噴涂機器人的噴涂軌跡規(guī)劃

潘 洋，冉 全*，鄒夢麒

1.武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 30205；

2.中國礦業(yè)大學機電工程學院，江蘇 徐州 221116

自從工業(yè)機器人應(yīng)用于制造業(yè)，隨著其機構(gòu)精度、離線編程技術(shù)、數(shù)字控制技術(shù)的不斷發(fā)展，其穩(wěn)定、高精度、耐重復、惡劣環(huán)境中作業(yè)的特點便體現(xiàn)在制造業(yè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)中的方方面面。而作為汽車外殼噴漆、陶瓷外表涂裝的噴涂設(shè)備，噴涂機器人在涂料噴涂領(lǐng)域則具有至關(guān)重要的作用。目前的噴涂機器人主要用于平面噴涂和曲面噴涂兩個方面。但是隨著人們生活水平的提高，人們的審美要求也在不斷的提高。另外，在陶瓷燒制過程中不均勻的釉料會產(chǎn)生裂紋，造成工件報廢，所以噴涂過程中涂料的厚度要盡可能均勻。

針對這一問題，國內(nèi)外有關(guān)學者對噴涂機器人噴槍軌跡優(yōu)化［1-7］問題展開了深入的研究。張永貴［8］等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進行漆膜表面函數(shù)擬合，提出一種橢圓雙β漆膜厚度分布模型。MAYUR V［9］等基于二次拋物線模型提出了一種用于在自由曲面上自動生成軌跡的新型離線機器人編程方法。曾勇［10-12］等根據(jù)圓錐面的幾何特點，給出了圓錐面上的噴槍軌跡生成方法，優(yōu)化了圓錐曲面噴涂時的涂料平整度。高峰［13］等采用包容盒算法，實現(xiàn)了噴涂軌跡的自動生成。但上述已有研究中，對噴涂機器人噴射軌跡的研究并不徹底，大部分只是針對一條軌跡上的涂料堆積情況進行分析。同時，針對復雜曲面上噴射軌跡研究的方法比較復雜。

為此，本文在平面噴涂模型研究的基礎(chǔ)上，提出了一種最小二乘自然二次曲面擬合法［14］對復雜曲面進行擬合，并采用多段分割曲線逼近目標函數(shù)的方法分析了相鄰兩條軌跡間的涂料堆積情況，簡化了噴涂機器人復雜曲面噴射軌跡的優(yōu)化問題，研究所得結(jié)果具有廣泛的實用價值。

1 平面靜態(tài)噴涂模型

為了更好的研究噴涂機器人的軌跡規(guī)劃問題，將噴槍在平面靜態(tài)噴涂過程中的作業(yè)原理簡化為圖1所示的模型。

圖1 噴槍平面靜態(tài)噴涂Fig.1 Plane static spraying of spray gun

如果將初始條件設(shè)為噴槍噴涂高度一定且噴槍軸線垂直于平面，它符合文獻［15］提出的橢圓雙β分布模型。模型如下：

其中：Z（x，y）為噴涂區(qū)域中任一點的涂層厚度累計速率函數(shù)；x，y為坐標變量；Zmax為噴槍中心投影點涂層厚度；a，b為橢圓形噴涂區(qū)域的長短軸；β1為x方向截面中β分布指數(shù)；β2為y方向截面中β分布指數(shù)。

為了計算方便，模型中相關(guān)參數(shù)值選用了2017年亞太地區(qū)大學生數(shù)學建模競賽（Asia and Pacific Mathematical Contest in Modeling，APMCM）中給出的a、b、Zmax、β1和β2的計算方法：

式（2）中：P1為噴槍的霧化壓力，P2為隔膜泵壓力，h為噴涂高度。

上述模型是噴槍單點噴涂的模型。實際上，噴槍需要沿著規(guī)劃路徑移動，以便待噴涂的工件表面均勻地覆蓋涂料，如圖2所示。

圖2 噴涂軌跡Fig.2 Spraying track

上述模型是噴槍單點平面噴涂的模型。實際上，當噴槍需要沿著圖2所示規(guī)劃路徑移動時，可知噴涂區(qū)域的涂料厚度在單點噴涂時中間部分較厚，兩側(cè)較薄。兩條軌跡的厚度分布關(guān)系如圖3所示。

在實際噴涂過程中，噴槍以速度v經(jīng)過時間t后涂層移動到圖4虛線所在位置，x表示噴涂范圍內(nèi)某點S到噴涂路徑的距離。

則靜態(tài)噴涂時S點的厚度為：

理論上，動態(tài)噴涂模型是靜態(tài)噴涂模型對時間的積分，則運動時S點處的厚度累積為：

式（4）中：T為該點接受噴涂的總時間。

聯(lián)立式（3）和式（4）可以得到：

對于一個實際噴槍，P1和P2可取0.2 MPa，h取 225 mm，求解矩陣可得a、b、Zmax、β1和β2分別為109.8 mm、47.1 mm、212.8 μm、2.365 5和4.899 9。那么有：

