橋梁結構鋼裂紋塑性區的研究及應用

渠　昱,　顧安邦,　曾　勇,　杜柏松

(1. 重慶交通大學山區橋梁與隧道工程國家重點實驗室, 重慶 400074; 2. 重慶交通大學山區橋梁結構與材料教育部工程研究中心, 重慶 400074)

正交異性鋼橋面板是由面板和一系列的縱橫加筋肋焊接而成,重量輕和承載力大的優點與結構工藝復雜、對疲勞敏感的缺點同時存在.李傳習等[1]在某懸索橋運行9 a后發現扁平鋼箱梁中疲勞裂紋有141處,其中橫隔板開孔和U肋與橫隔板焊接端頭為126處,占全橋裂紋總數的89.4%.張清華等[2]從制約正交異性鋼橋面板的疲勞性能研究進展等層面進行了分析總結,認為正交異性鋼橋面板的疲勞體現為由多個構造細節的疲勞性能共同決定的空間結構疲勞問題,該問題的研究面臨極大挑戰,并指出需要加強對疲勞機理的研究.其中循環塑性對裂紋萌生和擴展的影響是疲勞研究的主要內容,裂尖局部延性屈服形成裂尖塑性區,塑性區的尺寸(pz)和形狀控制著裂尖的結構特性.近年來許多最先進的試驗技術,如電子背散射衍射[3-4]、原子力顯微鏡[5-6]、圖像數字識別相關分析[5]、電子顯微鏡[6]和X射線斷層攝影[7-8]等技術用于疲勞塑性區的研究.

在裂紋擴展過程中裂尖塑性區尺寸和形狀對疲勞裂紋有著極其重要的作用.陳景杰等[9]提出了一種基于裂紋最大張口位移變化量確定裂尖逆向塑性區尺寸的簡便方法.趙均海等[10]根據雙剪統一強度理論,給出了能反映材料拉壓性能差異的初始拉壓及反映中間主應力效應的參數對塑性區的影響.VASCO OLMO等[11]利用實驗和圖像數字識別相關分析技術得到裂尖區域的應變場,利用Mises應力計算等效應力,得到塑性區的尺寸和形狀,并與理論模型結果進行對比.

對pz的簡化計算方法和對鋁、鉬等合金材料研究較多，對橋梁結構鋼,利用數值方法和塑性區對裂紋擴展和過載等問題的影響研究很少.本文通過數值方法對橋梁鋼裂紋擴展和尾跡場的塑性累積進行模擬分析,探討循環塑性區的形成、裂尖塑性區與尾跡場對裂紋擴展和過載滯后等影響進行研究.

1　裂尖塑性區算法

1.1　簡化的裂尖塑性區計算方法

為了工程設計需要,一般對pz作簡化處理,假定只與應力強度因子(SIF)有關.平面應力pl-σ和平面應變pl-ε的情況下,簡化的Ⅰ型裂紋彈塑性邊界可表示為

(1)

[(1-2ν)2+3sin2(θ/2)],

(2)

(3)

式中:ν為泊松比;KI為Ⅰ型裂紋的應力強度因子;Sy為屈服應力;θ為幅角.

當極坐標半徑r趨于0時,根據SIF的應力場計算的塑性區是精確的,但式(1)～(2)的結果只有對很低的SIF有效.更主要的是式(1)～(2)不滿足無窮遠邊界條件,根據Irwin[12]早期的建議,在平行于裂紋方向的應力分量sxx加一非奇異的常數項,即T應力強制滿足遠場條件,即KI+T應力場(見式(4)),用于考慮應力水平對塑性區的影響[12].

(4)

根據形狀應變能密度理論,塑性區應力方程為

(5)

式中:σM,pl-σ為裂尖周圍Mises應力.

根據式(4)～(5),得到等于屈服應力的等值線,即塑性區邊界，這樣就可以得到裂尖的塑性區.

以橋梁鋼Q345qD為例研究平面應力水平對Ⅰ型裂紋塑性區的影響,同樣適用于平面應變情況.材料參數:彈性模量E=2.0×105MPa；ν=0.3；屈服強度Sy=345 MPa；斷裂韌度KIC=60 MPa·m0.5,計算的塑性區見圖1，圖中：σn為外荷載應力；pz(θ)為塑性區尺寸.式(4)～(5)雖然是簡化的計算方法,但是能考慮應力水平的影響,圖1表明在高應力水平大于0.4的情況下,不能忽略高階項的影響.由于裂尖塑性區和構件剩余部分尺寸相比較小,狀態仍然以彈性為主,線彈性分析仍適用.所以,如何改進線彈性方法估計塑性區是具有實際意義.

