粘彈性邊界條件的實現及在地震動場地效應研究中的應用

黃　云，奉建軍

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

在地震波場數值模擬研究中，通過建立有限尺寸的模型來模擬半無限空間，這時通常需要在模型的邊界引入虛擬的邊界來吸收邊界上的波動能量，從而消除邊界反射。

在一維波動理論的基礎之上，Lysmer和Kuhlemeyer[1]提出了粘性邊界條件，該理論采用了粘性阻尼器來模擬無窮遠邊界。其物理意義明確，處理方法簡單，但存在低頻失穩、精度不夠和不能模擬地基彈性恢復的特點。在柱面波動的理論基礎之上，Deek[2]提出了二維時域人工邊界條件。在Deek的基礎之上，劉晶波等[3]提出了二維時域粘彈性邊界條件，并且在球面波的理論基礎上又推導了三維時域粘彈性邊界。

1　粘彈性邊界條件

依據劉晶波等[3]提出的粘彈性邊界條件，其等效物理系統的彈簧的剛度系數與阻尼器的阻尼系數分別為：

切向邊界：

(1)

法向邊界：

(2)

式中：KBT與KBN分別為彈簧的切向剛度與法向剛度；CBT與CBN分別為切向阻尼系數與法向阻尼系數；R為波源至人工邊界點的距離；Cs和Cp和分別為S波和P波波速；G為介質的剪切模量；ρ為介質質量密度；αN和αT分別表示粘彈性邊界條件的法向參數與切向參數。在二維研究中αT取值的區間建議在[0.35，0.65]，αN取值的區間建議在[0.8，1.2]。本文取值為αT=0.5,αN=1。

2　粘彈性邊界條件在ABAQUS中的實現

在ABAQUS有限元分析軟件中，在軟件中Interaction模塊下，通過在模型的邊界上布置彈簧與阻尼器來模擬粘彈性邊界，彈簧的剛度系數K與阻尼器的阻尼系數C分別可由式(1)與式(2)得到。該方法的理論依據是通過在模型邊界上布置彈簧與阻尼器分別來提供彈性恢復力與吸收入射波動能量。

為了驗證在ABAQUS中粘彈性邊界條件的實現效果，建立如圖1所示的二維模型。模型的尺寸大小為200 m×100 m，有限單元的網格大小為0.5 m，在模型上邊中部位置施加荷載，觀測點于震源點兩邊對稱布置，每個觀測點間距為3 m，共48個；施加的荷載為方向豎直向下頻率為10 Hz的正弦波y=sin0.2πt，得到如圖2所示的記錄。圖2(a)為在不施加任何邊界條件采用默認值的情況下所測得的地震時間記錄，圖2(b)為施加粘彈性邊界后所測得的地震時間記錄。

圖1　模型示意

(a)默認邊界地震記錄 (b)粘彈性邊界地震記錄圖2　時間記錄

圖2(a)表明在默認的邊界下，觀測排列接收到了底邊界與側面邊界的反射波，由于這些邊界反射波存在使得地震資料處理起來較為困難。圖2(b)表明在模型左右邊界及底邊界施加粘彈性人工邊界后，觀測排列只接收到來自于震源的直達P波與直達S波，此證明了粘彈性邊界的有效性，其能夠有效的吸收反射波動能量。

圖2(b)為Dirichlet邊界和粘彈性邊界下模型的波場快照，通過對比可以看出Dirichlet邊界下各種邊界反射波疊加在一起，波場變得非常復雜，使波的辨別難度增加。

3　粘彈性邊界上地震波震源加載方法

實際問題中的地震波的加載應當是外源波動的加載，震源實質是處于人工邊界無限遠的地方。對于粘彈性邊界之外的無窮區域，能夠將該區域中的總波場分離為散射波場和自由波場。在人工邊界計算區域之內，散射波場反射的波動能量由在粘彈性人工邊界處布置的彈簧-阻尼系統吸收，而由自由波場產生的波動能量可以轉化為粘彈性人工邊界處的應力邊界條件。在該理論的基礎之上，劉晶波和呂彥東[4]提出將地震波震源的加載問題轉化成波源問題，把加載的地震波震源轉變程施加在粘彈性邊界上的等效荷載。