圖3 涂層重疊區(qū)域Fig.3 Coating overlap area

圖4 動態(tài)噴涂示意圖Fig.4 dynamic spraying diagram

圖5所示為平面相鄰軌跡噴涂的過程，點O為噴槍中心的投影點。為確定噴槍軌跡的合適相鄰間距，使用靜態(tài)噴涂模型進行求解，結(jié)果同樣適用與噴槍的勻速運動。勻速運動時，軌跡涂層厚度在y方向可視為一致，因此式（6）中可以忽略y和T。

令y=0，T=1則，式（6）可以簡化為：

要實現(xiàn)均勻噴涂，應(yīng)該盡量保證點S處的厚度與點O處的厚度基本一致。

圖5 平面噴涂示意圖Fig.5 Plane spraying diagram

在MATLAB中繪制出Z（x，y）的函數(shù)如圖6所示。可以看出涂料在平面上的堆積情況。

圖6 靜態(tài)噴涂厚度分布Fig.6 Distribution of static spraying thickness

其在y=0上的映射如圖7所示。

圖7 靜態(tài)噴涂厚度在y=0平面上的投影Fig.7 Static spraying thickness on the y=0 plane

設(shè)圖3中疊加處某一點的水平坐標為x0，則疊加厚度由公式（7）推導如下：

在MATLAB中得到涂層疊加厚度Z與間距d和x0的關(guān)系如圖8所示。

圖8 x0與d對疊加厚度的影響關(guān)系Fig.8 Effect of x0and d on superposition thickness

疊加厚度Z=Zmax時才能最大均勻化厚度，那么有：

可求得x0=69.3 mm，根據(jù)式（8）相鄰軌跡厚度需相等，則下式成立：

可解得相鄰軌跡重疊距離d=81.1 mm。

當噴槍保持以上相鄰軌跡重疊距離工作時可保證平面噴涂均勻。

2 曲面動態(tài)噴涂模型

曲面z=-y2+y-xy（-10≤x≤10，-10≤y≤10）如圖9所示。

圖9 函數(shù)z=-y2+y-xyFig.9 Function z=-y2+y-xy

由圖9可知，噴槍噴出的涂料由平面變到曲面上，而噴到平面上的橢圓也應(yīng)該轉(zhuǎn)化為曲面上的橢圓，建立轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖10所示。

圖10中，點f為噴涂圓錐中軸線與待噴涂曲面的交點，點b為噴槍中心點p在曲面上的垂直投影點，β為pb與pf的夾角，h為點p到圖中水平面ae的垂直距離，h1為線段pb的長度，h與h1的長度近似相等。點e為噴涂圓錐中軸線和平面ae的交點。過點e且垂直于噴涂圓錐中軸線的截面圓為c1，半徑為r。ce為平面ae與噴涂圓錐面截得的橢圓，ce的短軸和圓c1的直徑近似相等，橢圓ce的長軸為線段mn。假設(shè)噴涂作業(yè)中平面和曲面的噴涂量一致，則圓c1的面積Sc1與橢圓ce的面積Sce比值為：

圖10 （a）橢圓投影面轉(zhuǎn)換關(guān)系，（b）圖（a）中過線段mn的垂直截面Fig.10 （a）Conversion relationship between Ellipse and projection surface，（b）The vertical coross-section view through line of mn in diagram（a）

涂料在c1上的厚度q1與ce上的厚度qe的關(guān)系為：

圓形面c1與圓形面c2平行且在同一個圓錐形涂料張角下，根據(jù)幾何關(guān)系可知這兩圓形面的面積關(guān)系如下：

則涂料在c2上的厚度q2與c1上的厚度q1的關(guān)系為：

橢圓面cf為f點與曲面z=-y2+y-xy的切面，故與c2的圓錐形涂料張角一致，cf和c2的夾角為α，則cf上的涂層厚度qf與q2關(guān)系為：

假 設(shè) 噴 槍 在 曲 面z=-y2+y-xy（-10≤x≤10，-10≤y≤10）上的噴涂路徑如圖11所示。

圖11 曲面噴涂路徑Fig.11 Surface spraying path

則噴槍對曲面的噴涂，可以轉(zhuǎn)化成噴槍對著曲線路徑的噴涂。將x看作是定值，則曲面z=-y2+y-xy（-10≤x≤ 10，-10≤y≤10）可以看作為拋物線，進而可求得曲面上任意一點y0切線的斜率k=z′=-2y0+1-x。進行曲面噴涂時的平面投影如圖12所示。

