黑體輻射中的波粒二象性

摘要：在愛因斯坦關(guān)于光的波粒二象性的基礎(chǔ)上，德布羅意提出實(shí)物粒子也具有波粒二象性，至此，波粒二象性成為了量子理論中最基礎(chǔ)的內(nèi)容。而實(shí)際上，若仔細(xì)考察維恩和瑞利關(guān)于黑體輻射的研究，就可發(fā)現(xiàn)其實(shí)在黑體輻射的問題上就已經(jīng)有波粒二象性的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：波粒二象性；黑體輻射；維恩公式；瑞利金斯公式

1 波粒二象性

當(dāng)光照射在金屬表面時(shí)，電子從金屬中脫出的現(xiàn)象叫做光電效應(yīng).而根據(jù)光的波動(dòng)理論，光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律和理論得出的結(jié)果并不相符.為了解決光的波動(dòng)理論和實(shí)驗(yàn)規(guī)律之間的矛盾，愛因斯坦于1905年提出了光量子假設(shè)：當(dāng)光和物質(zhì)相互作用時(shí)，其能量并不像波動(dòng)理論那樣是連續(xù)分布的，而是集中在一些叫做光子的粒子上，這種粒子仍保持著頻率的概念，光子的能量ε與頻率v的關(guān)系為[1]

ε=hv，

式中h為普朗克常量。

在光的波粒二象性的啟發(fā)下，德布羅意于1924年提出所有的實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性，把愛因斯坦關(guān)于光的“波粒二象性”推廣到所有的物質(zhì)，并提出：任何的實(shí)物粒子都與一列波相聯(lián)系，粒子的能量ε、動(dòng)量p與波的頻率v、波數(shù)k的關(guān)系由下列的式子決定

v=ε[]h，

k=p[]，

等式的左邊對(duì)應(yīng)的波的性質(zhì)：電磁波的頻率和波數(shù)，而右邊對(duì)應(yīng)的實(shí)物粒子的性質(zhì)：粒子的能量和動(dòng)量，等式將波和實(shí)物粒子聯(lián)系在一起.德布羅意關(guān)系式的正確性在三年后被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，微觀物質(zhì)的波粒二象性開始被人們所重視，而其實(shí)在這之前的黑體輻射問題中也可以得到微觀物質(zhì)的“波粒二象性”。

2 黑體輻射問題

任何物體都會(huì)不斷地輻射、吸收反射電磁波，輻射出去的電磁波在各個(gè)波段具有一定的譜分布，譜分布和物體本身的屬性及溫度有關(guān)，因此被稱為熱輻射。為了研究不依賴于物體本身屬性的熱輻射規(guī)律，一種理想的物體——絕對(duì)黑體被作為研究熱輻射的標(biāo)準(zhǔn)物體。絕對(duì)黑體定義為在任何條件下，對(duì)任意波長的外來輻射完全吸收而沒有任何反射的物體。事實(shí)上絕對(duì)黑體是不存在的，可以用一個(gè)開一個(gè)小孔的黑箱子作為絕對(duì)黑體的模型。實(shí)驗(yàn)測(cè)得各種溫度下的熱輻射標(biāo)準(zhǔn)能譜uT（λ，T）如下圖所示。

黑體輻射譜圖[2]

在通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得黑體輻射譜之后，為了得到其函數(shù)表達(dá)式，維恩和瑞利分別做了不同的工作并得到了不同的經(jīng)驗(yàn)公式，揭示當(dāng)時(shí)經(jīng)典物理的矛盾和缺陷。

維恩的粒子模型：維恩認(rèn)為黑體中存在著氣體分子，氣體分子中帶電粒子熱運(yùn)動(dòng)會(huì)輻射電磁波，氣體分子速率分布服從麥克斯韋速率分布，完全從粒子角度出發(fā)得到黑體輻射譜公式[3]

uT（v）=αv3[]c2e-βv/T，（1）

其中，α，β為常量，此公式被稱為維恩公式。維恩公式在高頻段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好，但是在低頻段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差較大。

瑞利金斯的波模型：瑞利從能量按自由度均分定律出發(fā)，根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論，研究空腔中電磁場，完全從波的角度出發(fā)得到了空腔輻射的單色能量密度公式。后來經(jīng)過金斯的修正，得到了下面的瑞利金斯公式 [4]

uT（v）=8π[]c3v2kBT，（2）

其中kB=138×10-23J/K為波爾茲曼常量。瑞利金斯公式在低頻段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好，而隨著頻率的增大，理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差越來越大，當(dāng)v→∞時(shí)，會(huì)得到能量趨于∞的結(jié)論，這就是史上著名的“紫外災(zāi)難”。

1900年十月，普朗克將適用于短波的維恩公式和適用于長波的瑞利金斯公式通過插值法結(jié)合起來，得到了理想空腔的黑體輻射經(jīng)驗(yàn)公式，并在兩個(gè)月后，在基于能量子假設(shè)的基礎(chǔ)上完全從理論上推導(dǎo)出黑體輻射公式[5]

uT（v）=8πh[]c3 v3[]ehv/kBT-1.

普朗克黑體輻射公式理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)論完全吻合，這說明普朗克將維恩公式和瑞利金斯公式用插值法結(jié)合起來的方法是有效的，這從側(cè)面上驗(yàn)證了維恩的粒子模型和瑞利金斯的波模型的部分正確性。

3 黑體輻射中的波粒二象性

從普朗克黑體輻射公式可以看出，對(duì)于短波，即hvkBT，有ehv/kBT1，普朗克公式過渡為維恩公式

uT（v）=αv3[]c2e-βv/T，

此時(shí)，維恩的粒子模型正確了一半，粒子性較為明顯而波動(dòng)性較弱。而對(duì)于長波hvKBT，有ehv/kBT≈1+hv/kBT（當(dāng)x→0時(shí)，有ex-1≈x），[6]普朗克公式蛻化為瑞利金斯公式

uT（v）=8πc3v2kBT，

此時(shí)，瑞利的波模型正確了一半，粒子的波動(dòng)性較強(qiáng)而粒子性較弱。

而把維恩的粒子模型和瑞利金斯的波模型結(jié)合起來，就可以得到普朗克公式，在普朗克公式完全正確的情況下，黑體中的物質(zhì)既不是粒子，也不是波，這就是黑體輻射中“波粒二象性”。所以說，在黑體輻射問題中，普朗克公式已經(jīng)包含“波粒二象性”。普朗克黑體輻射公式本質(zhì)上就是短波時(shí)的粒子性和長波時(shí)的波動(dòng)性的結(jié)合。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣長榮，劉樹勇.愛因斯坦和光電效應(yīng)[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005（04）：3237.

[2]趙凱華，羅蔚茵.量子物理[M].第二版.北京：高等教育出版社，2008：9.

[3]楊福家.原子物理學(xué)[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008：3132.

[4]宋世榕.瑞利金斯公式的產(chǎn)生經(jīng)過和愛因斯坦的有關(guān)貢獻(xiàn)[J].工科物理，1993（02）：4647.

[5]Planck M.On an Improvement of Wiens Equation for the Spectrum[M].The Old Quantum Theory.1967：7981.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)（下）[M].北京：高等教育出版社，2002：268.

作者簡介：李東亮（1997），男，漢族，廣東茂名人。