圖形的運動（三）教學研究報告

一、問題

人教版數學教材五年級下冊的圖形的運動（三）單元是學生在認識生活中的旋轉和平移現象，會判斷一種物體的運動是平移還是旋轉的基礎上進一步學習的內容，同時它也是圖形的運動教學中的一個難點———在小學階段的圖形運動中，學生最難掌握的就是旋轉。教學中，要求學生能在方格紙上把一個簡單的圖形按照順時針方向或逆時針方向旋轉90度。在實際操作中，學生畫圖時總是頻繁出錯，老師們對此也做過不少的研究和嘗試，其中常見的方法是把平面圖形的旋轉分解成線段的旋轉，還有老師會進一步把旋轉和鐘面結合，幫助學生理解。

1.關于教材的編排

新教材在編排這一部分內容時新增了例題2，是對旋轉———剛體變換（變換后不改變物體任何兩點之間的距離以及點之間構成的線段的夾角不變）的研究。通過對教材的分析和解讀，我們認為三個例題是層層遞進的關系：例1是學習旋轉的三要素，這是研究旋轉現象的基礎；例2是研究旋轉過程中中心點的位置不變，經過中心點的兩條線段都旋轉了90毅，從編排中可以看出是為例3的畫旋轉圖形做鋪墊。筆者認為在教學例2時還需要補充對旋轉的剛體變換的研究，這樣將更好地幫助學生掌握畫圖的技能。

2.關于學生的認知起點

為了切實掌握學生的學習起點，筆者對學生進行了學前調研（如圖1）。調研結果顯示：（1）在旋轉現象的調研中，90%以上的學生能準確地說出風車的運動是旋轉現象，可是有39.3%的學生描述停車桿和秋千的運動是上下運動、左右擺動等，還有13%的學生認為是平移現象。這是來自于學生已有認知中的錯誤。二年級第一次認識旋轉現象時，教材中給的素材全部是像風車這樣旋轉一周的素材，老師們提供的素材也大多如此，難免給學生造成只有旋轉一周才是旋轉現象的錯誤印象。（2）在三要素的調研中，盡管只有極少數學生能準確完整地描述旋轉過程（占比約為5%），但是絕大部分學生能關注到三要素之一，其中能夠用旋轉角度和方向描述運動過程的分別達到35.7%和42.9%。由此可以看出，對于三要素，學生有一定的經驗基礎。

在對教材和學生進行充分解讀后，我們確定本節課的教學目標為：

1.學生在已有經驗的基礎上，完善對旋轉三要素的認識，能用中心、方向和角度描述旋轉過程，并且能夠用它們判斷旋轉現象。

2.學生在觀察、思考中明白：旋轉的三要素確定了，旋轉的結果也就確定了，明確三要素的內在意義。

3.通過觀察、想象、驗證等活動，學生自主探究圖形旋轉的特征：旋轉后圖形的形狀和大小不變；對應線段的夾角等于旋轉角度，為畫旋轉圖形積累經驗。

4.學生通過觀察建立表象，借助表象展開想象，培養空間想象能力。

二、實踐

基于以上思考，我們進行了教學實踐，主要教學過程如下：

（一）回憶預學，引入探究

師（出示課前預習單）：上課之前，我們做了預學單。對于圖形的運動，我們已經認識了三種圖形的運動方式：平移、旋轉、軸對稱。你覺得指針的運動是哪一種呢？（生：這是旋轉）在描述指針的旋轉過程時，同學們都是怎么想的呢？一起來看看。

（二）操作感悟，理解旋轉

1.理解旋轉的三要素

師：請仔細觀察這個同學的預學單（如圖2），他在描述指針的旋轉時說出了什么？（生：角度）我們請他說說是怎么想的。

生1：鐘面上從12到3的角度是90毅，一共有3個大格，所以每個大格是30毅。

師：你可真會計算，指針走一大格就是30毅，度是一個計量角的大小的單位，那你從這兒看到一個角了嗎？它的兩條邊在哪里呢？

生1：指針原來的位置和現在的位置可以看成角的兩條邊。

師：大家想象一下他說的角在哪里。誰能上來找給大家看一下？（生上臺指角）你們找的是一樣的嗎？你們看到的角，一條邊是指針原來的位置，另一條邊是指針旋轉后的位置。在數學上，這個角就叫旋轉角。這個同學在想象運動過程時關注到了角度，我們把他的想法記下來。（板書：角度）我們繼續來看，（出示圖3）這個同學說出了什么？你知道順時針方向是什么意思嗎？

