直面生之困，再向“植樹”行

丁麗

【教學實錄】

一、直入課題，呈現調查

師：同學們好！在上這節課前我們完成了一個課前調查。52人中，有32人表示學過植樹問題。是不是都學好了呢？后面還有兩個題，我們一起來看看答題情況（如圖1），你能看得懂這個結果嗎？

學生表述調查結果。

二、直面問題，圖畫確認

師：這道題的正確答案只有一個。是4、5還是其他答案呢？有沒有什么辦法，讓大家一眼就看出哪個答案對？

生1：請這幾個學生分別說道理，再看誰的對。

生2：我覺得說道理不好，誰的道理對還是要老師才能評判。我們可以畫個圖看看誰的對。（其他同學覺得畫圖好）

師：為了保證做對，我也畫了圖。每隔3米種一棵，我就3米3米地畫：3米、6米、9米，夠長了嗎？（生：不夠，還要加一段3米的）好的，接下來就該畫樹了。樹應該種哪里？伸出你的手指，邊指邊數是幾棵樹。（學生數，課件動態演示，如圖2）答案是多少？（生：5棵）能確認嗎？（生：能）確實，圖一畫，結果一目了然！再回頭看答題情況：我們班52位同學只有10位做對了。看來，學過不一定學好了！其實，丁老師之前還找了三個不同年級的孩子也做了這道題，發現學過植樹問題的同學出錯不少。我在想，做數學題，我們到底追求什么？

生3：要能做對就好！

師：那有沒有什么辦法可以保證做對？

生4：畫個圖，確認一下。

師：那好，這節課，我們就約定：做題都請畫圖確認一下，讓它想錯都難，好不好？

三、學習畫圖，討論梳理

師：這樣的圖，你會畫嗎？畫的時候要注意什么？

生5：我覺得圖還可以簡單點，直接畫線段，不要畫那么漂亮的樹。

生6：要看清楚條件，不能把條件畫錯了。

師：感謝你們的寶貴建議。不過，植樹問題很多時候都是不種樹的！接下來，請獨立解決這樣的題，別忘了，要保證對！（分發學習單，如下）

學生獨立完成，教師在巡視的過程中，鼓勵先完成的學生向同桌介紹確認的過程。

師：絕大部分同學都獨立完成了2道題，并分享了自己的確認過程。這是兩名同學的思考。請先看第一幅圖（如圖3），你覺得對不對？你是怎么確認的？

生7：我覺得他畫對了，因為我的和他的一樣。

師：你們兩個畫法一樣，所以你認為對。如果你和他的畫得不相同，他的就一定錯了嗎？

生8：我覺得要看條件畫對了沒有。題目說8米，我們就數一下是不是8米。每2米切一段，一開始和最后都不要切，圖中的那個長豎線就是切的地方，所以是3次。

師：你是善于分析的孩子！下面，我們帶著這種分析的思路一起確認第二幅圖。（如圖4）你有什么問題要問作者的嗎？

生9：我不知道那個24除以6是什么意思。

生10：我是想看看24米里面有幾個6米，就把圓分成了4份。

生9：我現在懂了。不過你為什么還要畫圖？

生10：因為我不知道4個6米是不是4盆花。

生9：我現在都懂了，沒問題了。

師：誰來確認？

生11：我數了，是有4個6米，也就是24米。然后每2盆蘭花都隔了6米，2盆蘭花之間還都有1盆杜鵑，我認為是對的。

生12：我覺得加個說明就更好了。比如粗線是什么，細線是什么，也方便檢查。

師：都是善于觀察和思考的孩子！圖畫好了，答案也出來了，你們是否畫了圖？都對了嗎？（了解、調整個別學生的圖的問題）看來，圖畫對的孩子都非常漂亮地解決了植樹問題中很難的問題。剛才巡查中，我發現有同學直接畫出結果，有同學先寫出算法，再畫圖確認，這兩種方式都值得表揚。用這種研究問題的態度和方法去面對問題，我們將屢戰屢勝！不信，請看！（出示題目如下）

