基于外在擾動的雙寡頭價格博弈模型分析

白雪寒,徐玉華,杜明娟(南京審計大學金融學院, 江蘇 南京 211815)

寡頭競爭是市場競爭的重要形式，價格競爭也是目前營銷活動中經常選擇的策略。Cournot模型是博弈論中經典的同質產品以產量競爭的模型，伯川德(Bertrand)[1]認為日常情況下企業更偏向于運用價格競爭的策略。然而，伯川德模型中價格決策機制會造成均衡價格和邊際成本相等的利潤為零的狀況，這就是所謂的“伯川德悖論”。豪泰林(Hotelling)[2]之后合理地解開了這一悖論，他表明有差異的商品之間的替代彈性變小，因此消費者對有差異商品的偏好不同，此時均衡價格也就可以大于邊際成本。Agliari[3]在不斷的調整策略中證實了產品的差異性越大，納什均衡越不穩定；楊曉花等[4]側重研究了行動時機和策略變量類型即選擇價格還是產量競爭的雙重內生選擇下雙寡頭博弈的均衡；Frisch[5]提出了推測變差模型,因為推測變差的不同，所以產生的推測變差均衡也不同；Kopel等[6]的研究把雙寡頭推向多寡頭。實現古諾均衡、伯川德均衡的前提條件是競爭參與者可以獲得市場的完全信息并且是完全理性的決策，在現實生活中該類條件很難滿足。Agiza和Elsadany[7]對古諾模型進行了改進，有限理性、天真理性和適應性假設等混合理性假設被嵌入到模型中，并證明了均衡點的存在性；董文波等[8]在有限理性的基礎上構建了具有溢出效應的雙寡頭價格博弈模型；趙德余等[9]將市場價格競爭、產品差異化定位策略以及相關的消費者需求分布和邊際成本優勢等被孤立的問題綜合考慮進行研究；郭軍華等[10]將研究深入到了外部因素的政府補貼，得出適當的政府補貼機制可促使博弈系統演化至制造商均選擇進入再制造策略的均衡。

現實中的寡頭企業在決策中不僅受自身條件的限制也受到外部因素的影響，如政府的重大決策、經濟危機等。文獻[1～10]對寡頭博弈做了很多有價值的探討，然而關于外部擾動項對寡頭決策的影響的文獻并不多。下面，筆者基于決策過程中的擾動項建立決策模型，分析了擾動后的經濟系統混沌行為，旨在為企業提供適時調整競爭決策的科學依據。

1 博弈模型

假設企業1和企業2為國內某一產業的2家寡頭企業且分別為領導者和追隨者角色，即企業2傾向于模仿企業1的決策行為，2家企業的需求函數為：

qi(pi,pj)=ai-dipi+bipji,j=1,2且i≠j

(1)

其中，ai,di>0,0≤bi≤1；ai為公司1和公司2的潛在需求量；p1，p2分別表示公司1和公司2的產品價格；bi代表2種商品的替代性，bi越大商品的替代性越強，bi=1時2種商品具有完全替代性。

假設2個企業的二次成本函數為：

(2)

其中，ci>0，即認為隨著產量達到了一定的程度，由于人工和原材料的供應的緊張而造成生產成本快速上漲。

在博弈的市場結構下，2家企業的利潤函數為:

(3)

計算式(3)的邊際利潤函數可得：

(4)

設Ai=ai(1+2cidi)，Bi=2di(1+cidi)，Di=bi(1+2cidi)， 則式(4)變為：

(5)

(6)

(7)

將式(5)代入式(6)和式(7)，得到如下動態博弈系統公式：

p1(t+1)=p1(t)+α1p1(t)[A1-B1p1(t)+D1p2(t)]+αp1(t)

(8)

p2(t+1)=p2(t)+α2p2(t)[A2-B2p2(t)+D2p1(t)]

(9)

式(8)和式(9)的4個均衡解為：

可以看出，均衡解中α2沒有出現，說明α1和α間接地影響企業2達到決策均衡狀態。

2 局部穩定性分析

為了分析以上平衡點的穩定性，獲得動態系統的雅可比矩陣如下：

(10)

根據均衡點的特征可知E0、E1、E2均為邊界均衡點，其中,E0為不穩定點，E1、E2為鞍點，E3是唯一的納什均衡點。E3的雅可比矩陣為：

(11)

J3的特征多項式為：

f(λ)=λ2-Tr(J3)λ+Det(J3)

式中， Tr(J3)為雅可比矩陣J3的跡；Det(J3)為雅可比矩陣J3的行列式。

又：

這說明納什均衡的特征值是實的。下面給出納什均衡E3的充分必要條件。納什均衡的局部穩定性可以由Jury條件給出，即：

(12)

在式(12)中，確定除參數α1，α2，α外其他參數后，滿足不等式(12)的全體(α1，α2，α)的值即為納什均衡點E3穩定區域。如果(α1，α2，α)在穩定域中，則在經歷一系列輪次的博弈后，(p1(t),p2(t))穩定于E3，如果(α1,α2,α)不在穩定域中，經過多次博弈之后，系統會逐漸失去穩定。

3 數值模擬分析

筆者借助Matlab進行數值仿真，取a1=a2=3.5，b1=b2=0.25，c1=c2=0.5，d1=d2=1,α1=0.23。因為α是干擾項系數，所以在仿真中對其取不同的值來進行對比。

