電熱水浴裝置的MPC-PID串級控制研究

王志甄,鄒志云

(軍事科學院防化研究院，北京 102205)

由于過程對象具有非線性、大滯后、控制精度要求高等特點，傳統的PID控制等通常難以達到預期目的。以預測控制和實時優化為代表的先進控制得到了越來越多的應用，從而增強了系統的穩定性，保證了產品質量。伴隨著過程系統生產裝置向大型化、集成化、復雜化發展，對生產過程的控制和優化等提出了越來越多的要求，單一的控制手段有時候已無能為力，串級控制在過程控制系統中的應用有助于提升系統精度，具有重要的現實意義。

在化工工藝過程控制中，對反應釜的溫度控制是其中的重點之一，可通過夾套介質調節反應釜內溫度，本文利用電熱水浴裝置對反應釜內溫度進行仿真控制，研究了MPC-PID串級控制方法的控制效果。

1 MPC-PID串級控制

1.1 PID控制

20世紀20年代，Minorsky在船舶自動導航的研究中，提出了基于輸出反饋的PID控制器的設計方法。自20世紀40年代起，PID控制器已在過程控制中得到了廣泛的應用，據統計90%以上的控制工程至今仍然采用PID及其改進形式的控制器[1]。PID控制對系統偏差進行比例調節，通過引入積分環節、微分環節提高了控制系統的性能和品質，常規的PID控制原理如圖1所示。

圖1 PID控制工作原理示意

其數學描述為

(1)

式中：KP——比例系數；TI——積分時間常數；TD——微分時間常數。

PID控制器具有原理簡單、使用方便、抗高頻干擾強、適應性強的優點，但隨著工程系統的日益復雜化和對控制要求的精確化，傳統的PID控制器的弊端逐漸暴露，如用于非線性和不確定性系統的魯棒性不夠強；當用于時延較長、參數時變較快、不確定性明顯和非線性嚴重的復雜對象時，控制質量比較差。

1.2 模型預測控制

模型預測控制[2-4]MPC(model predictive control)產生于20世紀70年代，它是利用過程模型，預測在一定的控制作用之下系統未來的動態行為，并在此基礎上根據給定的約束條件和性能要求，滾動地求解最優控制作用并實施當前控制；在滾動的每一步，通過檢測實時信息，修正對未來動態行為的預測，可歸結為預測模型、滾動優化和反饋校正3條原理，MPC結構如圖2所示。

圖2 MPC結構示意

近年來，在能源化工、航空航天、先進制造等許多領域，都出現了不少用MPC解決約束優化控制問題的方案[5-9]。作為一類新型的計算機控制算法，它能直接處理帶有純滯后的對象，對大慣性有較強的適應能力，從而有較好的跟蹤性能和較強的魯棒性。然而，其抗干擾性能卻不如傳統的PID控制，對突發性的隨機干擾難以及時控制。

1.3 串級控制

把MPC和PID控制通過串級控制的方法結合起來，充分發揮MPC算法的超前預測性和強魯棒性以及PID控制的抗干擾能力，在保持PID算法優良性能的同時，把串級控制結構引入MPC。在內環采用常規PID控制，及時跟蹤系統變化，抑制主要干擾；而外環采用MPC，實現良好的跟蹤性能并在模型適配時具有較好魯棒性，這在理論與工程中都具有重要的意義[10]。

1.4 MPC-PID串級控制

MPC-PID串級控制原理如圖3所示。在整個控制系統中，整體上可分為內層控制回路和外層控制回路，其分別具有不同的結構特點： 內層控制回路作為副回路，控制對象包括系統的主要干擾和一些比較微小的時間或純滯后常數，采用頻率較高的數字PID控制，可及時克服對象的二次干擾，從而擁有良好的抗干擾能力；而外層控制回路作為主回路，控制對象通常包含較大的時間常數和較大的純滯后，以對模型失配有較強的魯棒性并且獲得優良的跟蹤性能為目的，采用MPC算法進行控制。

圖3 MPC-PID串級控制系統示意

2 電熱水浴裝置及其數學模型

2.1 電熱水浴裝置

為研究MPC-PID串級控制算法，本文采用電熱水浴裝置為研究對象，通過電加熱使水浴裝置溫度升高，進而控制三口瓶的對象溫度，使其穩定于設定值，以保證反應過程，結構原理如圖4所示。

圖4 電熱水浴裝置結構原理示意

以電加熱過程為例，由電爐和加熱容器組成的1個溫度對象。容器內盛水，水的溫度為θ1，要求θ1保持不變，所以θ1為被控參數，即溫度對象的輸出量；而溫度對象的輸入量是電爐給水的供熱量Q1。在工作過程中，電爐不斷給水供熱，而水又不斷地傳遞熱量Q2給工作對象。當Q1=Q2時，水從電爐得到的熱量與傳遞的熱量相當，水溫θ1保持不變。如果某瞬間突然加大電爐電流使給水供熱量Q1突然增大，此時水從電爐得到的熱量增加了，于是水溫開始慢慢升高；與此同時，水溫θ1的升高使得Q2也隨之增大，最后Q1=Q2，熱量的輸入與輸出的平衡關系又重新建立起來，水溫θ1即保持不變。