圖1　平面應力I型裂紋裂尖塑性區Fig.1　Plane stress crack tip plastic zone for mode I

1.2　應力函數計算裂尖塑性區

Westergaard應力函數Z(z)提供了一個嚴格的從線彈性應力場計算裂尖塑性區方法[13],可以避免簡化算法截斷引起的誤差.利用應力函數Z(z)得到的應力場滿足所有邊界條件,但是彈塑性邊界并不靠近裂尖,這可以將坐標原點移動到裂尖,再次利用平面Ⅰ型裂紋加載的Irwin解[12].如果(x,y)和(r,θ)分別是直角坐標系和極坐標系,原點設在裂尖上,z=rexpθ=x+iy是復函數,i2=-1,Irwin解為

(6)

(7)

首先利用Z(z)和Z′(z)函數得到應力,然后利用等效Mises應力等于屈服強度Sy,就可以得到平面應力情況下的塑性區方程,如式(8).

{[ReZ-yImZ′-σn]2+[ReZ+yImZ′]2-

[ReZ-yImZ′-σn][ReZ+yImZ′]+

3(-yReZ′)2}1/2-Sy=0.

(8)

盡管應力函數表達的完備應力場對平面裂紋的線彈性解是正確的,但是,塑性區內的應力分布與線彈性場的奇異性不匹配.塑性區內的能量不平衡會改變塑性區周圍的應力分布,因此塑性區的大小和形狀需要進行修正.

圖2　由應力函數計算的Ⅰ型裂紋裂尖塑性區結果Fig.2　Estimated resultsfrom stress function for the mode Ⅰ

1.3　滿足平衡條件要求的塑性區修正

應力修正就是強制平面裂紋滿足平衡條件.塑性區內利用Mises應力對屈服產生的應力截斷進行平衡校正是合理的解決方案,因為它能將所有應力都與Mises應力相關.本文只討論(σn/Sy=0.8)Mises應力對塑性區的修正[14],按式(9)計算,結果見圖3.

(9)

式中：pz eq M為Mises應力平衡修正后的裂尖塑性區；pz M為利用Westergaard函數計算的裂尖塑性區；σM(r,θ)為修正點的Mises應力.

圖3　Ⅰ型裂紋裂尖塑性區平衡校正前后的結果比較Fig.3　Comparison of crack tip plastic zone before and after equilibrium correction for mode Ⅰ crack

圖3中:A表示KI+T的裂尖塑性區;B表示Mises應力修正的KI+T裂尖塑性區;C表示應力函數Z計算的裂尖塑性區;D表示Mises應力修正的應力函數Z計算的裂尖塑性區.

從圖3可以看出:高應力水平對塑性區的影響需要修正;低應力水平對塑性區的影響很小,不需要進行塑性區修正.

2　數值方法

為了與理論值進行比較,利用擴展有限元(XFEM)對橋梁鋼裂尖塑性區進行數值計算.

2.1　利用XFEM計算Q345qD裂尖塑性區

XFEM的基本想法是將不連續位移場分解為兩部分:連續部分是標準有限元插值；不連續部分是根據局部單位分解定理[15]增加的部分,并將這些附加信息嵌入有限元插值.這樣的矩陣仍然是稀疏的,仍可以用現有的有限元分析框架處理不連續問題.裂紋采用兩個水平集函數描述[15]:描述裂紋路徑的水平集函數和裂尖位置的水平集函數.附加函數:完全被裂紋分割的單元節點附加采用有向距離函數;裂尖單元節點附加取分支函數[15].為了消除在附加和非附加單元之間存在混合(過渡)單元產生多余項問題,利用內罰函數方法使附加和不附加覆蓋之間強制連續,稱為不連續伽遼金擴展有限元[16],比標準的擴展有限元更精確,收斂速度得到了優化.

利用Abaqus對Q345qD橋梁結構鋼板進行計算,鋼板尺寸為寬1200 mm×長1 600 mm×厚4 mm,中心裂紋長度10 mm,劃分成329 873個C3D8R單元,147 070個節點,裂紋處網格加密尺寸為0.5 mm×0.5 mm,裂紋垂直方向單向加載,應力比σn/Sy=0.8,0.6，0.4.根據應力場得到的裂尖塑性區結果見圖4.