生2：就是鐘面上時針運動的方向，從12開始到1，再到2，這樣轉下去就是順時針方向。

師：是的，在數學上，我們習慣用順時針方向和逆時針方向描述圖形的旋轉。（出示圖4）有些同學不太能理解為什么是順時針方向，誰能想個辦法給他們說清楚？

生3：圖4中停車桿的運動可以看成鐘面上指針從9到12，這還是順時針方向。

師：是的，它就相當于鐘面上從9旋轉到12，這就是順時針方向。與順時針方向相反的方向是逆時針方向。（出示圖5）秋千蕩過去是順時針方向，蕩回來就是逆時針方向。剛才這些同學關注到的是方向，我們也把它記下來。（板書：方向）在描述旋轉過程時，這個同學指出了指針繞O點旋轉（出示圖6），你能和大家說說繞O點旋轉是什么意思嗎？

生4：O點固定不動，然后指針圍繞著它轉動。

師：那是不是和她說的一樣呢？（課件演示）請仔細觀察，指針在旋轉的時候，O點的位置有沒有動？（沒有動）你覺得這點有什么作用？（可以固定位置）這個同學想到了旋轉過程中的一個不動的點，也就是一個中心點，并且一個“繞”字表達得非常準確，我們也把她這個非常有價值的想法寫下來。（板書：中心）剛才同學們從不同的視角看到或者想到了中心、方向、角度。那如果我想對指針下達一個指令，讓指針從12旋轉到3的位置，你會怎么下達這個指令呢？請你們試著自己研究。

活動要求：（1）先自己獨立思考，再在小組內交流。（2）請試著解釋你們的想法。

學生小組活動后匯報：指針繞O點順指針旋轉90毅。

師：我發覺你們都說出了中心、方向、角度。一定要這樣嗎？我就說繞O點旋轉90毅不行嗎？

生5：不行，順時針旋轉才會到3，如果是逆時針旋轉就會到9了。

師：看樣子，要想確保指針旋轉到確定的位置，說清楚方向很重要。那為什么還要說出中心和角度呢？

生6：如果轉的角度不一樣，指針的位置會不一樣，比如指針從12順時針旋轉30毅就到了1，順時針旋轉60毅就到了2，順時針旋轉90毅就到了3，每多一個大格就會多30毅。

師：轉的角度不一樣，位置也會不一樣。你會觀察，也會思考。現在你們能想象出指針旋轉的過程嗎？請先記下指針的位置和形狀，然后想象指針的旋轉過程。（課件演示）也就是說，說出了中心、方向、角度，旋轉的結果也就確定了。中心、角度、方向在旋轉中非常重要，它們就是旋轉的三要素。（板書）

2.理解旋轉的特征

師：借助指針，我們知道了用三要素描述旋轉過程準確又完整。（出示圖7）那你能完整地描述這個三角形的旋轉過程嗎？（指名描述）你能想象出他說的這個旋轉過程嗎？現在請每個同學把三角形AOB的位置和樣子畫在腦海里，特別提醒：中心的位置不能動，把你腦海中的三角形AOB繞O點逆時針旋轉90毅。（學生閉眼想象）

師：（課件演示）剛才你們想象的旋轉過程是這樣的嗎？你是怎么看出三角形旋轉了90毅的？

生7：OA憶和OA之間的夾角的度數是90毅。

師：你為什么要把OA憶和OA放在一起想呢？

生7：因為OA繞O點逆時針旋轉90毅后會到OA憶的位置。

師：圖中OA旋轉到了OA憶的位置，我們就說OA憶是OA的對應線段，這兩條線段之間的夾角是90毅。那像這樣的對應線段你還找得出來嗎？

生8：OB和OB憶也是一組對應線段，它們形成的角也是90毅。

師：請仔細觀察每一組對應線段，想一想，它們有什么相同點？

生9：它們長度一樣。OA和OA憶的長度是4格，OB和OB憶都是2格。

師：旋轉后，對應線段的長度沒有改變。還有什么也沒有變？

生10：旋轉后的形狀沒變。

生11：旋轉后的大小沒有變。

師：形狀和大小都相同。還有嗎？

生12：旋轉中心的位置不變。

師：旋轉后，旋轉中心的位置不變，三角形AOB的形狀和大小不變，所以對應點到旋轉中心的距離相等。那你能找出什么變了嗎？

生：圖形的位置變了。圖形的方向也變了。

師：從線段到圖形，從圖形又回到線段，我們發現，三角形AOB繞O點順時針旋轉90毅后，形狀、大小不變，對應點到O點的距離相等。變化的是三角形AOB的位置和方向，具體來說就是每條邊都繞O點順時針旋轉了90毅。

