引入條件異方差效應的CAPM模型簇改進

(安徽工業大學商學院，安徽馬鞍山243032)

CAPM(capital asset pricing model)模型又稱資本資產定價模型，由Sharpe[1]、Lintner[2]和Mossin[3]在馬 科維茨投資組合理論基礎上發展而來。它是一種關于定價和度量風險和收益的均衡理論，其計量模型表示如下。

其中：Rt、Rf、Rmt分別表示時刻t證券、無風險資產和市場收益率；εt為隨機擾動項；β1為市場風險因子，理論上要求β1＞0；α為截距項,理論要求為零。該模型表明當市場達到均衡時，資產預期回報率與市場風險系數 β1相關。Jensen等[4]和何惠珍[5]檢驗了CAPM模型的有效性，結果表明 β1＞0，但鄒舟等[6]和趙雪瑩[7]的研究卻沒有支持CAPM模型。這表明該模型仍然存在一定局限性，主要體現在三個方面：現實條件很難滿足CAPM模型的假設前提；市場風險系數β1值難以精準確定；市場風險很難完全解釋股票收益率。為此學者們開始關注系統性風險以外的其它因素。Fama等[8]結合Banz[9]和Rosenberg等[10]研究結果建立如下三因子模型，該模型計量表示形式如下。

其中RSMB、RHML分別為市值風險和賬面市值比風險。陸旖蔚等[11]基于三因素理論，研究中國股市的溢價問題，結果顯示我國股市呈現價值溢價與規模溢價并存現象。王珺等[12]、Aggarwal[13]分別對中國股市和印度股市進行研究，結果均表明三因素模型的解釋力度強于CAPM模型。隨后Aharoni等[14]又證明了上市公司的盈利因子和投資因子與超額收益率之間也存在相關關系，為此構建了包含盈利因子和投資因子的q因子模型，并運用該模型對美國股市進行了研究，顯示該模型的優越性。Fama等[15]在意識到三因素模型不足后，于2015年提出五因素模型，即在三因素模型基礎上添加了盈利能力因子(RMW)和投資模式因子(CMA),該模型的計量表達式為

Fama等[16]的研究結果顯示五因素模型的解釋能力更強，但鄒羽[17]將五因子定價模型應用到我國股市實證分析時，發現市場因子是影響股票收益最顯著因子，隨著規模的變大，規模因子對超額收益率的影響會消失。趙勝民等[18]選取我國股市1995—2014年的股票月度數據，對三因素模型和五因素模型進行對比分析，研究結果顯示，三因素模型在我國市場上的適應性更強，盈利因子和投資因子對投資組合的收益率影響不顯著。

以上三個模型有2個共同特點：三個模型均使用經典假設的OLS估計，認為模型中的擾動項εt為同方差。Bao等[19]對此進行改進，將擾動項設置為非對稱的冪函數形式，該分布隨參數的變化而出現左偏和右偏兩種形式，且需要用極大似然估計方法，但本質上仍屬于同方差范疇；三個模型中均沒有考慮到波動率風險因子。理論研究認為，金融時間序列的收益率波動具有明顯的集群性和條件異方差性，因此使用同方差假設的擾動項不符合實際數據分布要求。另外CAPM模型本身基于馬科維茨投資組合理論演化而來，但沒有將收益率的波動率作為風險因素引入到模型中。有鑒于此，本文試圖對這三個模型進行改進，引入條件異方差模型刻畫擾動項εt，并將異方差作為風險因子并入模型，構造出新的多因素模型。

1 異方差引入與模型改進

1.1 條件異方差模型與擾動項分布改進

廣義條件異方差模型又稱為GARCH模型，由Bollerslev[20]在Engle[21]的自回歸條件異方差(ARCH)模型基礎上進一步擴展而來，GARCH(p,q)模型形式如下：

其中：σt為擾動的標準差；et是均值為0方差為1的獨立同分布隨機變量序列，通常假設服從標準正態分布。模型的平穩性要求系數滿足如下條件：

為改進經典CAPM模型簇，文中首先要檢驗上述三個模型的擾動項是否存在異方差，這可以通過使用拉格朗日乘子LM檢驗，原假設為不存在ARCH效應，備擇假設表示存在ARCH效應，在原假設成立時，LM檢驗量服從卡方分布。關于該檢驗量的構造可參見文獻[22]。在檢驗存在異方差的基礎上，在模型(1)～(3)中引入條件異方差效應，使用極大似然估計的方法替代經典OLS方法估計上述3個模型。

