無刷直流電機的分數階滑模控制器設計*

劉 寧，趙鴻菲，趙志誠

（1.山西省自動化研究所，太原 030012；2.太原科技大學電子信息工程學院，太原 030024）

0 引言

無刷直流電機由于結構簡單，能量密度高，具有優良的調速性能，維護簡單方便，工作壽命長，在現代工業領域有著大量的應用［1-2］。在多數應用場合中，傳統控制方法能夠滿足系統的性能要求，但考慮到BLDCM具有時變、多變量耦合等復雜特性，當系統受到外界擾動或系統參數發生變化時，傳統控制方法則難以實現對BLDCM的精確控制和滿足系統高性能的要求。

滑模控制對系統的參數變化以及外界擾動具有良好的魯棒性和完全的自適應性，因此，出現了多種BLDCM滑模控制（Sliding model control，SMC）策略［3-7］。然而，在實際應用中，由于時間和空間滯后開關、系統的慣性和延遲及測量誤差等因素，使變結構控制在滑動模態下伴隨著高頻抖振，嚴重影響了系統的控制性能［8］。為了削弱系統抖振，改進的滑模控制主要包括準滑動模態法［9］、干擾觀測器法、濾波法和高階滑模控制方法［10］等，上述方法在改善系統品質的同時仍然存在著不足，如準滑動模態和干擾觀測器會使系統存在靜態誤差，濾波方法增加了系統穩定性分析的難度，而高階滑模控制算法的實現較為復雜。

因此，本文結合分數階控制［11-14］傳遞能量緩慢，分數階微積分算子的信息記憶和遺傳特性，提出一種分數階滑模控制策略，分別從滑模面和趨近律兩方面進行分數階滑模控制器的設計。首先對整數階滑模面的設計進行改進，通過增加分數階微積分算子，有效削弱滑模控制的抖振作用，又增加了滑模面的自由度。其次采用分數階型快速冪次趨近律來設計控制律，使系統在加快收斂速度的同時又進一步削弱系統抖振，完成分數階速度控制器的設計。利用李雅普諾夫理論和分數階系統穩定性理論進行穩定性分析，仿真結果驗證了所提方法的優越性。

1 BLDCM的數學模型

針對兩相導通星型三相六狀態的BLDCM，在理想狀態下，假設電機的反電動勢波形為電角度的近似梯形波，不計電機損耗及電樞反應對氣隙磁場的影響，三相繞組完全對稱，則BLDCM三相繞組的電壓平衡方程可以表示為：

式中，ua、ub和 uc分別為繞組各相電壓；ia、ib和 ic分別為繞組各相電流；ea、eb和ec分別為各相反電動勢瞬時值；R為繞組相電阻，L、M分別為各相繞組自感和每兩相繞組間的互感；P為微分算子。

因三相繞組為星形聯結，故ia+ib+ic=0，將此式帶入式（1），得到相應的電壓平衡方程為：

BLDCM電磁轉矩方程為：

式中，Te為電機電磁轉矩；ω為電機轉子機械角速度。

BLDCM的運動方程為

式中，TL為負載轉矩；B為粘滯阻尼系數；J為轉動慣量，KT為轉矩系數。

將式（5）代入式（4）可得

式中，a=B/J，b=KT/J，c=TL/J。

考慮參數變化時，式（6）可表示為

式中，Δa，Δb和Δc為電機參數攝動量。

為了使系統輸出的ω快速且平穩地跟蹤上設定值ω*，則需要合理地設計控制器，這里定義速度跟蹤偏差 e（t）=ω*-ω，根據式（7）可得

2 BLDCM分數階滑模控制器設計

2.1 分數階滑模控制器的設計

分數階滑模控制器的設計分為兩部分，即分數階滑模面的選取以及控制律的設計。這里選取BLDCM的速度跟蹤偏差作為變量，設

利用分數階微積分隨時間緩慢傳遞能量及衰減的特性來削弱SMC引起的抖振，用分數階微積分算子代替整數階微積分算子，通過選擇合適的分數階階次，增大了控制系統的靈活性。本文選取的分數階滑模面為

式中，0和t為分數階計算過程的初始時刻與最終時刻；λ為分數階微積分階次；R（）代表λ的實部。

根據式（9）對式（10）進一步計算得

為了使系統的狀態盡快地收斂到滑模面上，文獻［15］提出了一種快速冪次趨近律，根據文獻［16］可知快速冪次趨近律具有二階滑模特性，結合分數階傳遞能量緩慢的特性，對符號函數進行分數階積分作用，弱化符號函數帶來的抖振，設計一種分數階型快速冪次趨近律，分數階快速冪次趨近律具體如下：

