基于F分布的最短置信區(qū)間研究

李廣正

（中國人民銀行蘭州中心支行，蘭州 730000）

0 引言

數(shù)理統(tǒng)計的本質(zhì)是以樣本推斷總體，而區(qū)間估計又是統(tǒng)計推斷的核心內(nèi)容，所以研究區(qū)間估計問題具有重要意義。在給定置信水平的情況下，基于單峰對稱分布的參數(shù)的區(qū)間估計，傳統(tǒng)方法構(gòu)造的區(qū)間是最短置信區(qū)間；當(dāng)分布為單峰非對稱時，利用傳統(tǒng)方法構(gòu)造的區(qū)間是等尾置信區(qū)間，而不是最短置信區(qū)間。

關(guān)于研究最優(yōu)區(qū)間估計的文獻(xiàn)有很多，李柏林[1]證明了最優(yōu)區(qū)間估計的存在性，并推導(dǎo)出了常見分布的參數(shù)的區(qū)間估計公式；錢瑛[2]證明了單峰分布的最短置信區(qū)間的存在性；姜培華[3]證明了兩正態(tài)總體方差比的最優(yōu)區(qū)間的存在性，即F分布最優(yōu)區(qū)間的存在性，這些文獻(xiàn)都只是從理論上證明不同分布下的最優(yōu)區(qū)間估計的存在性。徐曉嶺[4]不僅運用拉格朗日乘數(shù)法證明了卡方分布的最優(yōu)區(qū)間估計存在性問題，還利用matlab求解出了卡方分布最短區(qū)間估計值，并構(gòu)造了不同自由度下卡方分布的最短區(qū)間估計用表。孫鵬哲[5,6]給出了F分布和卡方分布最短置信區(qū)間的左側(cè)概率分配值表。其他針對單峰非對稱分布的最優(yōu)區(qū)間估計的研究還有很多，例如，王學(xué)敏[7]研究了指數(shù)分布和瑞利分布參數(shù)的最短區(qū)間估計問題。本文根據(jù)以上文獻(xiàn)的研究思路，研究如何計算出F分布最短區(qū)間估計用表，力爭在精度上優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

1 基于兩正態(tài)總體方差比的最短區(qū)間估計

設(shè)x1，x2，…，xm是來自正態(tài)分布的樣本，y1，y2，…，yn是來自正態(tài)分布的樣本，且兩樣本相互獨立。兩樣本均值分別為和兩樣本方差分別為：

對給定的置信水平1-α，由：

對給定的置信水平1-α，取滿足條件：

的x1和x2。由此得到的1-α的最短置信區(qū)間：

其中，0＜x1＜x2，且滿足：

F(m-1，n-1)(x)為F(m-1，n-1)的分布函數(shù) 。

姜培華[3]證明了基于F分布的兩正態(tài)總體方差比的最優(yōu)區(qū)間估計的存在性及唯一性，即上述非線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解。

周岱翰強調(diào)，飲食要均衡。一年到頭，他雷打不動要吃的“寶貝”，是最平常不過的蘋果，每天1～2個。有人問他：“蘋果就那么好吃嗎，吃多了不厭煩嗎？”“蘋果如果不好吃，就當(dāng)藥吃嘛！”他說。

作者簡介：李廣正（1990—），男，河南信陽人，碩士，助理經(jīng)濟(jì)師，研究方向：商務(wù)統(tǒng)計。

2 最優(yōu)置信區(qū)間的程序?qū)崿F(xiàn)

孫鵬哲[5]運用數(shù)值模擬方法，利用R軟件計算最短置信區(qū)間對應(yīng)的左側(cè)概率分配值，同時給出了最優(yōu)左側(cè)概率分配統(tǒng)計表。其計算步驟為：第一步，計算基于最短置信區(qū)間對應(yīng)的左側(cè)概率分配值；第二步，計算由第一步得到的左側(cè)概率分配值對應(yīng)的分位數(shù)，此分位數(shù)就是最優(yōu)區(qū)間的左側(cè)端點值，再計算右側(cè)概率分配值對應(yīng)的分位數(shù)，即為最優(yōu)區(qū)間的右側(cè)端點值。由于每一步的計算結(jié)果都不是精確的解析解，而是近似的數(shù)值解，所以這種分兩步計算最優(yōu)區(qū)間估計的方法擴大了估計誤差。而且，該文章只給出了基于F分布下最優(yōu)左側(cè)概率分配統(tǒng)計表，必須通過此表再計算相應(yīng)概率下對應(yīng)的分位數(shù)，才能得到最優(yōu)區(qū)間估計，這給實際應(yīng)用帶來了麻煩。基于這種考慮，本文通過運用拉格朗日乘數(shù)法，利用mathematics軟件分別計算出了在0.9、0.95和0.99置信水平下基于F分布的最短置信區(qū)間，并構(gòu)造了F分布的最短區(qū)間估計用表。

