一種改進的聯合概率數據關聯算法

駱榮劍，魏 祥，李 穎

(重慶通信學院， 重慶 400035)

1 背景

雜波環境下的數據關聯問題一直是多目標跟蹤領域的研究熱點[1-3]。目前，多目標跟蹤算法主要有兩類：一類是基于隨機集的多目標跟蹤算法，但是該類算法在進行多目標跟蹤過程中涉及復雜的集合積分運算，積分求解較困難[4-6]，因此如何保證目標跟蹤精度不降低、積分運算得到簡化還有待進一步深入研究完善；另一類算法是先關聯后跟蹤的方法，如最近鄰、概率數據關聯、多假設、聯合概率數據關聯(JPDA)等算法。文獻[7]指出：對于雜波環境下的多目標跟蹤，JPDA算法能較好地解決關聯域內出現的多個目標量測的跟蹤，算法整體性能優于其他算法。但該算法在跟蹤多目標時依然存在跟蹤精度不高、計算量大等問題。造成上述問題的原因主要有以下兩個方面：① 算法的參數設置很難與目標實際運動狀態完全匹配，導致預測結果和目標實際運動狀態存在較大偏差，造成落入關聯波門內的量測并不能較好地表示目標的狀態特征；② JPDA算法由于考慮了每個量測都可能來自目標的情況，因此隨著觀測區域內目標數目或雜波密度的增大，關聯波門內的量測數目將會大量增加。此時再進行確認矩陣拆分和計算關聯矩陣，關聯概率可能會出現組合爆炸現象，造成目標跟蹤精度下降，嚴重時將會導致目標誤跟、失跟。

針對上述問題，本文在已有算法的基礎上，首先引入“當前”統計模型，并對模型中機動頻率和加速度方差不能自適應調整問題進行了改進，實現了機動頻率和加速度方差自適應。其次，避免了JPDA算法中從確認矩陣得到關聯矩陣，再由關聯矩陣計算關聯概率的過程，重構了確認矩陣，直接由確認矩陣計算關聯概率，減少了算法的計算量。最后，將改進的“當前”統計模型和改進的JPDA算法相結合，在Matlab仿真實驗平臺上對多機動目標進行仿真實驗。實驗結果表明，所提算法有效提高了目標跟蹤精度，降低了算法的計算復雜度。

2 “當前”統計模型的改進

在經典的“當前”統計模型中，機動頻率和加速度極大值需根據經驗設定。這類方法在處理多目標跟蹤時往往由于經驗值設置不合理使得每一步濾波算法得到的目標狀態、預測值的協方差與實際情況嚴重不符，導致在利用基于“當前”統計模型的卡爾曼濾波算法對多目標進行關聯跟蹤時跟蹤波門的設置不合理，從而對雜波環境下多目標跟蹤實現帶來影響，增加了算法的計算量，降低了跟蹤精度。針對此問題，許多學者提出了改進的算法[8-10]，但多數研究都只是針對加速度方差進行改進[11-12]，對機動頻率自適應的改進較少。針對機動頻率和加速度方差根據經驗值設定不合理的問題，本文提出了相應的改進措施，在一定程度上實現了機動頻率和加速度方差的自適應。

2.1 機動頻率自適應

在“當前”統計模型中，機動頻率α為常數，而實際的目標機動過程中機動頻率應該是隨著時間的變化而時刻變化的，可得如下表達式：

(1)

其中a(t)為加速度am(t)的加速度噪聲。在“當前”統計模型中的一個采樣周期內，其瞬間的加速度均值為一個常數，而實際情況下加速度均值是時刻變化的。

通過文獻[13]可知，經典“當前”統計模型的加速度、加速度噪聲及加速度均值之間有如下表達式：

(2)

對式(2)兩邊進行求導，并將求導后的式子代入式(1)，得到如下表達式：

(3)

(4)

式(4)中x服從正態分布，即x～N(0,1)。將式(4)和(2)代入式(3)并整理可得如下表達式：

(5)

對式(5)分兩種情況進行討論。

(6)

對式(6)進行離散化處理，并對等式兩邊求期望，可得：

(7)

因為x服從N(0,1)正態分布，故E(x2)=1，因此式(7)可近似表示為

(8)

由式(8)可以進一步得出k時刻機動頻率的近似表達式為

(9)

(10)

(11)

將式(10)(11)代入式(9)，并整理可得

(12)

(13)

對式(13)離散化，并對等式兩邊同時求期望，可得

E(α(k))=

(14)

其中：E(x)=0；E(x2)=1。對式(14)進行整理，取絕對值可得近似機動頻率表達式：

(15)

α(k)=

(16)

通過式(12)及式(16)可得機動頻率自適應的近似表達式：

α(k)=

(17)

2.2 加速度方差自適應

(18)

實際經過量測修正后的目標位移狀態估計值為

(19)

