信號交叉口車流到達分布實證研究

鄭慧敏，況愛武，段倩倩

(長沙理工大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410114)

交通流具有隨機性和時變性等特性，尤其是由機動車、非機動車和行人構(gòu)成的交叉口混合交通流更是如此。如何把握交叉口交通流的隨機特征是開展交叉口優(yōu)化控制的關(guān)鍵。Webster法、ARRB法、HCM法及沖突點法等單交叉口信號配時算法均基于穩(wěn)態(tài)流理論，都未考慮交叉口進口道車輛到達率的隨機性，這些方法均假定交叉口車輛到達率為某一定值，因此，所獲得控制方案的控制效果與實際交通狀況有較大的差異，信號控制的適應(yīng)性有待加強。由于交通信號控制的各種優(yōu)化指標是服從一定概率分布的，當平均值優(yōu)化到一定程度時，優(yōu)化指標的概率分布就顯得尤為重要。

近年來，一些學者對交叉口到達車流的隨機性進行了研究。如：胡明偉[1]運用K-S檢驗方法，檢驗車輛到達的統(tǒng)計分布規(guī)律，并且采集了部分道路的交通數(shù)據(jù)來驗證。蔣陽升[2]等人對交叉口隨機到達車流的時間間隔進行了擬合，發(fā)現(xiàn)隨機車流的到達規(guī)律與其變異系數(shù)的平方存在耦合關(guān)聯(lián)。也有些學者對基于可靠度的信號控制問題開展了研究，如：丁建梅[3]等人借助波動系數(shù)理論，對交通量波動的特性進行了分析，設(shè)計了信號控制參數(shù)優(yōu)化算法。于泉[4]等人考慮交叉口信號控制方案與交通流時變特性之間的關(guān)系，利用可靠度指標來確定固定配時方案的啟動時間，以滿足交通流時變的特性。朱翼雋[5]等人假設(shè)交通的到達率服從泊松分布，將交叉口機動車流的運行過程定義為M/G/1/∞休假隨機服務(wù)系統(tǒng)，建立了以交叉口機動車平均總等待時間為目標函數(shù)的最優(yōu)隨機控制模型。Lo[6]考慮交叉口入口引道車流到達的不確定性，提出了相位清空可靠性的概念。基于對數(shù)正態(tài)分布的進口道車輛到達數(shù)，建立了相位清空可靠度評價模型，并進一步構(gòu)建了以相位清空可靠度為約束的交叉口信號控制優(yōu)化模型。同時，還采用事件樹方法，研究了交叉口存在溢流情況下的信號控制方法。但是，Lo的研究沒有考慮到交叉口信號控制延誤和排隊長度的隨機性。呂斌[7]基于Lo所提出的相位清空可靠度，在假設(shè)正態(tài)分布和負指數(shù)分布的車流達到率下，建立了信號配時優(yōu)化模型，并討論了交叉口車流到達率的隨機性程度對周期時長和相位綠燈時間的影響。許多學者建立了隨機條件下以交叉口機動車期望排隊長度為優(yōu)化目標、以相位清空可靠度為約束的孤立交叉口配時優(yōu)化方法[8-9]。然而，這些基于可靠度的信號配時方法多假定交叉口到達車流服從某一種概率分布，但這些分布能否真實描述交叉口到達車流的隨機性仍缺乏論證。

為保證交叉口信號控制方案的可靠度，應(yīng)先確定交叉口進口道車流到達服從何種概率分布。作者以長沙市部分交叉口在不同時段、不同進口道、不同流向的車輛到達數(shù)實測數(shù)據(jù)為依據(jù)，擬運用非參數(shù)檢驗方法，對信號控制的交叉口進口道車流到達隨機分布開展實證研究，建立具有一定普適性的概率分布模型。

1 常用分布及其參數(shù)估計

1.1 備選分布

根據(jù)交叉口車流到達實測數(shù)據(jù)直方圖和學者們的相關(guān)研究，本研究選擇正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布及Wakeby分布4種概率分布模型來描述信控交叉口隨機車流到達的備選分布。該4種概率分布的密度函數(shù)和待估計參數(shù)見表1。

Wakeby分布函數(shù)沒有概率密度函數(shù)或者累積分布函數(shù)的解析表達式,它是由其分位函數(shù)(累積分布函數(shù)的反函數(shù))定義的[10]。