由式（2）得：

由于F分布的分布函數(shù)形式非常復(fù)雜，一般的軟件很難求出式（6）決定的非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。本文通過運用拉格朗日乘數(shù)法，將一個求解非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換成求解方程組的問題。經(jīng)過分析可知，由式（6）決定的非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解和由式（4）和式（8）組成的方程組的解相同。利用mathematics軟件里的FindRoot函數(shù)能較精確地求出方程組的近似根。對于F(m，n)分布，只有當(dāng)n＞4時，分布的方差才存在，故為保證方差存在，本文的最優(yōu)區(qū)間估計表是在兩個自由度都大于4的條件下計算的，具體程序略。

表1 0.9置信水平下最優(yōu)區(qū)間的左側(cè)端點值

表2 0.9置信水平下最優(yōu)區(qū)間的右側(cè)端點值

表3 0.95置信水平下最優(yōu)區(qū)間的左側(cè)端點值

表4 0.95置信水平下最優(yōu)區(qū)間的右側(cè)端點值

表5 0.99置信水平下最優(yōu)區(qū)間的左側(cè)端點值

表6 0.99置信水平下最優(yōu)區(qū)間的右側(cè)端點值

3 結(jié)論

本文計算出了在0.9、0.95和0.99置信水平下基于F分布的最短置信區(qū)間，構(gòu)造了最短區(qū)間估計用表，同時將本文的方法與傳統(tǒng)方法和文獻(xiàn)[5]中介紹的方法進(jìn)行比較，比較結(jié)果見表7。在表7中，區(qū)間長度1表示使用本文方法構(gòu)造的最短置信區(qū)間的長度，區(qū)間長度2表示使用文獻(xiàn)[5]的方法構(gòu)造的最短置信區(qū)間的長度，等尾置信區(qū)間長度表示傳統(tǒng)方法構(gòu)造的置信區(qū)間的長度。（注：此處的區(qū)間長度比實際的區(qū)間長度少了倍，表7中的區(qū)間長度比是區(qū)間長度1與等尾置信區(qū)間長度的比值）。

表7 不同方法構(gòu)造的置信區(qū)間對比

從表7中可以看出，在給定置信水平情況下，三種方法求得的置信區(qū)間長度都是隨著F分布的自由度的增加而減少，這是由于F分布隨著自由度的增加，其密度函數(shù)呈現(xiàn)“尖峰薄尾”的形狀，樣本的集中趨勢越來越明顯。

通過對比可以看出，在給定置信水平和自由度情況下，本文計算的最短置信區(qū)間要優(yōu)于文獻(xiàn)[5]中計算的置信區(qū)間，且兩者都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法構(gòu)造的置信區(qū)間。而且，三個置信區(qū)間之間的差別隨著自由度大小的不同存在一定的變化。例如，在0.9置信水平下，當(dāng)F分布的兩個自由度為4，4時，區(qū)間長度1為4.1041，區(qū)間長度2為4.1163，區(qū)間長度1略優(yōu)于區(qū)間長度2；當(dāng)F分布的自由度為20，10時，兩者的區(qū)間長度幾乎一樣。在0.9置信水平下，當(dāng)F分布的兩個自由度為4，4時，區(qū)間長度1為等尾置信區(qū)間長度的65.84%；當(dāng)F分布的自由度為20，10時，區(qū)間長度1為等尾置信區(qū)間長度的92.04%，兩者之間的差別在縮小，這是由于當(dāng)F分布的自由度增加時，其密度函數(shù)的對稱性越來越明顯，區(qū)間長度1與等尾置信區(qū)間的長度也越來越接近。所以，在小樣本情況下，研究F分布的最短區(qū)間估計是有意義的。

相比于文獻(xiàn)[5]中的方法，本文的方法一方面在精度上優(yōu)于前者（在小樣本情況下比較明顯），另一方面在使用便利程度上也優(yōu)于前者。本文直接構(gòu)造了F分布的最短置信區(qū)間估計用表，而文獻(xiàn)[5]只給出了F分布的最短置信區(qū)間的左側(cè)概率分配值表。

相比于傳統(tǒng)方法，本文的方法不僅在精度上要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法，而且在適用面上也要比傳統(tǒng)方法更廣泛。使用傳統(tǒng)方法構(gòu)造等尾置信區(qū)間時，需要查閱F分布的分位數(shù)表，而一般教材提供的都是有限自由度下F分布的分位數(shù)表，本文介紹的方法在理論上可以計算任意自由度下的F分布的最短置信區(qū)間，所以其適用面更廣。