三、研究問題，內化提升

師：大家先獨立研究，有想法了請舉手示意。

學生獨立研究，教師巡視，請一名學生帶作品上臺展示（如圖5）。

師：大家看得懂嗎？你有什么問題要問他？

生13：請問21是什么？

生14：我這里畫了21盞燈。（用手指向圖中的小豎線）

生13：2又是什么？

生14：我覺得畫2000米太麻煩，我就畫了1000米，1000米里面有21棵，所以2000米會有2個21棵，所以乘2。

生13：我聽懂了，沒問題了。

師（問生13）：你覺得對嗎？

生13：她說的很有道理，我覺得對。

師：有辦法能確認嗎？

生13：那就要全部畫出來才行。

師：你若愿意花時間，全部畫出來也沒什么難的，只是細致點，別畫錯、數錯就好。既然生14說她覺得麻煩所以才畫一半，那如果是這樣，我還畫少點豈不是更方便？（生：可以）你們說畫多少？（生：畫200米）

生15上臺畫圖，如圖6。

師：我突然發現一個問題，如果2000米只畫1000米再乘2是對的，那么只畫200米再乘10也應該對！大家看看，是一樣的結果嗎？

師：誰能聽懂？能不能舉例說明這個說法是否合理？

生20：他的意思是5比4多1，21比20多1，如果不看這么多段，也是這樣。比如只看3段，有4盞燈。

師：如果是這樣，那么這個題該是多少盞燈？生21：41盞，因為2000除以50還要加1。

師：正如大家所說，這樣的方式證實了41是正確答案。剛才這道題，兩位同學都畫了圖，這個問題的圖和之前的三幅圖一樣嗎？不一樣在哪里？這樣的研究方法妙在哪里？

生22：這里的圖不一樣，之前都是畫出多少就是多少，現在沒畫那么多，我們也知道是多少了。

師：你的意思是不是可以理解為———之前我們是直接畫出結果，這里的圖是幫助我們研究題目特點的？（生22：是的）有了這樣的研究之后，不論路有多長，都可以解決了。圖還是要畫，我們可以通過畫圖研究問題。我留了2道挑戰題，供你們課后研究，有信心解決嗎？（出示題目，如下）

四、總結分析，滲透解決問題的策略

師：時光匆匆，這節課即將結束，你能否對自己或即將學習這個內容的同學說點什么？

生23：做題要細心點，有想法了還不能忘了要確認。

生24：畫圖解決問題是個好辦法。

生25：不要背那么多公式也是可以解決問題的。

師：同學們總結得很好。今天，我們從一個前測題的分析開始對植樹問題這一類題進行了研究，找到了保證做對的重要手段———畫圖。掌握了畫圖的方法，一定能幫你們解決更多的問題！

【研磨思考】

2008年，我執教的“植樹問題”獲得長沙市小學數學課堂教學競賽一等獎。為了上好這節課，我們當時在3所學校選取了三、四、五年級各兩個班學生進行了學情調查，前測題第一題為：將12米的路，每3米分一段，可以分成幾段？學生的答案讓我驚訝：明明就是一個求12里面有幾個3的問題，不少學生用12除以3的結果4加1或者減1。通過進一步訪談發現，這些加1或減1的學生都提前在課外學過植樹問題。當問及為何要加1、減1時，學生的回答再次讓我驚訝：以前學植樹問題時有3個公式，這道題里沒說是哪種種法，不知道該怎么辦，所以選擇加1或減1。調查到這里，我明白了，這些學生都是按3種種樹情況學了公式的，并且看到“路”“段”就開始模式辨認，套用公式解決問題。這顯然不應該是一個有數學素養的學生應該具備的解題方式，也不應該讓學生用生搬硬套地方式來學習數學。于是，在當年的教學實踐中，我帶領學生通過實驗探究，理解植樹問題中棵數與段數的關系并探尋出三種算法后，將黑板上的三種算法一擦，提出問題：“數學公式這么多，要記牢還挺不容易。若是真忘了，你有辦法把它找回來嗎？”此問以期引導學生用畫圖、驗證、找事實、尋求規律等方法面對一個問題、研究一個問題，而不是簡單識別所謂的模式再套用。如果用套模式這樣的方式學習，得到的結果不僅易錯（題目變化萬千，稍有調整學生便會束手無策），也會讓學生對數學學習產生誤解———多背公式就能學好數學。