(1)

其中，參數(shù)ξ,α,β,γ和δ應(yīng)滿足：β≠0，δ≠0；γ≥0；β+δ≥0；α+γ≥0；β>-1；δ<1。與傳統(tǒng)的概率分布相比，Wakeby分布可以描述的分布形態(tài)更為廣泛，只要給參數(shù)ξ,α,β,γ和δ賦予恰當?shù)闹担琖akeby分布就可以模擬出很多的偏態(tài)分布，例如：極值分布和對數(shù)正態(tài)分布等。

表1 備選分布及其參數(shù)Table 1 Alternative distributions and their parameters

1.2 備選分布參數(shù)估計

確定用某一種概率分布模型來進行隨機到達車流的擬合后，應(yīng)先確定該分布的參數(shù)對傳統(tǒng)的概率分布模型。其參數(shù)估計方法比較簡單，采用參數(shù)的點估計方法就能夠獲得參數(shù)的取值。分布的參數(shù)估計方法為：

院子里有一棵特別粗壯的老楊樹。2016年深秋，我清楚地記得自己坐在楊樹下面拍攝農(nóng)場微電影《幸福的味道》的場景：一件破舊的針織毛衣，一條軍綠色的棉布褲子，一雙上世紀60年代的棉布鞋，兩條長長的辮子，一種時空穿越的感覺。現(xiàn)在回想起來，心里還是甜甜的、暖暖的。

1) 正態(tài)分布：取大小為n的一個樣本,樣本觀測值為x1,x2,…,xi,…,xn。參數(shù)估計的一個最直觀的求法是求樣本均值和樣本方差。

4)Wakeby分布：常用的參數(shù)估計方法并不適用于Wakeby分布，其原因是Wakeby分布沒有解析形式的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)，Hosking建立了Wakeby分布的L-階矩[11]參數(shù)估計方法。該方法的基本思路是：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算前五階線性矩，并令每階矩等于由L-階矩定義式推導得出的對應(yīng)五階矩。

L-階矩定義為：

(2)

(3)

利用式(2)和(3)，得Wakeby分布的前五階L-階矩：

λ2=α[(1+β)(2+β)]-1+γ[(1-δ)(2-δ)]-1；

λ3=α(1-β)[(1+β)(2+β)(3+β)]-1+γ(1+δ)[(1-δ)(2-δ)(3-δ)]-1；

λ4=α(1-β)(2-β)[(1+β)(2+β)(3+β)·(4+β)]-1+γ(1+δ)(2+δ)[(1-δ)(2-δ)(3-δ)(4-δ)]-1；

λ5=α(1-β)(2-β)(3-β)[(1+β)(2+β)·(3+β)(4+β)(5+β)]-1+γ(1+δ)(2+δ)(3+α)[(1-δ)(2-δ)(3-δ)(4-δ)(5-δ)]-1。

根據(jù)線性矩的定義，求出Wakeby分布的前五階線性矩后，再求取樣本的前五階線性矩。而樣本的線性矩可以根據(jù)隨機車流到達的樣本數(shù)據(jù)求得。線性矩(L-moment)是次序統(tǒng)計量某種線性組合的數(shù)學期望[12]。假設(shè)：X為一實數(shù)的隨機變量，其累積概率分布方程為F(X)，分位數(shù)方程為X(F)，并令X1∶n≤X2∶n≤…≤Xn∶n為n的隨機樣本的順序統(tǒng)計量，并且該樣本服從X的分布，則X的r階線性矩為：

r=1,2,…。

(4)

式(4)中，E(Xr-k∶r)是樣本容量為r時第(r-k)階次序統(tǒng)計量的數(shù)學期望。則前五階的樣本線性矩計算為：

(5)

式中：br為加權(quán)概率矩(Probability Weighted Moment,簡稱為PWM)，br=E[X{1-F(X)}r]，r=0,1，2，…。

由車流到達的數(shù)據(jù)求得樣本線性矩lr(r=1,2,…,5)后，可令其等于由公式(2)計算得到的對應(yīng)L-階矩的λr(r=1,2,…,5)，即lr=λr(r=1,2,…,5),從而得到對應(yīng)的方程組。求解方程，便可得到Wakeby分布的5個參數(shù)ξ,α,β,γ和δ。

