屈曲梁Workbench仿真與試驗分析

李愛民(江蘇建筑職業技術學院 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116)

0 引 言

彈性直梁的平衡和穩定性問題起源于1730年Daniel Bernoulli和Euler的工作[1]，即最經典的歐拉-伯努利梁，在材料力學中有具體的闡述[2-3]。但是，歐拉-伯努利方程只是針對梁的小變形進行分析。隨著技術的發展，人們開始對梁大變形進行研究，如梁的平面大變形的橢圓解[4-5]，在研究梁大撓度的過程中，梁屈曲穩定有一定的臨界值，即前屈曲過渡到后屈曲，實際運用中，需要推導出不同約束條件下屈曲的臨界值[6]，進而對其大撓度進行求解[7-8]。國外早已對受軸向壓縮的梁進行研究，如文獻[9-10]中對受軸向力屈曲梁的穩態性探究，而大多數是對梁在橫向力作用下特性的研究分析[11]。趙劍[12-13]則利用屈曲的跳躍特性設計出加速度開關等。隨著研究的進一步深入，對彈性直梁的研究不僅局限于對其力學性能的分析，而是在力學的基礎上發現它的剛度可變以及振動特性[14-17]。

本文針對受軸向力的彈性直梁進行理論建模、仿真和實驗三個部分的非線性屈曲分析，獲得偏轉角、軸向力、撓度等之間的關系曲線，發現受軸向力梁剛度可變的特性，并作出剛度變化曲線。彈性直梁剛度可變的特性在減振、隔振的領域具有重要的應用。

1 軸向受力屈曲梁理論模型

以兩端固支的彈性直梁為例，選擇一端施加軸向力P，當軸向力大于穩定臨界值時，直梁將發生大撓度非線性屈曲變形，如圖1所示。

圖1 受軸向力梁大變形

顯然，圖形是左右對稱的，故可以得到圖2。

圖2 受軸向力梁大變形1/2圖

進一步分析，圖2類似于固定導向機構，可以把圖2簡化如下圖3所示，它是圖1的1/4。通過力平移的知識，對圖1的受力分析能夠簡化為對圖3進行分析。

圖3 受軸向力梁大變形1/4圖

圖中：P為軸向力(N)；l為梁原長度(m)；l1為梁被壓縮后的長度(m)；Ux為軸向壓縮量(m)；WB為撓度(m)；M0，Mr為作用彎矩；E為彈性模量；I為慣性矩。

在平移1/4處的自由端，M0=M1+M2，其中，M1是初始力偶，M2是附加力偶，則

M2=PwB/2

(1)

(2)

即：

(3)

(4)

對式(4)兩邊進行積分得：

(5)

(6)

(7)

所以

(8)

(9)

由圖3知，B′是屈曲梁1/4處的拐點，根據數學拐點的定義，M0=0。故曲率公式為：

(10)

令

(11)

則

(12)

對式(3)積分以及三角函數倍角公式轉換，得

(13)

設sin(θ0/2)=Κ，引入新變量φ，令

(14)

對式(5)兩邊求導，得

(15)

將式(6)代入到式(4)，并結合橢圓積分公式，得

(16)

可以推導出軸向力作用下，梁的X、Y方向的位移變化量[2]

(17)

(18)

因此，它的垂直位移和軸向位移為：

(19)

(20)

同時，可以得到在X軸方向的壓縮量為：

(21)

綜上，可以得出軸向力，撓度的表達式為：

(22)

而對于受軸向力梁，它在X軸上的剛度可表示為：

(23)

根據以上理論公式推導，使用橢圓積分分別計算出軸向力與軸向位移、撓度、剛度之間的對應關系，如表1所示。

2 軸向受力屈曲梁workbench仿真

Ansys Workbench作為經典的有限元分析軟件，具有準確、真實、可靠的特點。本文使用其對彈性直梁進行非線性屈曲分析，彈性直梁的長度為200 mm，橫截面是矩形，寬度為30 mm，厚度為1 mm，彈性模量E為200 GPa。具體流程如圖4所示。

首先建立上述參數的彈性直梁，然后導入workbench里，接著，按照圖4的流程進行設置和求解，如圖5所示。

由圖5，第1個Static Structural包括Linear Bucking模塊，主要是對梁進行線性屈曲分析，通過在Workbench里添加約束，對梁的模型施加1 N的軸向力可以得到梁屈曲的臨界值，為493.49 N，與材料力學計算的臨界值493.48 N基本相等，驗證了建模的準確性。梁的彎曲情況如圖6所示。

表1 參數關系表

圖4 非線性屈曲流程圖

圖5 非線性分析

圖6 臨界屈曲圖

接著由APDL模塊提取其幾何缺陷，再進行幾何模型的重新生成，最后進行非線性屈曲分析。如圖7所示，當力大于臨界值后繼續增大，彈性梁非線性屈曲和跳躍曲線圖。

(a) 屈曲梁大變形圖(b) 屈曲梁跳躍曲線

明顯地，在1 725 s附近有跳躍現象，即梁軸向力的大小此時已大于其臨界穩定值。

通過以上仿真分析，結合第1部分梁公式的理論推導，可以得出軸向力與撓度、軸向力與橫向位移、橫向位移與撓度的理論曲線與仿真曲線圖，如圖8所示。

由圖8可知，仿真分析與理論計算基本一致，進一步驗證了理論模型建立的正確性。而在梁被壓縮過程中，梁剛度是可變的，如表1所示剛度隨軸向力先變小后又變大。剛度可變在工程應用中具有重要意義。

(a) 軸向力與撓度曲線圖

3 試驗研究

根據第2節的分析，取與仿真中的梁相同的尺寸，使用萬能拉壓機，對梁進行壓縮實驗，如圖9所示。

在圖9中，在梁的1/4處有一個藍色標記，表示數據的測量開始點，在測量過程中，使用電腦控制壓力機行走的速度，試驗中為5 mm/min，并每隔1 min記錄并提取軸向力與撓度之間的關系數據。具體的測量值如表2所示。結合理論和仿真，得出實驗與其對比圖，如圖10所示。其中，可以清楚地看出，實驗的數據與理論以及仿真數據基本吻合，也證明了本文理論的正確性。

4 結 語

(1) 本文以一根彈性直梁為研究對象，對其在兩端固支的情況下受軸向力作用時進行非線性屈曲分析研究。

表2 實驗參數關系表

圖10 實驗與理論和仿真數據對比

(2) 建立梁非線性屈曲的理論數學模型，用橢圓積分進行求解。然后，建立其三維模型，導入Ansys Workbench里進行有限元分析和實驗分析，驗證理論計算的正確性。對現實中柔性梁受軸向力的變形提供理論依據和指導意義。

(3) 在對柔性梁力學的分析中發現不同軸向力，導致梁剛度的變化，即存在變剛度的特性，而剛度的可變在工程機械、艦船領域有重要應用，為后續研究開發提供一定的理論指導。

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