基于EnKF的新安江模型參數和變量同步估計方法

張蘋蘋 童菊秀 廖衛紅

摘要：數據同化方法可提高數值預報的時效性和準確性，且該方法已在水文領域得到應用，并得到快速發展。為了提高新安江模型徑流模擬預報精度，采用集合卡爾曼濾波方法同化徑流數據，對參數和狀態變量進行同步校正估計。通過對三水源新安江模型進行理想條件下的數值實驗，在同時考慮模型自身、模型參數以及觀測數據的不確定性的情況下，分析了參數均值和方差改變、集合大小、同化參數的敏感性以及相關性分析對同化過程的影響。結果表明：集合卡爾曼濾波算法具有可行性，且參數均值越接近真值、方差適當增加，集合大小適中，同化參數敏感性較低以及參數與變量間相互獨立時，能在一定程度上增加徑流同化精度。該研究可為同類型參數同化估計提供一定參考依據。

關鍵詞：新安江模型;徑流;集合卡爾曼濾波;同化;同步校正

中圖分類號：TV124文獻標志碼：A文章編號：

16721683（2018）02005108

Abstract：

The data assimilation method can improve the timeliness and accuracy of numerical forecasting，and has been applied and developing rapidly in the field of hydrology.In order to improve the accuracy of runoff forecast of Xinanjiang model，we adopted the ensemble Kalman filter method for synchronous correction of the model parameters and state variables.We designed a numerical experiment of the threecomponent Xinanjiang model under ideal conditions，and analyzed the effects of the mean and variance of parameters，the ensemble size，and the sensitivity and correlation of parameters on the data assimilation with consideration to the uncertainty of the model itself，model parameters，and the observation data.Results showed that the ensemble Kalman filter algorithm is feasible.Moreover，the accuracy of data assimilation can be improved when the mean value of the parameter is closer to the true value，the variance is increased appropriately，the ensemble size is proper，the sensitivity of parameters

is lower，and the correlation between parameters and variables is small.This study can provide a reference for similar research of data assimilation.

Key words：

Xinanjiang model;runoff;ensemble Kalman filter;data assimilation;synchronous correction

水文模型是描述自然界水文系統非常重要的工具，但模型本身具有不確定性，這些不確定性主要來源于模型結構、模型輸入數據和模型參數[1]。數據同化方法經過近幾十年的發展，在模型多源不確定性方面已取得較多成果。其中卡爾曼濾波（KF）[2]作為統計估值理論的代表性序列方法，已在模型參數實時校正中得到良好的應用[34]。KF作為線性最小方差估計方法，主要用于具有或近似滿足高斯分布誤差的線性系統。現實中各物理模型大多是非線性系統，為此，擴展性卡爾曼濾波（EKF）[5]在KF的基礎上發展而來。隨著模型越來越復雜，EKF在高度非線性模型中的適用性越來越低，因此Evensen[6]提出了集合卡爾曼濾波（EnKF）方法。EnKF在計算誤差協方差時不必像KF和EKF需要進行切線性模式和伴隨模式，因此節省了巨大的計算量。同時，EnKF易程序化且實現靈活，使用時限制性假設條件相對較少[7]，因此在地球科學很多領域的應用越來越受關注[89]。EnKF自提出以來便得到了快速發展，已在集總式水文模型中得到廣泛應用。H Moradkhani[10]等人利用EnKF對概念性降水徑流水文模型進行參數和變量的同化研究，同化過程可檢測時變參數并最小化短期偏差，同時發現通過調整超參數數值可使擾動幅度對集合大小在精確度上有影響;Haishen Lü等[11]使用集合卡爾曼濾波方法對新安江降水徑流模型進行變量和敏感性參數同步估計計算，通過與僅同化參數或僅同化變量的結果進行對比，發現同時同化參數和變量時徑流模擬結果更好。S.Pathiraja等[12]基于數據同化方法研究了動態流域的水文模型，以集總式概念模型（PMD）為例，提出了對多個時變參數的估計方法。