圖1 價格分叉和Lyapunov指數圖(α=0)

圖1～圖5是α=0、0.01、0.1、-0.03、-0.1時的價格分叉和Lyapunov指數圖，在分叉圖中可以看出α對企業1的影響以及間接對企業2的影響。由圖1可以看出，當假設擾動項不存在時，在固定α1的條件下，第1次價格分叉在Lyapunov指數圖中對應α2=0.1320，第2次分叉對應α2=0.2763。從雙寡頭價格博弈模型的演化路徑可以看出，隨著α2的取值變化，價格模型呈現出倍周期分叉并最終處于混沌狀態。寡頭雙方價格的混沌狀態對企業的經營十分不利，價格的過大波動會導致企業無法制定合理有效的生產計劃。

當α=0.01時，價格博弈演化中的第1次和第2次分叉在Lyapunov指數圖中分別對應α2=0.1286和0.2694(見圖2)。此時α取正數意味著外界有利的擾動促使企業提高商品價格，當企業因為得到外部利好消息提高商品價格時，從演化路徑中可以看出分叉和進入混沌狀態的點均比不考慮擾動時提前。

當擾動項系數α=0.1時，領導者企業1的價格分叉更早提前，隨著企業2對企業1的追隨模仿，不久企業2的價格也出現分叉，經過一段時間2家企業在對應幾乎相同的Lyapunov指數圖中的點處再次分叉進入混沌狀態(見圖3)。因此，當外部出現利好因素企業不可盲目大幅提高商品價格，應權衡多種因素做出決策。

圖2 價格分叉和Lyapunov指數圖(α=0.01) 圖3 價格分叉和Lyapunov指數圖(α=0.1)

當α=-0.03時，由圖4可以看出第1個分叉點α2=0.1521和第2個分叉點α2=0.2815相比于圖1的分叉點均有推遲。α小于零意味著外部出現不利因素的擾動，企業對商品進行降價，此時對價格的微調便可推遲價格博弈系統的分叉和混沌。

當α=-0.1時，由圖5可以看出第1個分叉點α1=0.2513和第2個分叉點α2=0.3258相比于圖4的分叉點有進一步的推遲，這說明企業依據外部不利擾動的程度在競爭決策中對商品降價有利于維持系統的穩定。但是當取負數的α過小將失去研究的意義。

從以上分叉圖中可以看出，α不同的取值對2個企業在采取價格決策競爭中的影響十分顯著，企業在決策中應充分考慮外界擾動因素，并采取適當措施來穩定經營狀態。

圖4 價格分叉和Lyapunov指數圖(α=-0.03) 圖5 價格分叉和Lyapunov指數圖(α=-0.1)

4 結論

在假設2個寡頭企業分別為領導者和追隨者的角色且具有有限理性的前提下，基于差異化產品的寡頭模型，并結合擾動項構建價格競爭模型的動態系統研究外界干擾因素下該模型的穩定性和分叉行為的演化，得出如下結論：

1)外在擾動會加劇價格決策系統的不穩定性；

2)當存在有利的外部因素時，企業在有限理性下會在價格決策機制中使擾動項系數為正即提高商品價格，此時擾動項系數微小的變化即可造成競爭中價格決策系統分叉的提前，當擾動項系數大到一定程度極有可能使系統直接進入混沌狀態；

3)當外界擾動因素產生負影響時，結合心理學來分析，基于有限理性的寡頭企業并不愿意在下期價格決策中降低價格，通過分叉圖可以看出此時稍微降低價格反而會增加系統的穩定，推遲價格決策系統的分叉及混沌現象，因此，企業在競爭決策中應考慮外部擾動因素，審慎行動。

[參考文獻]

[1]Bertrand J. Theorie mathematique de la richesse societe. Journal des Savants[J]. Journals des Savants, 1883: 498～501.

[2]Hotelling H. Stability in competition [J]. The Economic Journal, 1929, 39: 52～56.

[3]Agliasi A, Naimzada A K, Pecora N. Nonlinear dynamics of a Cournot duopoly game with differ-entiated products[J]. Applied Mathematics and Computation, 2016, 281: 1～8.

[4]楊曉花，夏火松，楊云峰.雙重內生選擇下雙寡頭博弈的均衡研究[J].中國管理科學，2010(3):141～147.

[5]Frisch R.Monopoly，Polypoly:The Concept of Force in the Economy[J].International E-conomic Papers,1951, 1：22～27.

[6]Kopel M.Simple and Complex Adjustment Dynamics in the Cournot Duopoly Models[J].Chaos，Solitons and Fractals, 1996,7：2031～2036.

[7]Agiza H N，Elsadany A. A,Nonlinear Dynamics in the Cournot Duopoly Game with Heterogeneous Players[J].Physica A, 2003，320：512～516.

[8]董文波，范明，杜建國.有限理性雙寡頭價格博弈模型的混沌分析[J].決策參考，2014(5):35～39.

[9]趙德余，顧海英，劉晨.雙寡頭壟斷市場的價格競爭與產品差異化策略[J].管理科學學報，2006(5)：1～7.

[10]郭軍華，李幫義，倪明.雙寡頭再制造進入決策的演化博弈分析[J].系統工程理論與實踐，2013(2)：370～377.