（三）拓展練習，豐富感知

1.停車桿的運動

師：在課前預學單中，同學們對于停車桿的運動，有的認為是旋轉，有的認為是平移，現在你會怎么認為呢？

生13：我認為是旋轉現象，是逆時針旋轉90毅。

師：是的，這也是一種旋轉現象。你能描述它的旋轉過程嗎？（學生描述）（出示圖8）你們見過鐘擺的運動嗎？鐘擺的運動是一種旋轉現象嗎？說說你的想法。

生14：鐘擺的運動也是一種旋轉現象，只是它擺動的角度很小。

師：盡管鐘擺旋轉的角度不大，但是它依然能用旋轉的三要素描述旋轉過程。想一想，如果繼續不斷地旋轉下去，最終會怎么樣？

生15：會形成一個圓。

師：大家能想象出一個圓嗎？（課件演示線段旋轉一周后形成圓的過程）你能描述這條線段的旋轉過程嗎？

生16：線段繞中心點順時針旋轉360毅。

師：同學們很有想象力。前面我們研究的都是一個圖形繞某個點旋轉，其實，在數學上，有時還可以把一個圖形繞著某條線段旋轉一周。如果把長方形繞著它的一條邊旋轉一周，你能想象出旋轉后的圖形嗎？（學生描述，課件演示）你們太有想象力了。希望你們在以后的學習中也能插上想象的翅膀，飛得更高、更遠。

三、討論

1.要素之“要”在哪？

旋轉三要素的教學是第二學段旋轉教學的重點。通過對學生的學前調研的分析，我們認為，要素之“要”體現在：（1）確定旋轉結果的必要因素。“要讓指針從12旋轉到3，應該給出一個什么樣的指令”，在對這個問題的思考和研究中，學生認識到要得到確定的旋轉結果，旋轉的三要素缺一不可。（2）判斷旋轉現象的重要依據。停車桿的運動、秋千的運動、鐘擺的運動等都是旋轉現象，我們都能夠用三要素來描述運動過程。（3）研究旋轉特征的重要基礎。旋轉變換一共有兩個要點：旋轉中心和角度。教學中教師多次讓學生觀察、體會旋轉中心位置不變的特點。這些都是學生研究旋轉特征的重要基礎。

2.關于例2的研究與教學。

新教材在三要素的認識和畫旋轉圖形兩個教學活動中增加了例2。通過分析和思考，我們認為例2的教學是為了幫助學生在認識三要素的基礎上進一步認識旋轉的特征。這個探究對學生是非常有必要的。我們曾經對六年級的孩子做了一次畫旋轉圖形的檢測，在參加檢測的115個學生中，全對的僅59人。從檢測結果中可以發現，學生的錯誤集中在：方向錯誤，特別是逆時針方向，中心點位置移動，改變了圖形的形狀和大小。為此，在本課中，我們遵循從線段到圖形的認知規律，借助線段研究旋轉的三要素以后，再把學生的認知上升到簡單的平面圖形的旋轉，讓學生學會從復雜的圖形中剝離出簡單圖形，經歷“線段—圖形—線段”的內化與循環，為畫旋轉圖形打好基礎。

3.怎么培養空間想象能力？

準確地畫出旋轉后的圖形，要求學生具有一定的空間想象能力。要培養學生的空間想象能力，我們在教學中遵循了這樣的思路：先為學生提供旋轉的直觀演示，讓學生建立旋轉的表象，在此基礎上給學生提供想象的機會。在學生有了一定的想象基礎后，引導學生把旋轉變為他們腦海中的動態過程。有了圖形在腦海中“轉起來”的經驗，學生對旋轉的結果也就能做出準確判斷。在這一過程中，教師對學生提出具體的要求，教給學生想象的方法。比如，教師特別提醒：中心的位置不能動，把你腦海中的三角形AOB繞O點逆時針旋轉90毅。刻畫圖形—關注中心—動態旋轉，清晰的三步曲讓想象中的旋轉過程清晰化，學生可以順著想象的階梯，準確地在腦海中“畫”出旋轉后的圖形。

（執筆：鐘東平、樓捷、段建國、詹婧、黃琨、徐旺、李闖）