圖4　不同應力比情況下中心裂紋塑性區Fig.4　Central crack plastic zone under different stress ratios

2.2　計算結果比較

根據以上計算的結果,取裂紋長度a=10 mm,裂尖塑性區半徑比較見表1.

表1各種計算方法的塑性半徑比較
Tab.1Comparison of plastic radii of calculation methods mm

計算方法修正前后σn/Sy0.80.60.4KI+T前3.201.800.80后6.403.601.60Westergoard函數前4.032.271.01后8.064.542.02XFEM—4.281.720.70

由表1可知:在低應力比情況下,幾種算法基本接近,在高應力比情況下,Westergoard函數與XFEM法計算結果很接近,說明數值方法是可行的.

從圖1～4可知,裂尖塑性區對稱向前伸展.由于塑性區不能傳遞拉應力,裂尖塑性區的兩個“翅膀”遮蔽了裂尖高應力對裂紋尾跡場的拉伸作用,這有利于裂紋閉合.

3　裂尖塑性區和尾跡場塑性區

裂紋塑性區分為裂尖塑性區(單調塑性區和逆向塑性區)和尾跡場塑性區(遺留在尾跡場的單調塑性變形區和循環塑性區)[17]兩部分,見圖5.

圖5　過載情況下裂紋擴展時的塑性區Fig.5　Plastic zone induced by overload

圖5中：β為最大剪應力平面方位角，數學尖裂紋為70.5°，光滑試件為45°，鈍裂紋為45°～70.5°[17-18]；d為裂紋一個循環的擴展長度.

循環載荷作用下,裂尖出現塑性變形,雖然這是小范圍屈服,但表明當應力從最小應力σmin上升到最大應力σmax的過程中塑性區就產生了.當加載到最大應力σmax時,塑性區的尺寸與應力強度因子Kmax和Sy比值的平方成正比.塑性區在加載方向產生了塑性伸長,相比原來的尺寸有所增大,于是在卸載過程中,這個塑性區受到壓縮荷載作用,出現了反向塑性.反向塑性的出現,要求在相反方向的局部應力增量達到兩倍Sy的量級,這意味著反向塑性區的尺寸應該約為加載過程中所產生的塑性區的1/4.所以反向塑性區比最大應力σmax所產生的塑性區要小很多.在反向塑性區之外,相對大得多的塑性區變形僅發生在σmax時,這稱為單調塑性,而正是這個單調塑性變形引起了材料在加載方向上的永久性伸長.

3.1　長裂紋門檻值的裂尖塑性區半徑

疲勞裂紋萌生和裂紋擴展是循環滑移的結果,循環滑移意味著循環塑性變形(見圖5).在周期加載下不可逆的位錯滑移產生永久滑移帶,表面晶粒擠入或擠出,以最佳取向滑移.疲勞在低于屈服應力的作用下發生,塑性變形限于材料中少量的晶粒.隨著滑移帶增多和應力的增加,在裂尖形成塑性區I型裂紋裂尖塑性區半徑rpl和逆向塑性區半徑rrpl分別為[19]

(10)

根據Hobbacher[20]建議,C和CM結構鋼Paris裂紋擴展區的下確界(SIF門檻值)ΔKth與塑性區尺寸的關系為

(11)

式中:R為加載應力比,R=0.2.

根據劉艷萍等[21]的建議,對Q370qE鋼,

ΔKth=5.556(1-0.825R)1.147.

(12)

對橋梁鋼Q345qD,ΔKth=4.52 MPa·m0.5,計算得到rpl=27.29 μm，rrpl=6.82 μm.

El Haddad等[22]建議使用ΔKth和疲勞極限σf表達虛擬裂紋長度a,即

a=ΔKth/(πσfY),

(13)

式中:Y為幾何形狀系數,取決于裂紋形態，對于穿透裂紋(長度2a)的無限平板,Y=1.0，其它裂紋類型Y值可以從應力強度因子求解.

正交異性鋼橋面板開孔處的常幅疲勞極限為70 MPa[23],根據式(13)可以計算初始裂紋長度a0=1.262 mm,a0/rpl=46>25,符合小范圍屈服假定.