不少優化算法將水文模型模擬中出現的各種不確定性都歸結為參數的不確定性，而忽略了模型結構以及輸入數據的不確定性[13]。而本文同時考慮模型自身、參數以及觀測數據的不確定性，并將參數和狀態變量進行同步校正估計[1415]，在計算時不需使用全部歷史資料，每次同化更新時只與上一時刻資料有關，實時更新滾動，有效提高同化運算效率及精度。

1新安江模型

1.1產匯流計算方法

[JP3]本文采用的是三水源新安江模型[16]，實驗流域是位于貴州省三岔河流域，屬于濕潤地區，產流方式為濕潤與半濕潤地區使用的蓄滿產流方法。流域匯流計算時，不同水源使用不同的匯流方法，地表水使用無因次單位線法[17]，土壤水及地下水使用線性水庫法[18]。

1.2新安江模型參數物理意義及上下限

新安江模型共包含18個參數[19]，其物理意義、上下限和默認取值如表1所示，其中，參數默認取值參考宋萬禎等[20]在平湖流域水文模擬中采用多目標粒子群優化算法（MOPSO）得到的優化值，因平湖流域與三岔河流域具有相似下墊面，可進行參數值的移用。

2EnKF方法

EnKF的基本思想是利用Monte Carlo抽樣方法[21]設計預測狀態的一個集合，該集合的平均可作為最佳估計、樣本協方差可作為預測誤差協方差的近似，通過不斷向前濾波，每個樣本分別更新分析變量，更新后的分析變量樣本平均即可作為該變量的最佳估計[6]。EnKF原理與傳統KF相同，均以序列的方式交替進行預報和更新。由于現實生活中隨著環境的動態變化，參數是不斷更新變化的，本文將參數也加入到狀態變量中同步更新，更符合真實狀態，為同化精度的提高奠定基礎。以下是EnKF方法包括的預報和更新兩個過程[2223]。

（1）預報過程。[HJ2.2mm]

對于集合的第i個成員，模型的預報過程如下：

[WTHX]x[WTBX]i-t+1=f（[WTHX]x[WTBX]i+t，[WTHX]θ[WTBX]i+t，[WTHX]u[WTBX]it+1）+[WTHX]ω[WTBX]it+1，[JP3]

[WTHX]ω[WTBX]it+1～N（0，[WTHX]Q[WTBX]t+1），

i=1，…，n[JY]（1）

[WTHX]u[WTBX]it+1=[WTHX]u[WTBX]t+1+[WTHX]ζ[WTBX]it+1，[WTHX]ζ[WTBX]it+1～N（0，[WTHX]U[WTBX]t+1）[JY]（2）

式中：[WTHX]x[WTBX]i-t+1表示集合第i個成員在t+1時刻模型預報的狀態向量;[WTHX]x[WTBX]i+t表示集合第i個成員在t時刻同化更新的狀態向量;f（.）表示模型算子;[WTHX]θ[WTBX]i+t表示同化更新的模型參數向量;[WTHX]ω[WTBX]it表示模型誤差項;[WTHX]u[WTBX]it表示外部強迫場。為了較好地表示模型和外部強迫場的誤差擾動，給定其符合零均值和已知協方差（[WTHX]Q[WTBX]t+1和[WTHX]U[WTBX]t+1）的高斯分布。

同時估計變量和參數，需要改變方程（1）中的狀態向量，使其包含模型的參數，即：

[WTHX]X[WTBX]i-t+1=（[WTHX]x[WTBX]i-t+1，[WTHX]θ[WTBX]i-t+1）[WTBZ]T[JY]（3）

（2）更新過程。

濾波更新的方程表示如下：

[WTHX]X[WTBX]i+t+1=[WTHX]X[WTBX]i-t+1+[WTHX]K[WTBX]t+1（[WTHX]y[WTBX]it+1-[WTHX]H[WTBX]（[WTHX]X[WTBX]i-t+1））[JY]（4）

其中，[WTHX]y[WTBX]it+1為觀測數據;[WTHX]H[WTBX]為觀測算子，其可以將模型預報的擴展狀態向量映射至觀測空間中;[WTHX]K[WTBX]t+1為卡爾曼增益，其具體表達形式為：