式中Δv=ΔaT。則由式(18)和(19)可得

(20)

由于機動目標加速度方差和加速度變化量的絕對值之間存在正比線性關系[12]，所以由式(20)可得到一種新的加速度方差自適應表達式：

(21)

3 JPDA算法改進研究(IJPDA)

在密集雜波環境下，采用JPDA算法跟蹤多機動目標會隨著觀察區域內目標數量的增加或雜波數的增大造成在確認矩陣拆分成關聯矩陣時出現計算組合爆炸現象，導致該算法在工程中難以實現[14]。針對上述現象，本文重構了確認矩陣，在確認矩陣構造完成后根據目標距離、探測概率、目標門概率及雜波密度與目標之間的關系計算有效回波，并做歸一化處理。將歸一化處理后得到的概率值作為目標狀態權值對其進行加權求和，得出目標的狀態更新值，從而實現密集雜波環境下的多目標跟蹤。

3.1 構造確認矩陣

構造n×(m+1)的確認矩陣：

(22)

式(22)中ωij為二值元素，如果量測j落入目標i的跟蹤門內，則相應的ωij為1，否則為0。與聯合概率數據關聯算法中確認矩陣構造不同的是，確認矩陣是根據每個目標可能的關聯量測給出的，即矩陣的行表示跟蹤目標數目，列為目標有效量測數。第1列中的所有元素仍然為1，但并不是代表量測都來自雜波，而是表示目標沒有有效量測，出現漏測。

3.2 計算關聯概率

使用Δij表示量測數據(j=0,1,…m)與目標(i=1,2,…,n)之間的關聯關系，稱之為關聯矩陣，并假設它主要由4個方面來決定。

1) 由所有量測值、量測預測值及新息協方差組成，三者作為候選量測落入跟蹤門內的有效組成部分，表達式為

(23)

2) 落入跟蹤門內的候選量測比落在跟蹤門外的量測更有可能來自目標，因此在定義關聯矩陣時還需考慮第i個目標的探測概率PDi和第i個目標的門概率PGi。在定義Δij時，如果ωij=1，則表示目標落入跟蹤門內，目標被探測，此時考慮PDiPGi；如果ωij=0，則表示目標未落入跟蹤門內，目標未被探測，此時考慮1-PDiPGi。特別地，若PDi=1且PGi=1，表示跟蹤門對應的整個監視區域。

3) 如果ωij=1且j≠0，表示量測j落入目標i的跟蹤門內，定義Δij時，應考慮虛假空間雜波密度λ。(λ)m-1表示在j≠0的情況下，第i個目標的跟蹤門內只有1個有效量測，剩下m-1個量測都來自于雜波的虛假量測的內積。

4) 如果j=0，定義Δij時，考慮因子(λ)m，它表示沒有量測落入目標i的跟蹤門內。在這種情況下，所有的量測都來自于雜波。

基于上面提出的4條假設準則，量測j和目標i的關聯矩陣Δij可以定義為

(24)

從式(24)可以看出，在計算量測與目標之間的關聯概率時應分兩種情況進行討論。

情況1j=0時

βi0(k)=Δij(k)=(1-PDiPGi)(λ)m

(25)

情況2 1≤j≤m時，如果滿足

(26)

根據式(26)，假設定義目標函數Sq為

i=1,2,…,n;j=1,2,…,m

(27)

對給出的Δij、?i,j≠0和q，為了得到所有目標和量測的對應關系，通過拉格朗日乘數法求目標函數Sq的最小值，得到式(28)。

i=1,2,…,n;j=1,…,m

(28)

因此，關聯概率表達式為

(29)

根據以上分析可以看出，βij的取值與權重指數q有關，q越大，權重βij越小；當q=2時，關聯概率βij取值只和Δij的值相關，此時關聯權重的取值大小取決于式(23)所定義的加權新息內積，這和聯合概率數據關聯中的關聯概率的表達式相似。

4 改進的聯合概率數據關聯濾波算法

在卡爾曼濾波算法框架下，將改進的“當前”統計模型和改進的JPDA算法相結合，得到了改進的聯合概率數據關聯濾波算法(IAF-IJPDA)。算法主要步驟如下：

步驟1 給定目標初始狀態為

(30)

步驟2 狀態的一步預測為

(31)

步驟3 量測的一步預測為

(32)

步驟4 預測協方差為

Pi(k|k-1)=Fi(k-1)Pi(k-1|k-1)·

[Fi(k-1)]T+Q(k-1)

(33)

步驟5 新息為

(34)

步驟6 新息協方差為

Si(k)=H(k)Pi(k|k-1)H′(k)+R(k)

(35)

步驟7 橢圓跟蹤門門限為

(36)

式(36)中波門大小由參數γ決定，γ可以通過χ2分布表獲取，具體參見文獻[15]。

步驟8 根據橢圓跟蹤門門限生成確認矩陣Ω：

i=1,2,…,n;j=0,1,2,…,m

(37)