3.2　循環塑性和裂紋提前閉合機理

圖6是利用DG-XFEM計算平面應力和平面應變條件下,循環塑性過程中塑性尾跡場中的材料以不同方式向裂尖轉移的情況.圖中:① 平面應力:頸縮實現材料向裂尖轉移;② 平面應變:塑性區單元剪切、變形、旋轉,體積增大,實現材料向裂尖轉移;③ 單元剪切、變形伸長、旋轉鍥入模型.在每一個載荷循環中都會發生裂紋尖端塑性,所以裂紋擴展時要穿過以前荷載循環所產生的塑性區，因此,塑性變形就被殘留在裂紋尾跡場.塑性尾跡場大部分材料在加載過程中經受了單調塑性變形(見圖5),而沿著裂紋面的一個很小的邊緣則經受了循環塑性變形.塑性尾跡場中的材料在載荷方向上已發生塑性伸長(見圖6),在鄰近裂尖塑性區的裂紋面發生收縮產生壓應力.在卸載過程中,試樣完全卸載之前裂紋卻能夠閉合.這就是塑性誘發的裂紋提前閉合[17].

圖6　塑性尾跡場中材料向裂尖轉移Fig.6　Transfer of material in wake field to crack tip

平面應力情況下,試件表現為側向頸縮實現材料轉移,平面應變則通過單元剪切滑移、變形伸長和旋轉鍥入的方式實現向裂尖的轉移.當裂紋通過塑性區的時候,遺留或填充的材料在裂紋兩側表面上塑性累積,伸長的塑性累積產生壓縮效應的尾跡場,使裂尖提前閉合.

3.3　塑性區對過載循環的影響

在變幅疲勞問題中,一個過載能夠使裂紋尖端張開并且變鈍,這將降低張開應力Sop,并且助長裂紋開始向過載形成新的裂尖塑性區擴展,而且由于在反向塑性區內存在的殘余拉伸應力隨后可能發生某種程度的裂紋擴展加速，殘余拉伸應力促使裂紋尖端張開.在一個小的裂紋長度增量范圍內觀察到了這種緊隨過載后的裂紋擴展加速現象.由于受到因過載在單調塑性區內引起的殘余壓縮應力的作用,裂紋進入過載塑性區后繼續擴展將遇到越來越嚴重的裂紋閉合,于是裂紋擴展速率下降.

這種裂紋塑性誘發的裂紋閉合對過載情況下的裂紋擴展具有明顯的遲滯效應,是由于在先前產生的裂紋尖端塑性區中,已發生塑性伸長的材料殘留在裂紋尾跡上引起的.高峰載荷引起了較大的塑性區,當裂紋尖端進入這些塑性區時就出現更多的裂紋閉合,這已被試驗所證實.在裂紋進一步擴展后,將在裂紋尾跡上留下更多的塑性變形,這使得Sop升高,從而降低有效應力強度因子幅ΔKeff,導致了裂紋擴展遲滯.在通過了裂紋擴展速率的最小值并且相當程度的后續擴展以后,擴展速率恢復到正常的常幅加載水平.在Sop降低到Sop=Smin后,由于在后續的常幅循環中不再發生裂紋閉合,于是裂紋擴展遲滯結束.

4　結　論

(1) 裂尖塑性區尺寸與應力水平的平方成正比,擴展有限元法與Westergoard函數法的計算結果基本一致.

(2) 正交異性鋼橋面板開孔處,材料Q345qD取R=0.2,常幅疲勞極限70 MPa,ΔKth=4.52 MPa·m0.5,計算得到rpl=27.29 μm,rrpl=6.82 μm ,a0=1.262 mm.

(3) 對稱向前伸展的裂尖塑性區形成的遮蔽效應,使裂紋尾跡場避免了裂尖應力場的拉伸作用,有利于裂紋閉合.

(4) DG-XFEM對裂紋表面循環塑性變形進行模擬，表明平面應力情況下,面外以頸縮的方式實現材料往裂尖的轉移;平面應變情況下,材料以剪切變形、旋轉伸長和鍥入實現材料往裂尖轉移.當裂紋通過塑性區的時候,殘留/填充的材料在裂紋表面產生塑性累積,循環塑性區內的單元伸長產生壓縮效應使裂紋提前閉合.

(5) 塑性區對過載循環情況下裂紋擴展滯后有重要影響.

致謝:山區橋梁與隧道工程國家重點實驗室培育基地開放基金資助.