基于神經網絡和小載荷的疲勞損傷計算

趙沖，王碧霞，羅競波，祝帆，李美求

機械零件在服役過程中，承受的載荷往往是隨機和反復多次的，絕大部分的失效模式是疲勞失效。當下應用最廣泛的疲勞損傷理論是線性疲勞累積損傷理論，即Miner理論[1]。該理論認為材料在各個應力下的損傷是獨立進行的，并且總損傷可以線性地累加起來[2]。因其簡單易操作而受到生產實際的歡迎，但該理論沒有考慮低于疲勞極限的小載荷和加載順序對疲勞損傷累積的影響，計算結果往往與實驗的損傷結果有較大的偏差。王旭亮等[3]提出的模糊疲勞損傷理論將應力模糊帶的上邊界置于疲勞極限處，對小于原來疲勞極限的應力也考慮其產生的損傷，但沒有考慮小載荷的強化作用和載荷順序的影響。王正等[4]建立了隨機載荷循環作用下的結構疲勞壽命預測模型，分析了結構所受循環載荷作用的不確定性特征，并采用泊松隨機分布來描述零件的動態可靠性模型[5]，但未考慮載荷之間相互影響，得到的機械結構疲勞壽命預測模型和零件動態可靠性模型與實際結果依然有較大誤差。為此，筆者提出一種將非齊次泊松過程理論與小載荷及其不確定性和伴隨損傷相結合來計算疲勞損傷量的方法。

1 傳統疲勞累積損傷理論

傳統疲勞累積損傷理論的基本假設[6]如下：

1)在任何等級載荷的作用下，零件都將產生疲勞損傷，其疲勞損傷的嚴重程度除了與該級載荷工作的循環次數有關外，還與該級載荷作用下產生疲勞失效的總循環數有關；

2)每一級載荷產生的疲勞損傷是相互獨立且永存的，并且在不同載荷下循環工作所產生的累積總損傷等于各級載荷水平下的損傷線性累加。

第1條假設，任何循環應力都能產生損傷。在與疲勞有關理論的研究中，高于疲勞極限的載荷稱為大載荷，低于疲勞極限的載荷稱為小載荷，鄭松林等[7]在對汽車前軸的實驗中指出，存在一個低載區，該區間的小載荷反復作用，將使結構的疲勞強度得到不同程度的提高。大多數機械零件在實際工作過程中，受載是連續多變的且往往能跨越各個損傷分界點，而疲勞損傷顯然也是一個連續累積的過程，在各個載荷歷程采用同一種損傷計算方式顯然是不合適的，因此，計算疲勞損傷必須分段處理。

第2條假設，不同應力幅下循環工作所產生的累積總損傷等于每一應力水平下的損傷之和。文獻[8]中大量試驗事實顯示，分別采用L-H加載順序和H-L加載順序得到的疲勞總損傷差別很大，即疲勞損傷不能僅以各級載荷下的損傷簡單地線性相加。

針對以上不足，筆者將求解疲勞損傷過程劃分為3個不同階段分別求出損傷再累加，并在大載荷區間考慮載荷作用次序的影響。

2 隨機過程模型的數學描述

在整個機械系統中，各個零件承受載荷出現的過程是一個計數過程，時間間隔(t0,t)內出現的載荷次數與下限時間t0前出現的載荷無關，每時每刻出現的載荷是隨機變化的，且載荷隨時間的變化不是一個平穩增量的過程，因此，可以用非齊次泊松過程描述[9～11]。

假設N(t)為到時刻t為止載荷出現的總次數，且N(t)滿足以下條件：

1)N(0)=0；

2)在任意時間段內載荷出現相互獨立，即任取0

3)對于任意t>0和充分小的Δt>0，有：

現場的機械零件所受載荷一般滿足以上幾點，即服從參數為{λ(t)>0,t≥0}的非齊次泊松隨機分布，數學描述如下：

(s,s+t)時間內荷載出現n次的概率：

(1)

對載荷進行分級處理，各級載荷出現的概率：

(2)

當s=0，n=1時，各級載荷出現一次的概率：

P0[Ni(0+t)-Ni(0)=1] =Λi(t+x)exp(-Λi(t+x))

(3)

顯然，式(3)的值在(0，1)之間波動，并且靠近區間下限，由麥克勞林公式：

(4)

得：

=Mexp(-M)