[WTHX]K[WTBX]t+1=[WTHX]P[WTBX]-t+1[WTHX]H[WTBZ]T（[WTHX]HP[WTBX]-t+1[WTHX]H[WTBZ]T+[WTHX]R[WTBX]t+1）-1[JY]（5）

式中：[WTHX]R[WTBX]t+1為觀測數據誤差協方差，因觀測數據為已知的，可直接由數學公式計算得到，其主要用于量化觀測數據的不確定性;[WTHX]P[WTBX]-t+1為預報誤差協方差矩陣，其具體表達形式為：

[WTHX]P[WTBX]-t+1≈[SX（]1[]n-1[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）][JB<2[][JB<2（][WTHX]X[WTBX]i-t+1-[WTHX][AKX-][WTBX]-t+1）（[WTHX]X[WTBX]i-t+1-[WTHX][AKX-][WTBX]-t+1）[JB>2）][WT]T[WTBX][JB>2]]-1[JY]（6）

[WTHX][AKX-][WTBX]-t+1=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）][WTHX]X[WTBX]i-t+1[JY] （7）[WT]

[BT2+*2]3實驗方案

本文采用貴州省中部的三岔河流域作為實驗流域，該流域面積為5 340 km2，利用此實驗流域2008-2010年3年實測日降水和日蒸發數據，設計了一個假想的實驗來分析數據同化的效果。本文依據出口點流量的觀測值，不斷同步更新新安江模型兩個參數SM（流域平均自由水蓄水容量，mm）和B（土壤蓄水容量曲線指數）（參數選取方法參考文獻[11]），以及兩個隨時間變化的狀態變量S（流域平均自由水蓄水量，mm）和Q（流域出口點模擬流量，m3/s）。本文研究重點是參數均值和方差、集合大小、參數和變量間相關性等因素對同化過程的影響，此次選取2個參數即SM和B，進行同化分析，參數具體設置見下文。[HJ2.1mm]

給定一個參照模擬，設定參數最優值是已知的，即SM=20 mm，B=03，狀態變量S初始值為S=20 mm，將模型輸出的徑流時間序列作為觀測值，經過疊加噪聲后的觀測值將被用于之后的同化更新系統中，探討EnKF是否能夠反演得到上述給定的已知參數值，該假想實驗的顯著優點在于真實參數是已知的，有利于評價同化效果的好壞。其中設定的參數值以及參照模擬得到的徑流時間序列均為真值。

含兩個參數（SM和B）的狀態變量表示形式為X=（S，Q，SM，B）T，觀測算子為[WTHX]H[WT]=（0，1，0，0）T。假定變量和參數的分布形式都滿足高斯分布，設為SM～N（30，82），B～N（025，022），S～N（15，52），（參數分布設定借鑒文獻[14]）。其均值可看作是變量和參數的先驗估計，先驗估計代入水文模型中，不利用觀測值進行更新模擬值，得到徑流非同化值，文中稱為直接模擬值。另外，本次同化實驗同時考慮到模型本身與觀測數據的不確定性，模型誤差與觀測誤差均服從高斯分布，取高斯白噪聲即均值為零，本次標準差采用縮放因子[14]的形式，分別設為N （0，012）， N （0，012）。數據同化的初始集合數目大小設為100。

4數據同化結果分析

本文中，對數據同化效果的評價主要在以下兩個方面：一是根據更新同化后反演的參數值是否趨近于已知的參數值;二是直接模擬值和同化估計值分別與徑流真值的相對誤差。

從圖1可看出參數SM和B均經過一定時間步長達到穩定并趨于參數真值，驗證了EnKF的同化的效果。從圖2中直接模擬值和同化估計值分別與徑流量真值的相對誤差比較，可以看出同化估計值與真實徑流值的相對誤差幾乎都在0附近波動，只是在個別步長相對誤差值會稍有增大，但幾乎全部相對誤差值均小于直接模擬與真實徑流值的相對誤差，且平均誤差值可減小3.1%。觀察到在100、400及800步長附近相對誤差經同化后仍然較大，時段對應的均為非汛期，即汛期的同化精度值比非汛期同化精度值要高。因為汛期來水較大，波動范圍大，同化更新效果明顯。