圖12 平面投影示意圖Fig.12 Flat projection diagram

圖12中的曲線進行圓弧擬合的圓的方程為：

其圓心坐標為（A，B），圓弧半徑為：

令z=x2+y2，則可將方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式，進而可得曲線上點G對圓弧的誤差為：

圖13為圓弧擬合示意圖。h為噴槍到逼近圓弧的距離，hg為噴槍到原始曲線的距離，αg為點（xg，yg）在原始曲線法線與逼近圓弧法線的夾角。

由于噴涂高度的變化導致涂層厚度發(fā)生改變，需要分析噴槍距離h和法向偏角αg對噴涂厚度的共同影響。

圖13 擬合示意圖Fig.13 Fitting diagram

在噴涂誤差范圍內(nèi)，如果要保證圓弧能夠逼近目標曲面，需滿足圓弧到原始曲線上各點的平方和最小，即

式（19）中：qd為軌跡優(yōu)化后原始曲面上涂層厚度的平均值；qmin為軌跡優(yōu)化后原始曲面上涂層厚度的最小值；qmax為軌跡優(yōu)化后原始曲面上涂層厚度的最大值。令

采用修正Gauss-Newton法［16］可求得參數(shù)A、B、C的取值，從而將原始曲線的一端擬合成為圓弧。進而可將原始曲線轉(zhuǎn)化為無數(shù)段小圓弧組成。其所對應(yīng)的關(guān)系如圖14所示。

圖14 圓弧擬合關(guān)系示意圖Fig.14 Arc fitting relationship diagram

圖14中b為球面上噴涂投影點。設(shè)線段pa=h，pf=l，po=l1則線段pb=lcosβ，球的半徑為ρ，由余弦定理求得：

所以其靜態(tài)時間累積噴涂模型為：

選取曲面的一條路徑j(luò)，將其分成n段曲線，并將其中的一端曲線選擇出來進行研究。如圖15所示為一路徑劃分示意圖，假設(shè)在每一段的路徑上，噴槍的移動速度是相等的。設(shè)在第k段的長度為dk，速度為vk，在其上的噴涂時間為tk。然后將第k段進行二次分割，分割成m段曲線，在每小段上的噴涂時間也都相等，設(shè)為tk′。

那么對式（22）中的qf求時間t的導數(shù)可得：

圖15 路徑劃分示意圖Fig.15 Path division diagram

假設(shè)每段曲線中的每一個小段上的αi與βi的變化都極小，則第k段路徑上的涂層厚度為：

相鄰路徑j(luò)+1上的涂層厚度為：

則曲面上任意一點（xi，yi）處的涂層厚度可以表示為：

則噴槍軌跡優(yōu)化問題可表示為：

從而可以通過以公差最小與噴涂面厚度差小于10%為優(yōu)化條件，獲得路徑j(luò)、j+1之間的最佳重疊距離dj。

3 結(jié)果與討論

如圖16所示，設(shè)初始噴涂軌跡為曲面z=-y2+y-xy與平面x=1相交的曲線，即曲線z=-y2。并令噴涂起始點為曲線z=-y2上的一點p0（1，0，0）。使用第一章中平面噴涂模型的參數(shù)，并代入相關(guān)數(shù)值，通過MATLAB計算出初始軌跡和相鄰軌跡在x方向上的涂層重疊距離d。實驗中選取了5個離散點，計算結(jié)果如表 1所示。圖16中，p0、m0、r0分別表示離散點1在初始軌跡、重疊間距中間點、相鄰軌跡上的位置。表1中q（p，m，r）表示三個點p（x，y，z）、m（x，y，z）、r（x，y，z）處的涂層厚度。

圖16 實驗示意圖Fig.16 Experimental diagram

表1 計算結(jié)果Tab.1 Calculation results

由表1數(shù)據(jù)可知，各離散點對應(yīng)的涂層厚度分布符合厚度差小于10%的優(yōu)化條件。

4 結(jié) 語

1）基于平面靜態(tài)噴涂的橢圓雙β分布模型，研究了平面噴涂時兩軌跡之間的涂料堆積情況，得出相鄰軌跡之間的涂料最佳重疊距離d，并在MATLAB中進行了驗證。

2）根據(jù)對平面噴涂與曲面噴涂之間的映射關(guān)系的研究，使用了一種復雜曲面的最小二乘自然二次曲面擬合法，簡化了復雜曲面噴涂軌跡規(guī)劃的研究。

3）通過多段分割曲線逼近目標函數(shù)的方法，提出了一種相鄰路徑之間涂料的最佳重疊距離的計算思路，并在MATLAB中進行了驗證。該方法為噴涂機器人在復雜曲面上的軌跡規(guī)劃問題提供了新的參考。

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