=M×[1-M+o(-M)]

=M-M2+o(M2)

=M+o(M)

(5)

3 非齊次泊松過程參數估計

3.1 自適應線性單層神經元模型

圖1 自適應線性神經網絡結構

筆者采用神經網絡參數估計法[12]對上述模型參數進行估計。冪律模型經過對數化處理可以轉化為線性關系，故選用自適應線性單層神經元網絡模型結構。

1)神經元計算模型 自適應線性神經網絡結構如圖1所示。輸入矢量P的每個元素pj(j=1,2,…,r)，通過權矩陣W與每個輸出神經元相連(即全聯接)；每個神經元通過一個求和符號，在與輸入矢量進行加權求和運算后，形成激活函數的輸入矢量，并經過激活函數f(·)作用后得到輸出矢量A，它可以表示為：

As·1=F(Ws·r·Pr·1+Bs·1)

(6)

自適應線性網絡的激活函數為線性函數，因而：

As·1=Ws·r·Pr·1+Bs·1

(7)

式中，Bs·1為偏差矢量；s為神經元的個數；r為輸入矢量的位數；F(·)表示激活函數。

當s=1時，網絡全矩陣為：

W1·r=(w11,w12,…,w1r)

(8)

2)W-H學習規則 線性神經元網絡采用的是W-H學習規則，又叫δ規則或最小均方差算法(LMS)。

首先定義一個線性網絡的輸出誤差函數：

(9)

式中，T為目標矢量。

根據梯度下降法，權矢量的修正值正比于當前位置上E(W,B)的梯度，對于第i個輸出節點有：

(10)

或表示為：

Δwij=ΔbipjΔbi=ηδi

(11)

這里，η為學習效率；δi定義為第i個輸出節點的誤差：

δi=ti-ai

(12)

在一般的實際運用中，η通常取一接近1的數，或取值為:

(13)

3.2 參數估計

各級載荷所對應的λi(t)求法相同，只需改變相應的統計載荷σi，因此，筆者只介紹λ(t)的算法。

對于機械問題，非齊次泊松強度函數λ(t)采用冪律模型[13]確定較為合適：

λ(t)=λβtβ-1

(14)

式中，λ為對應齊次泊松強度系數；β為冪律模型變化參數。

如前所述，在時間(0,t)內的均值為：

(15)

對式(15)兩端同時取對數，可得：

lnm(t)=lnλ+βlnt

(16)

令y=lnm(t)，x=lnt，a=lnλ，則式(16)可簡化為：

y=a+βx

(17)

圖2 神經網絡結構設計

這是一條斜率為β、截距為a的直線。神經網絡的結構如圖2所示。

記神經網絡的輸入矢量和目標矢量分別為X,Y：

X=[x1，x2，…，xn]T

(18)

Y=[y1，y2，…，yn]T

(19)

其中，xi=lnti；yi=lnm(ti)；ti為第i次統計時間；n為統計次數。

將統計所得數據按照神經網絡參數估計法得到：

(20)

3.3 當量載荷

對于隨機載荷問題，各個時刻各級載荷的出現均有一定的概率，采用最大順序統計量的方法顯然不合適，故而需要對時刻t的載荷進行等效處理，即t時刻的當量載荷為：

(21)

4 隨機載荷作用下的損傷計算

圖3 低幅載荷的分區

在疲勞損傷計算時，常以疲勞極限為界，疲勞極限以下的載荷稱作小載荷，反之，則為大載荷[14]。機械零件經歷一個完整的時間載荷歷程，往往需要承受大小循環載荷的作用。現用的疲勞損傷理論模型絕大部分都不考慮小載荷的影響，而只認為大載荷才對損傷有貢獻。事實上，能夠造成損傷的小載荷可以低到0.5倍的疲勞極限σe，另外，疲勞試驗表明，對于小載荷，存在一個低幅交變載荷區，如圖3所示。該區間的載荷反復作用于零件或結構，將使其疲勞強度得到不同程度的提高，這種現象被稱為低載強化[15]。

下面，筆者基于均勻損傷計算零件在隨機載荷作用下的總損傷。因譜載荷作用下的任一級應力均不是獨立的，前后應力間的耦合作用會對材料的損傷和壽命產生較大影響，故而計算損傷應分段考慮。