步驟9 根據確認矩陣中所有量測值對目標狀態更新時的貢獻值計算關聯概率βji(k)

(38)

步驟10 目標狀態更新為

(39)

步驟11 目標狀態估計協方差更新為

(40)

步驟12 過程噪聲的實時更新為

α(k)=

(41)

(42)

(43)

步驟13k+1時刻跳轉至步驟2繼續循環。

由式(33)～(36)、式(41)～(43)可以看出：本文所提算法實現了過程噪聲Q的自適應，較好地控制了落入關聯波門內的量測數目。由式(37)～(38)可以看出：本文所提算法直接由確認矩陣計算關聯概率，在一定程度上減少了由確認矩陣計算關聯矩陣出現的組合爆炸現象。

5 仿真實驗

為充分驗證本文所提算法的有效性，在卡爾曼濾波算法框架下，仿真對比了基于“當前”統計模型的聯合概率數據關聯算法(AF-JPDA)和本文中提出的改進聯合概率數據關聯算法(IAF-IJPDA)。在不同雜波密度下進行了兩組仿真實驗，算法性能評價指標為均方根誤差RMSE。

(44)

構建目標軌跡環境如下：目標1的初始位置為x0=25 500 m,y0=21 500 m,z0=1 100 m， 目標2的初始位置為x0=25 000 m,y0=21 000 m,z0=1 150 m，目標3的初始位置為x0=24 500 m,y0=20 500 m,z0=1 200 m，目標4的初始位置為x0=24 000 m,y0=19 500 m,z0=1 250 m。

所有目標開始時做勻速直線運動。目標1在x方向的初始速度為v=210 m/s，目標2在x方向的初始速度為v=220 m/s,目標3在x方向的初始速度為v=230 m/s，目標4在x方向的初始速度為v=240 m/s；目標1、目標2、目標3及目標4在y方向的初始速度為v=50 m/s。目標1、目標2、目標3及目標4在初始時刻做勻速運動，初始勻速運動時間為[0,10]s；而后目標進行蛇形機動，目標1、目標2、目標3及目標4蛇形機動時間均為101 s；最后目標以加速度a=10 m/s2繼續運動5 s。

雜波密度：λ=0.000 1，門限g=16，探測概率PDi=0.99，門概率PGi=0.98，仿真結果見圖1～10。

圖1 目標跟蹤軌跡

圖2 位移均方根誤差

圖3 速度均方根誤差

圖4 加速度均方根誤差

圖5 位移均方根誤差

圖6 速度均方根誤差

圖7 加速度均方根誤差

圖8 位移均方根誤差

圖9 速度均方根誤差

圖10 加速度均方根誤差

算法雜波密度時間/s目標x/my/mz/mAF-JPDAλ=0.000 596.575 425177.010 273.126 174.371 3279.614 873.419 274.367 4375.195 374.073 176.634 7476.245 074.415 775.508 4IAF-IJPDAλ=0.000 542.138 958133.283 232.187 333.004 4234.029 531.833 632.915 8332.475 131.650 633.878 1433.100 732.989 633.350 5

圖1為目標跟蹤軌跡，圖2～10為雜波密度λ=0.000 1下目標在x、y、z方向上位移、速度和加速度的均方根誤差對比。從圖2、圖5及圖8中目標在x、y、z方向上的位移均方根誤差對比可以看出：本文中所提改進聯合概率數據關聯濾波算法在跟蹤精度方面有了一定的提升。為進一步驗證該算法在雜波密度增大情況下的綜合性能，將雜波密度增大至λ=0.000 5，得到相應實驗數據如表1所示。通過表1可以看出：本文所提算法不僅跟蹤精度得到了提高，在算法實時性方面也有改善。這主要是因為在自適應卡爾曼濾波算法框架下，本文算法一方面實現了機動頻率和加速度方差自適應，另一方面通過改進JPDA算法由確認矩陣計算關聯矩陣，再由關聯矩陣計算關聯概率，直接重構確認矩陣，從重構的確認矩陣計算關聯概率，避開了JPDA關聯矩陣拆分出現的復雜運算，從而有效提高了算法的跟蹤精度，降低了計算量，改善了算法的實時性。

6 結束語

本文針對雜波環境下，聯合概率數據關聯算法在跟蹤多機動目標時計算量較大、跟蹤精度不高的問題，設計了一種改進的聯合概率數據關聯算法。詳細闡述了算法的實施流程，并構造了蛇形機動仿真場景，在Matlab仿真平臺上進行了仿真驗證。實驗結果表明：本文算法在跟蹤實時性方面較JPDA算法取得了較大改善，跟蹤精度得到了提高，能滿足有效跟蹤目標的要求，為雜波環境下的多機動目標跟蹤提供了一種新思路。

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