為了更全面地分析影響同化的不同因素，本文將從四個方面：參數均值和方差的改變、集合的大小、同化參數的敏感性以及參數和變量間的相關性，來對同化的效果進行評價分析。

4.1參數均值和方差改變對同化結果影響

4.1.1參數均值改變對同化結果影響

為分析參數均值改變對同化結果的影響，本文選取參數SM進行研究，使其分布的方差保持不變，均值逐漸減小，讓均值更接近初始真值（20 mm），依次為28 mm，25 mm，22 mm。同化對比結果如表2所示。

由表2可知均值為22即參數SM滿足SM～N（22，82）時，同化效果最好。為更直觀地表現同化效果，將該分布與初始分布SM～N（30，82）做圖對比分析，兩參數的同化過程如圖3（a）、圖3（b）所示，直接模擬值和同化估計值與真實徑流量值的相對誤差比較如圖4（a）、圖4（b）所示。

由圖3（a）、圖3（b）比較來看，均值為30 mm時，SM在時間步長232、B在時間步長271時達到穩定并趨于參數真值;均值為22 mm時，SM在時間步長177、B在時間步長186時達到穩定并趨于參數真值，可知均值越接近真值時，參數達到收斂時間越短。由圖4（a）、圖4（b）中直接模擬值和同化估計值與真實徑流值的相對誤差比較來看，均值為22 mm時，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差平均減小38%，比均值為30 mm時同化估計相對誤差提高07%。因此當參數均值越接近參數真值時，參數同化效果越好。因為當均值與參數真值越接近時，得到的參數值都在真值附近范圍內，同化時能較快的找到最優估計值，同化效率更高。但實際中真值往往是不知道的，因此需要借助經驗或者公式推導模擬得到，這也是以后需要研究的方向。

4.1.2參數方差改變對同化結果影響

類似地，保持參數SM的均值不變，改變其方差[JP3]大小，依次為32，52，82，152，同化對比結果如表3所示。

由表3可知，隨方差增大，兩參數SM、B達到真

值的收斂時間有先減小后增加的趨勢。從直接模擬值和同化估計值與真實徑流值相對誤差比較來看，發現方差增大到152，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差減小48%，而方差為32，82時，其兩者的相對誤差分別減小20%和38%。由此可知，同化參數的方差越大，其同化效果更好。這是因為較大的方差意味著增大抽取范圍，較易覆蓋真值，提高同化效率。但方差越大，同化參數收斂的時間也會增加。

同樣，對于初始狀態變量的概率分布也做了相同的研究，發現也有類似的規律，均值與真值差值越小以及方差相對較大時同化結果也更好，同化徑流精度更高。限于篇幅，本文不再贅述。

4.2集合樣本大小對同化的影響

上文給定同化集合樣本大小為100，為了探討集合樣本大小對同化的影響，另分別取集合數目為50以及150進行對比分析，如圖5所示。

由圖5可知，集合樣本數為150、100時，兩參數SM和B分別在200步長、180步長時趨于穩定，等于參數最優值，而集合數為50時，兩參數雖經歷較大波動但也在約180步長時達到收斂，但參數B最終并沒有達到參數真值，且有部分時間步長里同化估計值與真實徑流值的相對誤差遠大于直接模擬值與真實徑流值的相對誤差，同化效果很差。在集合數為100時，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差平均減小3.1%，集合數為150時相對誤差平均減小4.2%，可以說幾乎能達到集合數為150的同化精度。綜上，增加集合數能更好地描述變量及參數的分布，更好地計算誤差信息，從而增加同化的精度。但是增加集合數無疑會增加計算時間，需要在同化精度與計算效率之間取平衡，因此在本實驗方案中，建議集合數仍為100。

