床身和主軸組件構成的多體系統(如圖1)，建立整體坐標系O-XYZ和TCP處局部坐標系xt，yt和zt。滾珠絲桿驅動主軸組件沿直線導軌運動以實現工作空間Z方向的位置變化。

從圖1可以看出，整個機床被分為主軸和床身兩個子結構，根據多結合部的剛度、阻尼、位移約束條件和受力平衡關系將子結構在工作空間的不同位置耦合，應用RCSA推導出耦合后TCP的FRFs表達式。

1.1 結合部簡化模型

機床各子結構是以結合面(多節點連接)的形式傳遞作用力，各子結構的動力學建模獨立進行，不僅存在結合面網格節點不統一的問題，甚至不同子結構的網格類型也不盡相同。為簡化處理，將結合面的多個節點按照權重因子縮聚至一點[10]，以有效解決網格不兼容和節點錯位等問題。如圖1，假設點1，2，3，4為床身導軌與主軸滑塊接觸面的縮聚點，則點1'，2'，3'和4'為主軸子結構相應接觸面的縮聚點（點1和1'屬于一對結合部，以下類似）；點5和5'分別為滾珠絲杠副在床身和主軸接觸面的縮聚點；點0為TCP位置；ki和ci分別為第i對接觸副的剛度和阻尼。

1.2 子結構結合部頻響函數的構建

主軸子結構是一個自由部件，0點為刀尖點，受切削激勵作用，對主軸進行自由部件的模態分析，提取多階固有頻率及模態。床身對主軸動力性能的影響是通過結合部的耦合作用實現，子結構在多個結合部受位移和力耦合作用，如圖1所示。考慮結合部的縮聚，主軸子結構TCP及5處結合部的原點頻響hqq和跨點頻響hpq可采用如下模態展開表示：

其中：ω為激勵頻率，Hz；Nm為子結構總模態數；ωnr為第r階模態特征值,Hz；p為激勵處縮聚點，q為響應處縮聚點，p≠q，p,q∈1,2,3,4,5；Φpr，Φqr分別為 p點和q點第r階質量歸一化特征向量；ζr為第r階模態阻尼比；j是虛運算符。

綜合式(1)，(2)得主軸子結構的頻響函數矩陣H；床身子結構1'～5'的原點頻響gqq和跨點頻響gpq采用類似方法構建，組裝成床身子結構的頻響函數矩陣G。主軸和床身子結構的頻響函數矩陣H、G均為對稱陣。

1.3 基于RCSA的TCP頻響函數綜合

將主軸子結構頻響函數矩陣H展開，得：

類似地，床身子結構1'～5'處的位移用各自的頻響函數在頻域內展開，結果如下：

其中：f0為主軸子結構0處的切削激振力向量；x0～x5，f1～f5分別為主軸子結構縮聚點0～5處的位移向量和約束力向量；x1'～x5'，f1'～f5''分別為床身子結構點1'～5'的位移向量和約束力向量。根據作用力與反作用力關系，有

考慮結合部的剛度和阻尼（圖1結合部耦合示意圖），結合部應滿足

其中Ki=ki+jwci，為第i結合部的等效復剛度矩陣。將式(6)～(8)代入式(5)，得到表達式如下：

基于方程(5)，TCP的頻率響應函數可由兩子機構結合部的頻響函數綜合得

根據結合部約束力和變形協調關系，將方程(9)代入方程(10)，TCP的FRFs可表示為子機構的FRFs的矩陣運算，如

式(11)為由兩個子結構(床身和主軸)的頻響函數綜合得到的整機TCP動態特性的統一表達式，可對TCP在不同加工位置處進行FRFs計算。

2 計算范例

以VDF850立式機床為算例，采用RCSA法研究機床TCP的動力學特性。

2.1 主軸和床身的頻響函數矩陣

將VDF850立式機床分為床身和主軸兩個子結構，如圖1。采用有限單元法(finite element method，FEM)對機床床身和主軸進行動力學分析。各子結構均采用10節點實心四面體單元建模。各組件有限元模型的具體力學參數設置如表1。

表1 VDF850立式機床材料力學參數Tab.1 Mechanical parameters of VDF850 vertical machine tools

分別運用Ansys有限元軟件對子結構的自由或約束模態進行分析和提取，將獲得的各子結構模態參數導入Matlab，激勵頻率ω為0～2 000 Hz，離散間隔為5 Hz。各階模態阻尼比統一設置為0.1，由式(1)，(2)得結合部縮聚點頻響函數的離散數值解，并由式(3)，(4)組裝得子結構的頻響函數矩陣序列。