1.2 風險因素引入與模型改進

金融理論認為，收益率的波動率可以作為資產風險度量，同時也是影響資產收益率的重要因素之一。在經典CAPM模型簇中，由于假設擾動項為同方差，因此無法將方差作為風險因素引入到模型中，而經過擾動項改進后，可以將異方差σt作為風險因子引入到上述3個模型中進行拓展，如就模型(3)而言，引入風險因素的計量模型記為

其中εt～GARCH(p,q)。f(σt)常見形式有如下3種

記上述引入條件異方差效應后的模型仍為模型(1)～(3)。接下來的分析將首先檢驗各個模型擾動項是否存在條件異方差效應，然后引入風險因子改進現有三個模型。

2 CAPM模型簇的實證研究

2.1 描述性分析與相關性分析

為考察CAPM模型與改進模型的合理性，本文使用美國產業月度數據進行實證研究，以銀行業為檢驗對象，樣本期限為1963年7月至2018年2月，共656個觀測來源于文獻[23]。根據模型(1)至模型(3)中變量定義，記RBANK_RF、RMKT_RF分別為銀行業收益率和市場收益率扣除無風險收益率后的超額收益率指標，即有

其它指標采用上述模型中因素的記號。首先給出分析變量的常見描述性統計量如表1。表1中，銀行業超額收益率RBANK_RF的均值為0.862%，中位數為1.080%，故均值略小于中位數，從而分布為負偏，這從其偏度為-0.405得到驗證。指標的最大值和最小值分別為21.920%和-21.130%，兩者相差較大，說明在所考察的時間段內，銀行業收益率變化幅度較大。該指標的峰度為6.104，明顯大于正態分布對應的峰度3，因此該指標明顯具有負偏尖峰特性，具備金融資產收益率波動的一般特征。基于正態分布的JB檢驗量值高達210.942，對應的檢驗概率近似為0，因此拒絕原假設，表明該指標不服從正態分布。圖1為該指標的時序圖，圖1表明收益率波動存在明顯的集群和異方差性。對其它變量也可以類似進行分析。

表1 變量描述性分析Tab.1_ Descriptive analysis for variables

表2給出了分析指標之間的相關系數及其顯著性檢驗結果，其中“***”表示相關系數在0.01的顯著性水平下通過顯著性檢驗，表明相關系數顯著非零。表2表明，變量RBANK_RF與5個因素的相關程度分為3類：與RMKT_RF、RSMB和RHML的相關系數，取值分別為0.707、0.396和0.151，都為正相關，且高度顯著；與RRMB的相關系數，取值為-0.191，也高度相關，但為負相關；與RCMA的相關系數，取值為-0.072，沒有通過顯著性檢驗。相關性分析表明，對銀行業超額收益率而言，市場因子具有最大的正向影響，而RRMB為反向影響，RCMA的影響不顯著。

圖1 變量RBANK_RF的時序圖Fig.1 Timing diagram of variableRBANK_RF

2.2 單位根檢驗

考慮到使用時間序列變量進行回歸分析，為防止偽回歸，應檢驗各個變量是否存在單位根，本文采用ADF單位根檢驗，并使用AIC指標選擇合適的滯后期。由于表1中各個變量的均值與0有一定的差異，故選擇含有常數項檢驗模式，結果如表3所示。由表3可以看出，變量RBANK_RF的ADF檢驗值為-5.895,1%、5%和10%顯著性水平下的臨界值分別為-3.440、-2.866和-2.569，有檢驗值小于三種檢水平下的臨界值，因此拒絕存在單位根的原假設，表明該序列為平穩過程。類似地，剩下的各個變量ADF檢驗值也均小于三個顯著性水平下對應的臨界值，因此都拒絕原假設，各變量都不存在單位根，因此本文考察的單因素模型、三因素模型和五因素模型均不會產生偽回歸現象。