1.3 分布擬合方法

常用的分布擬合優(yōu)度的檢驗方法有K-S、A-D和卡方(χ2)檢驗，本研究采用K-S檢驗法。對于給定的按升序排列的車流到達樣本序列：x1,x2,…,xi,…,xn，假設(shè)隨機車流的到達服從某一個分布,其中，F(xiàn)(x)為累積概率分布函數(shù),則Fn(x)經(jīng)驗累積分布函數(shù)的計算公式為：

(6)

2 實例分析

2.1 數(shù)據(jù)采集

本研究以長沙市典型的2個交叉口芙蓉路與赤嶺路交叉口及芙蓉路與五一大道交叉口為數(shù)據(jù)采集對象，這2個交叉口均為三相位控制的交叉口，芙蓉路與赤嶺路為Y型交叉口，芙蓉路與五一大道為十字型交叉口。為了獲得一般性的車流到達概率分布規(guī)律，開展了為期一周的數(shù)據(jù)觀測，觀測時長為全天24 h。以各交叉口各進口道1 min為時段統(tǒng)計車流到達數(shù)據(jù)，以1 h的數(shù)據(jù)作為一個樣本，共獲得了1 344組樣本數(shù)據(jù)。本研究隨機選擇了40組不同流向、不同進口道及不同時段的數(shù)據(jù)，并將其作為研究交叉口車流到達隨機性實證分析的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2.2 實測數(shù)據(jù)分布估計

根據(jù)實測數(shù)據(jù)，分析不同流向、不同進口道及不同時段下的車流到達實測數(shù)據(jù)，共選取了40組數(shù)據(jù)。從實驗數(shù)據(jù)中可以看出，不同流向、不同進口道以及不同時段的交叉口到達車流數(shù)據(jù)具有很大的波動性，要想獲得一種通用的概率分布模型比較困難。以正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布及Wakeby分布4種概率分布作為備選分布，對每一種分布用每一組樣本進行參數(shù)估計,并選擇K-S統(tǒng)計量開展假設(shè)檢驗，即每種分布進行40次參數(shù)估計和相應(yīng)的假設(shè)檢驗。其結(jié)果表明：在置信水平取SL=0.05的情況下,每種分布被拒絕的次數(shù)為：正態(tài)分布拒絕9次；對數(shù)正態(tài)分布拒絕12次；指數(shù)分布拒絕37次；Wakeby分布拒絕3次。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可知，在這4種分布中，指數(shù)分布的擬合效果最差，其次是對數(shù)正態(tài)分布，而5參數(shù)Wakeby分布的擬合效果最好，被拒絕次數(shù)最少，只有3次。不同時段、不同流向及不同進口道車流到達的數(shù)據(jù)各不相同，但5參數(shù)Wakeby分布無論在任何情況下都能很好地擬合。進一步的分析表明：有2組車流到達數(shù)據(jù)不服從其他3種分布，只服從Wakeby分布，這2組數(shù)據(jù)的參數(shù)估計及K-S檢驗結(jié)果見表2。

從表2中可以看出，這2組數(shù)據(jù)只有Wakeby分布可以很好地與車流數(shù)據(jù)吻合。且只有Wakeby分布通過了K-S檢驗，而其他的分布均沒有通過K-S檢驗。表明：Wakeby分布在描述信控交叉口車流到達的分布規(guī)律方面具有較大的普適性。

表2 對樣本進行4種分布的參數(shù)估計和假設(shè)檢驗Table 2 Parameter estimation and hypothesis testing of the four distributions of samples

3 結(jié)論

本研究探討了隨機車流到達的概率分布。通過車輛到達數(shù)據(jù)，對候選的4種概率分布及5參數(shù)Wakeby分布進行了擬合，研究了參數(shù)估計方法和假設(shè)檢驗方法。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算了前五階線性矩。并令每階矩等于由L-階矩定義式推導得出的對應(yīng)五階矩，建立了等式關(guān)系求解參數(shù)。研究結(jié)果表明：Wakeby分布擬合效果最好，拒絕次數(shù)最少，只有3次。下一步將研究隨機車流到達條件下信號控制相序、相位及綠信比的設(shè)計。

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