2.2 數學模型

根據能量平衡關系，可以建立電加熱器的微分方程式，即在單位時間內進入加熱器的熱量與單位時間內流出加熱器熱量之差，應等于加熱器熱量儲存的變化量。于是可得：

(2)

式中：m——加熱器內水的總質量；cp——水的定壓比熱容，在常壓下cp=1；C——熱容。

被加熱的水要不斷地向控制對象傳遞熱量，這個熱量可表示為

(3)

式中：θ2——控制對象溫度；R——熱阻。

利用增量表示并整理可得到微分方程式：

(4)

若對象溫度恒定，即Δθ2=0，可得：

(5)

將上式寫成一般形式：

(6)

用拉氏變換形式表示為

(7)

式中：T——時間常數，T=RC；K——放大系數，K=R。

而熱量經過傳遞才能使三口瓶內部對象的溫度發生變化，即包含了主要時滯部分，可近似認為它具有下述形式[11]：

(8)

經過試驗辨識得到電熱水浴裝置傳遞函數模型為

(9)

(10)

3 控制算法與控制結果

3.1 控制算法

本文采用基于對象階躍響應的動態矩陣控制算法DMC(dynamic matrix control)[12]。

3.1.1預測模型

基于對象階躍響應系數ai(i=1,2，…,N)的DMC算法具有如下預測模型：

(11)

3.1.2滾動優化

DMC是一種以優化確定控制策略的算法，k時刻優化性能指標取為

(12)

式中：Q——誤差權系數矩陣；R——控制權系數矩陣；wP(k)——期望輸出。

3.1.3反饋校正

DMC引入反饋校正來修正模型預測輸出值，輸出誤差為

(13)

預測輸出按下式修正：

(14)

式中：h——反饋校正向量。

修正后的預測值經過移位成為下一時刻的預測初值，移位公式為

(15)

式中：S——移位矩陣。

3.2 MPC-PID控制仿真結果

針對該控制對象，當設定值為60 ℃時，對MPC和PID進行參數整定。根據香農采樣定理，選定整個系統采樣時間為1 s，取MPC中建模時域N=200，優化時域P=28，誤差權矩陣Q=1，控制時域M=1，控制權矩陣R=1，校正系數h=1，PID參數取KP=3.29，KI=0.22，KD=-2.34，利用Matlab程序仿真得到結果如圖5所示。由結果可見，溫度變化曲線光滑平穩，溫度最終穩定在設定值范圍內。

圖5 MPC-PID串級控制結果示意

3.3 MPC-PID串級控制與PID-PID和單MPC控制結果對比

為了對比試驗結果，現分別采用PID -PID和單MPC控制算法來進行仿真，并將仿真結果與圖5進行比對。其中PID -PID參數取： 內環 PID參數為KP=3.29,KI=0.22,KD=-2.34，外環PID參數為KP=0.32,KI=0.015,KD=-0.1，其仿真結果如圖6所示。單MPC控制算法在不同優化時域參數P下的控制結果如圖7所示。由此可見，MPC-PID具有較小的超調量和較好的快速性，控制效果明顯優于PID -PID和單MPC控制算法。

圖6 MPC-PID串級控制和PID-PID控制系統結果對比示意

圖7 MPC-PID串級控制和單MPC控制系統結果對比示意

4 MPC-PID串級控制系統主要參數影響研究

主控制器MPC主要控制參數對串級控制系統的影響，可采用控制變量法，即對所研究的變量取不同的值，固定其他變量，然后觀察系統輸出的變化，總結參數的影響規律，便于未來算法實現的參數調整。

4.1 優化時域P

優化時域P表示要使未來多少步內的輸出值與期望值的誤差最小化，必須超過對象階躍響應的時滯部分，并覆蓋對象動態響應的主要部分，取控制時域M=1，分別設定優化時域P為8，16，32，64等，系統的輸出響應如圖8所示。對比可見，優化時域P的大小對系統的穩定性和快速性有較大的影響。在一定范圍內，P越小，系統的快速性越好、超調量越大；P越大則越穩定。

圖8 優化時域P參數變化時的輸出響應示意

4.2 控制時域M

控制時域M表示所要確定的未來控制量改變的數目，反映了控制系統的自由度和能力，在P=28時分別設定控制時域M為1，2，4等,系統的輸出響應如圖9所示。對比可見M越大，系統的快速性越強，超調量越大；M越小則穩定性越好。

圖9 控制時域M參數變化時的輸出響應示意

4.3 校正系數h

校正系數h的選擇獨立于其他設計參數，是系統中唯一直接可調的設計參數，它僅在對象收到未知干擾或模型適配造成預測輸出與實際輸出不一致時才起作用。將校正系數h分別設定為0，1，2，4時,系統的輸出響應如圖10所示。可見增大h可使系統的快速性增強、超調量增加，同時穩定性也會變差。

圖10 校正系數h參數變化時的輸出響應示意

5 結束語

MPC-PID串級控制算法集合了MPC算法對大滯后系統的優良控制和PID算法快速靈活的特點，仿真試驗結果表明： MPC-PID串級控制比PID -PID和單純的MPC算法具有更好的控制效果，可以為實際的工業過程提供更加有效的控制策略。

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