時隔10年，直面生之困，再向“植樹”行。此次的設計有了更樸素的做法———從一題到一類，再到一法，全課只字不提算法，更不用說進行分類討論、逐一辨識。此次的設計是希望能進一步破而后立，真正解決學生學習中的問題。我在備課研磨中，學習了很多老師對這一內容的解讀，以及教學處理方式，發現他們基本上都是分三類情況討論，大多都總結了算法。那么，隨之而來我要思考并理順以下的問題。

1.植樹問題的教學中存在什么問題？

從這十年間聽過、磨過的植樹問題教學來看，學生學得并不好，至少不如我們所期待的好。多次調研數據顯示，學生參與課外學習的人數與日俱增，而學習的方法更多的是先學習公式再辨認模式，學習的結果就變成了“一看以為會，一做竟然錯”，讓學生大呼難學，教師大呼難教。教材分別呈現了“兩端都種”（教材例題上寫明了這個要求）、“兩端不能種”和封閉圖形上的種樹三道例題，于是一般的處理方式就變成了要么一節課突破一種算法，最后再比較異同，區別計算；要么一節課教三種算法，再模式辨認，而后是變式練習。這兩種教法都直指快速得到答案。對于給定一種算法，再直接套用自然比通過研究得到答案來得快，但這不應成為教學的追求。數學學習講究通法為先———越是簡單、樸素、適用性廣的方法，越容易被理解、應用和學習。畫圖顯然滿足這一特點。那么畫什么、怎么知道畫對了就成為用這一方法解決問題的關鍵。一旦引起學生的關注，他們要掌握并不難。在我看來，教材只是提供了教學的素材，處理教材的原則就在于處理好“這是什么“”為什么教”和“教什么”三者的關系。植樹問題大可不必分情況討論，沒有“兩端都種”，如果覺得表述不清楚，“從第一棵到最后一棵間隔多少米”就是一種非常明確的表達方式。至于突然出現了一座房子一端不能種樹了、出現2座房子或者別的障礙物所以兩端都不能種了，不用區別對待，把不種的那幾棵拿走就行了，總不至于中間還有幾棵也不種了所以還要另起爐灶重新研究算法。學生學起來難，教師教起來效果不好，恰好說明教師把內容“咬得太碎”教給孩子，失去了原本應有的營養，導致學生學起來索然無味，如同嚼蠟。

2.學完植樹問題后，學生應當收獲什么？

作為數學廣角的學習材料，不同于基礎知識和基本技能，它更多地是在積累經驗、習得方法和應用數學的過程中形成解決問題的能力。這種能力是數學教學必須著重培養的數學素養之一。那么，學生學完植樹問題后，敢于面對一個問題、會研究一個問題及能對一個問題的結果負責就是我對這節課的學習價值定位。這三個方面對應的分別是信心、方法和態度。用什么樹立信心？大量的正確解答的體驗讓學生感受到哪怕是不一樣的題，也是可以被解決的。用什么來保障這種信心的確立？通過畫圖與分析的手段，能正確解答植樹問題———想直接畫的，可以把結果畫出來，愿意只畫一部分圖的，可以為自己尋求解答方法提供依據。得到了一個結果怎么辦？用畫圖、舉例的方法確認自己的答案，而非只是認為自己的答案不會錯，從而讓驗證所得到的解與教材上的回顧與反思不至于形同虛設。這樣的目標落地之后，培養學生借助圖形解決問題的意識和針對不同問題的特點靈活解決問題的能力，以及積累數學基本活動經驗，樹立能解決好數學問題的信心等就不再是鏡中花，只可觀而不可及了。

（作者單位：長沙市中小學教師發展中心）