4.3參數敏感性對同化的影響

為研究參數敏感性對同化效果的影響，通過LHOAT敏感性分析方法[24]篩選出了兩個較不敏感參數IMP（不透水面積比例）和KG（自由水中地下水出流系數），與上文中選取的兩個較敏感參數SM和B做同化對比分析。設置一個參照模擬，參數的最優值是已知的，IMP=005，KG=03。兩參數服從高斯分布，即IMP～N（003，012），KG～N（025，022）。其他設置均與起始相同。最后將兩者進行分析比較，見圖6、圖7。

由圖6可知，同化的參數敏感性越強，其到達收斂的時間越長，如較敏感參數SM和B達到收斂時的步長為180步，而較不敏感參數IMP在10步時就已達到參數真值。因為參數敏感性對模型中如產匯流變量影響較大，波動就會較大，同化就會受到相應影響。圖7（a）參數敏感性較強時，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差平均減小31%;而圖7（b）參數敏感性較弱時，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差平均減小184%，再一次說明了參數敏感性越弱，同化效果越好。

4.4參數與變量相關性對同化的影響

理論上，運用集合卡爾曼濾波方法同化的變量和參數之間應相互獨立[25]，但是對于具體的水文模型來說，很難保證兩者完全獨立，在內部兩者可能存在著連帶且復雜的相關關系。如在本文的變量和參數同步同化研究中，參數SM與狀態變量S有一定的相關性，為了討論參數與變量的相關性對同化的影響，將其中的參數SM變為參數K（蒸發皿系數），由LHOAT敏感性分析方法[24]得知，參數SM與K的敏感度相近，且均為極敏感度參數，因此，在研究變量和參數的獨立性前可排除敏感性的干擾。參數K主要由研究區的氣象數據決定，與狀態變量S相互獨立。設置參數值K=065，高斯分布K～N（06，022），其他設置均與起始相同。觀察同化更新后的反演參數值以及與直接模擬徑流量進行對比分析，探討狀態變量間相關性對同化的影響。

由圖8可知，同化的參數與變量間有一定相關性時，其到達收斂的時間越長，參數SM和B達到收斂時的步長為180步，而參數K和B分別在70步和170步時就已達到參數真值。圖9（a）同化的參數與變量間有相關性時，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差平均減小31%，圖9（b）同化的參數與變量間相互獨立時，同化估計值與真實徑流值的相對誤差比直接模擬值與真實徑流值的相對誤差平均減小84%。因此，同化的參數和變量間相互獨立時，同

化效果更好。從圖9中還能進一步發現，同化參數SM和B時滿足上文所說的汛期的同化效果比非汛期好，但在同化參數K和B時，反而非汛期同化效果更好。究其原因，應是非汛期的產流模擬中，流域蒸發所占的比重更高，因而蒸發皿系數K的影響相對更大，因此非汛期數據同化時效果更加顯著。

5結論

本文利用EnKF方法，對三水源新安江模型進行理想條件下的數值實驗，將參數和狀態變量同步校正估計，不僅證實了該同化方法的可行性，還分析了同化效果的影響因素，初步得到以下主要結論。

（1）EnKF方法將參數和變量進行同步同化估計，引入觀測徑流值實時更新校正，提高了徑流預報的精度，且汛期的同化效果普遍比非汛期同化效果好。

（2）當同化的參數初始高斯分布設置的均值越接近參數真值時，同化效果越好;而適當增加方差，同化精度也能有所提高。

（3）集合樣本大小對不同流域有不同選擇，太大或者太小都不利于同化，合適的集合樣本數更有利于同化精度的提高，應綜合計算效率和精度進行抉擇。

（4）同化的參數敏感性較弱時以及參數和變量間的相互獨立時，同化效果更好。

本次的研究規律將會對同類研究提供一定參考。但仍還有些影響同化效果的因素需要進一步討論，比如：增加同化參數的數量，進行多參數研究;本文只同化一種數據（徑流量），今后還可從多源數據進行分析，如引入土壤水分及蒸散發等，對同化效果進行更深一步的研究。

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