式中，k1＞0，k2＞0，是分數階微積分算子，其中-1＜ξ＜0，0＜α＜1，sgn（·）為符號函數，其定義如下：

圖1 符號函數的分數階形式

當系統狀態遠離滑模面時，指數項-k2S起主要作用，加快收斂速度；而在接近滑模面時，項起主要作用。由于對符號函數進行分數階作用，弱化了由于符號函數帶來的不連續作用引起的抖振，且由圖1可知，的階次ξ越高，分數階對符號函數的作用越強。

由式（12）和式（13）可得

再結合式（8）和式（9）可以設計出分數階滑模控制器的控制律為

3 控制性能分析

SMC的系統狀態包括到達段和滑模段兩部分，因此，系統性能的分析也包括兩方面內容：一是滑模逼近條件；二是滑模存在條件。

3.1 滑模逼近條件

采用李雅普諾夫定理來證明分數階滑模控制器的穩定性，定義李雅普諾夫函數為

對式（17）求導，可得

若滿足條件 k1＞0，k2＞0，則

故根據李雅普諾夫穩定性理論，對于任意的S≠0，恒有V˙＜0，系統能由任意初始狀態在有限時間內到達滑模面。

3.2 滑模存在條件

當系統進入滑模段時，系統狀態滿足下列等式：

根據分數階系統穩定性理論［18］，只要滿足條件C＞0，則BLDCM分數階滑模控制系統就是漸近穩定的，且求解式（20）得：

4 仿真結果與分析

為了驗證本文所提分數階滑模控制方法的有效性，將所提控制策略運用到無刷直流電機的調速系統中，利用Matlab軟件進行仿真分析，并與傳統整數階滑模控制進行性能比較。無刷直流電機調速系統結構如圖2所示，電機的主要參數如表1所示。

圖2 BLDCM分數階滑模控制調速系統結構圖

表1 BLDCM參數

首先，進行所提控制策略的抗干擾能力的驗證，選用ITAE和超調量σ%作為系統性能，一般情況下，兩種性能指標值較小表示性能較好。在給定轉速nr=1 000 r/min情況下，在t=0.1 s時，施加負載TL=0.1 N·m，在分數階滑模控制方法下和整數階滑模控制方法下的系統轉速響應曲線如圖3所示，分數階滑模控制器的分數階階次為=0.04，ξ=-0.42，得到的系統性能指標如表2所示。從圖3可知，相比于整數階滑模控制，在分數階滑模控制下無刷直流電機的轉速無超調，對于外部干擾具有較強的抗干擾能力，突加負載后，動態偏差很小，而且分數階滑模控制可以獲得更優異的動態響應速度。

圖3 分數階及整數階滑模控制的速度響應曲線

為了驗證電機參數發生攝動情況下系統的魯棒性，考慮電機的轉動慣量J攝動+30%時，給定轉速nr=1 000 r/min，在 t=0.1 s時，施加負載 TL=0.1 N·m，此時得到分數階滑模控制和整數階滑模控制的系統轉速響應曲線如圖4所示，系統的性能指標如表2所示。由圖4可知，在電機參數發生攝動后，整數階滑模控制下的無刷直流電機轉速的超調量變大；而同樣在電機參數攝動下，對于分數階滑模控制下的無刷直流電機的轉速仍無超調，表2中的性能指標參數同樣表明了分數階控制具有較好的魯棒性。

表2 系統性能指標

圖4 參數攝動下的速度響應曲線

仿真結果驗證了與整數階滑模控制相比，分數階滑模控制主要特性表現在良好的抗干擾性、強魯棒性、控制高精度性［20］，可以實現暫態過程中無超調，具有優良的綜合控制性能。

5 結論

本文提出了一種無刷直流電機調速系統分數階滑模控制策略，分別從滑模面和趨近律兩方面進行分數階滑模控制器的設計，削弱了整數階滑模控制帶來系統抖振的同時提高了系統的控制精度。將所設計的分數階滑模控制器運用到無刷直流電機調速控制系統當中，通過仿真驗證了分數階滑模控制器具有較好的抗負載擾動性能以及對參數攝動具有較強的魯棒性。