選取材料的疲勞極限σe為分界點，對于大載荷，主要考慮載荷之間的順序效應和相互影響；單次循環載荷產生的損傷DA稱為伴隨損傷[8]，可以分為2部分：一部分為不影響損傷但反映該次循環應力損傷水平的視在損傷DT，主要作用是改變損傷歷程；另一部分為影響損傷的耦合損傷DC，其值與載荷作用順序及當前應力產生的損傷有關。對于小載荷，基于隸屬函數考慮其強化損傷Ds，對于載荷歷程中處于無強化作用區的小載荷，其損傷強化效果均可忽略，固取其有強化作用區的下限σL=0.7σe。隸屬函數的選取可以根據所研究問題的性質選用某種典型的函數形式，其參數也可根據需要滿足的條件而定。損傷值屬于偏大型模糊分布[16]，隸屬函數μΘ(σi)是在論域[0,σe)上的有界單調遞增函數，其值域為[0,1]。

綜上所述，當σi∈[0,σL)時：

μΘ(σi)=0Di=0

(22)

當σi∈[σL,σe)時：

(23)

當σi∈[σe,σM]時：

(24)

(25)

聯立式(22)、(23)、(24)、(25)得出譜載荷下的總損傷D：

(26)

5 45鋼隨機載荷作用下的損傷計算

以45鋼為材料的試件進行動態隨機加載疲勞試驗，試驗中所設定的8級應力幅值水平分別為：σ1=275MPa，σ2=270MPa，σ3=265MPa，σ4=260MPa，σ5=255MPa，σ6=250MPa，σ7=245MPa，σ8=240MPa。平均應力σm=0，應力比r=-1，疲勞極限σe=244MPa，試驗中設定載荷隨機加載程序，不斷地對試件進行動態循環加載，直至試件發生破環。

依據文獻[17]提供的載荷數據，利用Matlab軟件的rand函數產生的隨機數模擬試件承受的載荷，其受載矩陣P如下：

采用非齊次泊松過程與小載荷理論和伴隨損傷相結合的方法對試件的損傷值進行估算，再將估算結果與試驗結果進行比對，以驗證該估算方法的可行性。損傷估算具體步驟如下：

1)依據45鋼的S-N曲線[17]:

σ13.711N=1039.736

(27)

得到各級載荷下的單次循環損傷值，如表1所示。

表1 各級載荷單次循環損傷表

2)利用步驟1)中的載荷數據輸入到神經網絡模型的輸入層，得到各個統計時刻的λi(t)值，進而依據式(21)計算各個時刻的當量載荷值。

3)對于小載荷，其隸屬度函數選用升半梯形分布，即：

(28)

4)根據式(26)計算試件發生疲勞破環時的損傷值。將獲得的數據采用前述方法計算所得的參數帶入式(26)積分，可以求出在載荷循環8.080×106次時的損傷和為0.92。

從理論意義上來說，一個試件從生產出來到疲勞破環的整個生命周期中，損傷值必定在區間[0,1]上單調上升，破環時的損傷和，即臨界損傷和D=1。特別地，修正的Miner理論其臨界損傷和D=1.47。

通過Miner線性疲勞損傷理論計算的疲勞損傷和D=1.71，誤差為71%；通過修正的Miner理論計算得到的疲勞損傷和D=2.24，誤差為52%；通過筆者提出的方法進行計算，得到的疲勞損傷和D=0.92，誤差僅為8%。由此可以看出，基于神經網絡的考慮小載荷的泊松過程的方法能夠更好的描述損傷累積過程，使材料的疲勞損傷更加接近實際情況。

6 結論

1)運用非齊次泊松過程理論對機械零件所受各級載荷的概率進行模擬分析，應用“當量載荷”代替傳統的“最大載荷”計算零件的損傷，同時，采用神經網絡的方法估計非齊次泊松隨機過程的冪律模型參數，避免了對于微觀變幅載荷過程求解路徑難以選擇的問題。

2)從理論意義上講，非齊次泊松過程對于隨機載荷的模擬是比較合理的，在求解損傷的過程中，充分考慮了小載荷的影響，同時對于載荷微觀變幅過程中各級載荷之間的相互影響問題也給予了充分的說明，并以8級載荷的隨機過程試驗數據進行驗證，誤差僅為8%，相比于傳統的方法誤差大幅降低，表明采用筆者提出的計算方法對隨機載荷產生的損傷計算更為精確。

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