表2 變量相關性分析Tab.2 Correlation analysis for variables

表3 變量單位根ADF檢驗Tab.3 Unit root tests for variables

2.3 經典回歸分析

分別使用OLS方法估計單因素、三因素和五因素CAPM模型，結果見表4所示。下文以“***”、“**”、“*”分別表示估計量在1%、5%和10%顯著性水平下通過檢驗，即系數非零，從而對應因素對銀行業超額收益率有顯著影響。表4表明，在單因素模型(1)中，市場超額收益率RBANK_RF的系數估計為0.838，在0.01的顯著性水平通過顯著性檢驗，且顯著大于零，這符合經典CAPM模型要求。類似地，在三因素模型中，因素RMKT_RF的系數估計為0.845，因素RSMB和RHML的系數估計分別為0.510和0.621，三個估計值均在0.01的顯著性水平通過顯著性檢驗，這說明銀行業超額收益率與RMKT_RF、RSMB和RHML呈現正向關系。在五因素模型中，市場因素RMKT_RF、RSMB和RHML的系數估計分別為0.843、0.554和0.688，都在0.01的顯著性水平通過顯著性檢驗，而且都是正相關。而因素RCMA的系數估計為-0.153，即使在0.10的顯著性水平下也沒通過檢驗，說明該因素對銀行業獲得超額收益率沒有影響。因素RRMW的系數估計為-0.185，在0.05的顯著性水平下有通過檢驗，說明該因素對銀行業獲得超額收益率有抑制效應。從表4還可以看出，擾動項的Breusch-Godfrey檢驗(滯后期為2)表明存在自相關，因此估計量都使用穩健性方差估計。擾動項ARCH效應(設置滯后期為5)LM檢驗結果顯示三個模型擾動項在0.01的顯著性水平下均拒絕為同方差的假定，表明三個模型存在異方差，因此需要進一步對擾動項方差進行估計。

表4 經典模型的OLS估計與檢驗Tab.4 OLS estimation and test for classical models

2.4 改進后模型分析

通過比較 GARCH(1,1)、GARCH(1,2)、GARCH(2,1)、GARCH(2,2)模型對應的信息指標以及估計參數的顯著性，發現使用GARCH(1,1)模型刻畫擾動項的條件異方差性最為合適，同時也沒有檢驗到存在非對稱效應，因此最終選擇GARCH(1,1)模型，結果如表5所示。表5表明，考慮條件異方差效應后，模型(1)、模型(2)各個因素的顯著性與參數估計大小沒有發生實質性變化，但模型(3)中因素RCMA估計值在0.05的顯著性水平下顯著為負，且因素RRMW的系數估計發生了變化。GARCH(1,1)模型中三個參數均至少在0.10的顯著性水平下通過顯著性檢驗，表明有必要對擾動項估計GARCH(1,1)模型。引入GARCH（1，1）模型后擾動項的條件異方差效應LM檢驗結果顯示，三個模型的檢驗量值分別為3.196、2.733和2.698，此時即使在0.10的顯著性水平下也不能通過顯著性檢驗，說明GARCH(1,1)模型已經充分提取異方差信息，引入條件異方差效應的改進模型比較合適。

表5 GARCH效應經典模型估計與檢驗Tab.5 Estimation and test for classical models with GARCH effects

針對第一種模型，將波動率作為風險因素引入到三個模型中，參照資產組合理論，使用f(σt)=σt作為風險度量指標，估計結果如表6所示。表6顯示，當同時使用GARCH模型刻畫擾動項波動規律，且將擾動項波動率作為風險因素引入到三個模型時，與表5相比，各經典因素對應估計量的顯著性與符號沒有發生實質性變化，標識異方差效應的GARCH(1,1)模型三個參數α0、α1和δ1顯著性和符號也沒有發生明顯變化。標識風險因素σt在三個模型中的估計值分別為0.243、0.112和0.140，分別在0.05、0.10和0.10的顯著性水平下通過顯著性檢驗，且均為正，這表明銀行業的超額收益率與其承擔的風險為正相關關系，即風險得到超額收益率的補償，這符合經典投資理論要求。表6還表明，此時三個模型的條件異方差效應檢驗值為2.575、2.651和2.522，也在0.10的顯著性水平下接受原假設，說明此時模型不再含有異方差性，再次表明GARCH(1,1)模型的合理性。總體來說，表6的檢驗結果驗證了文中模型改進的合理性和必要性。

表6 風險因素和GARCH效應估計與檢驗Tab.6 Estimation and test with risk factor and GARCH effects

3 結 論

針對經典CAPM模型及其擴展模型的不足提出兩點改進，并使用實際數據進行實證檢驗，得到以下幾點結論。

1)經典CAPM模型簇雖能檢驗出影響銀行業超額收益率的主要因素，但存在明顯的不足，首先表現為模型擾動項不滿足同方差假設；其次是對個別因素不能有效識別，如投資模式因子RCMA就屬于此種情況。

2)當引入GARCH(1,1)模型刻畫條件異方差后，不但能夠充分提取擾動項的波動規律，還能發現影響超額收益率的潛在因素。

3)當將波動率作為風險因素引入到CAPM模型簇后，檢驗表明風險因素的確能夠影響超額收益率，且滿足風險補償機制要求。