HPM視角下的正弦定理教學案例

孔祥文 李嵐

HPM視角下的教學案例編寫，既是HPM領域未來的研究重點，也是數學教學研究的重要組成部分。正弦定理是人教A 版必修5第1章第1節內容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切關系，與判定三角形的全等也有密切關系，在日常生活和工業生產中也有解三角形的問題。因此，下面以HPM 視角下正弦定理的設計和實施為例，闡述HPM 視角下數學教學的設計方法，幫助學生理解數學和數學活動的本質，創造學生的學習動機。

教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。

情感態度價值觀：在HPM視域下，使學生體驗知識的形成過程，培養學生合情推理、探索數學規律的數學思想能力。

教學過程

導入

在初中，我們已經能夠借助于勾股定理、正弦和余弦的定義解決有關直角三角形的一些測量問題。但是在實際工作中我們還會遇到許多其他的測量問題。我們知道，在任意三角形中有大邊對大角、小邊對小角的邊角關系，我們是否能得到這個邊角關系準確的量化表示呢？這就是今天我們要學習的正弦定理。

新課講解

早在公元2世紀，正弦定理已為古希臘天文學家托勒密所知。中世紀阿拉伯著名天文學家阿爾·比魯尼（al-Biruni，973～1048）也知道該定理。（Smith，1925，630）但是，最早清楚地表述并證明該定理的是13世紀阿拉伯數學家和天文學家納綏爾丁（Nasir-Eddin，1201～1274）。

英國數學家哈里斯（J.Harris，1667～1719）最早采用了直角三角形法。（Harris，1706，31-33）如圖1，在中，AD是BC邊上的高，利用直角三角形邊角關系有：

從上面的討論和探究得到以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即asin A=bsin B=csin C。

正弦定理可以變形為：

1. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；2. a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；3. sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R等形式，以解決不同的三角形問題。

問題：結合之前學過的知識，還有沒有其他的方法證明正弦定理呢？

輔助直徑法

19世紀，有人開始不再拘泥于上述的證法而采用了輔助直徑法，如Nixon（1892）。

如圖2所示，為底邊上的高，

過作直徑，連和，易證，于是有。

但，

故得。

小結

1.正弦定理的內容；2.正弦定理的證明方法；3.正弦定理解決的兩類問題：（a）已知兩角一邊；（b）已知兩邊和其中一邊的對角。

結語

本節課將數學史融入課堂教學，再現英國哈里斯證明正弦定理的過程，讓學生經歷了正弦定理的發生、發展過程，使正弦定理的生成符合學生的認知規律，并激發學生的學習動機。感受數學來源于生活，數學就在身邊，拉近了學生與古代數學家的距離。通過充分挖掘正弦定理的育人價值，促進了數學學科“立德樹人”目標的有效達成。

基金項目：黑龍江省學位與研究生教育教學改革研究項目（項目編號：JGXM_HLJ_2016095）；佳木斯大學校長創新基金項目（項目編號：rwsk2017-35）；佳木斯市教育科學規劃重點課題“HPM視域下中學數學教學案例設計與實踐研究”（項目編號：JZ1317002）