2.2 TCP頻響函數綜合

主軸子結構通過滾珠絲杠驅動滑塊在導軌上移動來實現主軸在Z軸的不同加工位置。多結合部包括導軌結合部、絲杠螺母結合部及床身地面基礎結合部，床身通過螺栓和地面基礎固定。各結合部的參數設置為：滾珠絲桿結合面剛度系數kb=250 MN·m-1；阻尼系數cb=250 N·s·m-1；四處導軌結合面剛度系數相同，ks=50 MN·m-1；阻尼系數也相同，cs=500 N·s·m-1；床身與地面基礎的剛度系數kr=250 MN·m-1；阻尼系數cr=250 N·s·m-1。將子結構的頻響函數代入式(11)，在Matlab軟件中進行矩陣運算可得TCP的FRFs。

圖2為Z=500 mm，主軸處于頂部(Top)位置，TCP在xt，yt和zt3個正交方向上的頻響函數。由圖2可見，xt，yt方向頻響函數基本相近，zt方向動柔度幅值較xt，yt小一個數量級，即zt方向動剛度遠大于xt，yt兩個方向，故銑削動力學建模中通常只考慮xt，yt兩個正交方向[11]。

2.3 RCSA法的可行性驗證

為驗證RCSA法的可行性，采用整機有限元法建立VDF850立式機床的動力學模型[12]，當主軸處于頂部位置時，通過整機大規模動力學特征方程矩陣求解，計算TCP的頻率響應函數。兩種方法獲得的TCPyt方向FRFs如圖3。由圖3可知：兩方法所得TCP的動柔度幅值曲線基本一致；前三階固有頻率處RCSA法較整機有限元法幅值略偏高，這與結合面縮聚增大系統剛度有關。由此表明采用RCSA法對機床進行動力學分析是可行的。

圖2 TCP3個正交方向xt，yt和zt的FRFsFig.2 FRFs of TCP in three orthogonal directionsxt，ytandzt

圖3 TCP在yt方向FRFs對比Fig.3 Comparison of FRFs of TCPin theytdirection

當主軸位于不同位置，RCSA法只需計算5對結合部頻響函數矩陣，采用式(11)的低階矩陣運算即可獲得TCP的頻率響應函數，而整機有限元法則需對每個具體位置進行高階動力學特征方程求解。故與整機有限元法相比，RCSA法計算效率有所提高。

2.4 Z方向維度TCP的動力學響應

VDF850機床主軸Z方向的運動范圍為0～510 mm，圖4為主軸在0～500 mm工作空間刀尖點yt方向動柔度幅值響應曲面。圖5為主軸處于3個典型位置Top(Z=500 mm)，Middle(Z=250 mm)，Bottom(Z=0 mm)，刀尖點yt方向動柔度幅值響應。綜合圖4，5可得出：當主軸處于頂部(Top)的加工位置，各階響應均最大，且在89 Hz處有一小峰值，隨著主軸位置的下降，系統剛度增大，此處峰值消失；各階固有頻率對應動柔度幅值均隨主軸下移而降低，但不同固有頻率處的變化幅度不盡相同，文獻[10-11]也得出類似的結論。

圖4 yt方向TCP的FRFs與Z軸位置關系Fig.4 FRFs of TCP inytdirection varied with Zaxis position

圖5 3個典型位置處TCP在yt方向FRFsFig.5 FRFs of TCP inytdirection varied with Zaxis position

3 結 論

1)采用RCSA法建立機床的動力學模型，根據多結合部的變形協調關系及受力平衡條件給出了TCP的FRFs統一表達式。

2)以立式機床VDF850為算例，應用RCSA法計算TCP的FRFs，計算結果和整機有限元法基本一致，但RCSA法避免了整體動力矩陣的特征值重復計算，可提高計算效率。

3)立式機床VDF850在Z方向維度動力學響應變化的研究結果表明，各階固有頻率處動柔度幅值隨主軸位置下降而降低，但不同固有頻率處的變化幅度不盡相同。

文中僅針對TCP在工作空間Z方向維度的動力特性進行了探討，對X，Y方向維度及其不同組合狀態的動態特性有待進一步研究。后期研究獲得的整個工作空間TCP頻響與高速切削聯合建模，可為開展高速切削穩定性研究提供理論支持。