假定加載的波場為u0(x,y,t)，粘彈性邊界上的位移為u0(xB,yB,t)，若在粘彈性邊界上施加的等效荷載使得粘彈性邊界上的位移和應力與原自由場相同,則表明實現了地震波震源的準確加載，即：

u(xB,yB,t)=u0(xB,yB,t)

(3)

τ(xB,yB,t)=τ0(xB,yB,t)

(4)

式中：τ0為原連續介質中由位移U0產生的應力。

假定在粘彈性邊界上某個節點加載的等效應力是FB(t)，按力學中脫離體的概念，把彈簧和阻尼器組成的物理系統與之脫離，此時粘彈性邊界上該點的應力應為：

τ(xB,yB,t)=FB(t)-fB(t)

(5)

式中：fB(t)為彈簧與阻尼器跟邊界上節點連接的內力。將式(4)代入式(5)得：

FB(t)=τ0(xB,yB,t)+fB(t)

(6)

由彈簧-阻尼器的運動方程：

(7)

將式(3)代入式(6)得到人工邊界上施加的等效荷載應為：

(8)

由此即可完成在粘彈性邊界上加載地震波震源。

從式(8)可看出在粘彈性邊界節點上的等效荷載由自由場地震波動產生的應力、克服由彈簧產生的抗力與克服由阻尼器產生的抗力三者構成。

4　粘彈性邊界在地震動場地效應二維數值模擬中的應用

地震動的場地效應問題一直是工程地震學的研究重點，大量的研究表明場地土本身對地震波的傳播有較大影響，不同的場地條件下地震動引發地面上的震害效果差異顯著[6-8]。堅硬場地土上的土木工程結構的破壞通常是由地震作用所引發，而在軟弱場地土上時，往往是由于地基土液化、不均勻沉降等因素引發地基土失穩，從而導致結構破壞。總體來說，當場地上的覆蓋土層越為松軟、覆蓋層的厚度越厚時，處于該場地上的土木結構所受震害情況越發嚴重。

為表示場地覆蓋土層變化對地震動的反應影響情況，定義地震動放大系數β：

β=Umax/Us

(9)

式中Umax為覆蓋層地表觀測點峰值位移，Us為場地無覆蓋層時均勻場地觀測點峰值位移。

為了研究地震動的場地效應的變化規律，使用數值模擬軟件ABAQUS建立如圖3所示的兩組二維場地模型，并應用粘彈性邊界條件。在第一組模型中，模型底部基巖密度為2 000 kg/m3，泊松比0.25，S波波速為1 200 m/s，上部覆蓋層密度為ρ=1 800 kg/m3，厚度h=60 m，泊松比υ=0.35，S波波速Vs依次為100 m/s、150 m/s、200 m/s、250 m/s、300 m/s、350 m/s、400 m/s、450 m/s，震源為基巖底部垂直入射正弦SH波sin2πt(0≤t≤1)。在第一組模型的基礎之上僅把覆蓋層厚度增加到h=90 m，由此成為第二組模型。通過對分析地表峰值位移放大系數β的變化情況來研究場地覆蓋層軟硬程度Vs及厚度h對震害的影響。

圖4給出了覆蓋層厚度h=60 m及h=90 m的條件下，放大系數β隨覆蓋層剪切波波速Vs變化的圖像。從圖中可以得出放大系數β隨場地覆蓋層剪切波波速Vs的變大而減小，但隨著Vs的增大，這種變化情況呈減緩的趨勢，說明當土體剪切波較小的時候(Vs<250 m/s)，場地對地震動的變化更為敏感。此外，場地覆蓋土層剪切波速相同時，覆蓋層厚度h較大的場地放大作用更為明顯。

圖3　成層場地示意

5　結論

本文在有限元模擬軟件ABAQUS中利用阻尼元件和彈簧進行并完成了粘彈性人工邊界的施加。此外，建立了二維模型進行全波場的數值模擬，數值結果顯示該邊界能夠有效的實現對邊界反射波動能量的吸收。基于此，將其應用到地震動場地效應研究中，模擬得到了場地覆蓋土厚度及剪切波速對地震動場地效應的影響規律。

圖4　β隨場地覆蓋土層厚度h及剪切波速Vs變化規律