疊加原理在力學(xué)中的應(yīng)用

丁學(xué)成　馮曉敏

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院　河北 保定　071000)

宋增云

(陸軍步兵學(xué)院石家莊校區(qū)軍政訓(xùn)練系　河北 石家莊　050083)(收稿日期：2018-01-11)

1　引言

力學(xué)課程是物理學(xué)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生步入大學(xué)后的第一門(mén)物理課程，是大學(xué)物理與中學(xué)物理的銜接課程，具有承上啟下的作用，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)研究物理問(wèn)題的基本方法方面起著重要作用[1]，學(xué)生對(duì)力學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果對(duì)后繼物理課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要. 力學(xué)課程以牛頓定律為綱研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的3種形式. 疊加原理貫穿著整個(gè)力學(xué)課程，包括中學(xué)和大學(xué)力學(xué)兩部分[2,3]. 中學(xué)階段，疊加原理用加法來(lái)實(shí)現(xiàn)；而大學(xué)階段，疊加原理用定積分實(shí)現(xiàn). 通過(guò)加法運(yùn)算和定積分計(jì)算的關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)中學(xué)與大學(xué)力學(xué)知識(shí)的銜接；利用積分思想和方法解決力學(xué)問(wèn)題，即疊加原理思想和方法的運(yùn)用，是力學(xué)課程的一個(gè)重要課題. 因此，對(duì)疊加原理的理解和應(yīng)用在力學(xué)課程中是非常重要的.

本文從疊加原理和定積分的概念出發(fā)，討論了疊加原理與定積分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出了疊加原理的3種表述形式，并舉例說(shuō)明.

2　定積分的概念和疊加原理

定積分的概念可以用數(shù)學(xué)公式[4]表示為

(1)

其中i=1,2,…,n，λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，ξi為每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上的任取一點(diǎn)(xi-1≤ξi≤xi). 從式(1)可以看出，定積分是無(wú)窮多項(xiàng)的和.力學(xué)中研究的問(wèn)題主要是線性問(wèn)題，滿(mǎn)足線性疊加原理，在數(shù)學(xué)物理中疊加原理可以表述為幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果，等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生效果的累加[5].在力學(xué)中疊加原理包含以下3種含義：

(1)力在研究的整個(gè)空間(或整個(gè)時(shí)間間隔)內(nèi)的積累效果等于力在每一個(gè)小的空間(或小的時(shí)間間隔)積累效果的疊加；

(2)兩個(gè)或多個(gè)力(或力矩)的作用效果等于每個(gè)力(或力矩)的作用效果的和；

(3)質(zhì)點(diǎn)系(或剛體)的作用等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)(或質(zhì)元)作用的和.

以上這3層含義中都體現(xiàn)了加和，在大學(xué)階段一般以無(wú)窮多項(xiàng)加和形式出現(xiàn). 疊加原理與定積分概念均體現(xiàn)無(wú)窮多項(xiàng)加和，所以大學(xué)階段用定積分表示疊加原理.

3　疊加原理在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的應(yīng)用

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)是力學(xué)的開(kāi)篇內(nèi)容，是從中學(xué)到大學(xué)過(guò)渡部分. 在利用疊加原理研究力的作用效果時(shí)，中學(xué)階段，物體一般受到兩個(gè)或多個(gè)恒力作用，利用加法就可以實(shí)現(xiàn). 而大學(xué)階段，物體受到的力一般為變力，即F=F(x)或F=F(t)，需要用定積分來(lái)實(shí)現(xiàn). 為實(shí)現(xiàn)順利過(guò)渡，就要讓學(xué)生理解變力作用體現(xiàn)了無(wú)窮多項(xiàng)加和的含義.

在中學(xué)階段，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在n個(gè)恒力連續(xù)作用下做的功A可以用數(shù)學(xué)公式表示為

(2)

其中Fi為質(zhì)點(diǎn)在第i個(gè)小位移Δri范圍內(nèi)受到的力，i=1，2，…，n. 到了大學(xué)階段，力F是位置的函數(shù)，以一維問(wèn)題為例，如F=F(x)，可以把連續(xù)作用的變力F(x)看成多個(gè)恒力的作用，第i個(gè)恒力記作F(ξi)， 作用的空間范圍(小位移)記作Δxi，ξi為每個(gè)小空間范圍[xi-1,xi]上的任取一點(diǎn)(xi-1≤

ξi≤xi)，i=1,2,…,n. 這時(shí)變力F(x)做的功A可以寫(xiě)成

(3)

為了得到精確的恒力，要求力作用空間范圍無(wú)限小，即Δxi→0，則式(3)可以寫(xiě)成

(4)

其中，λ=max {Δx1,Δx2,…,Δxn}，式(4)表示無(wú)窮多項(xiàng)加和，可以寫(xiě)成定積分形式，即

(5)

其中積分上下限a和b分別對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)的始末兩態(tài)的位置，這就是大學(xué)物理力學(xué)中給出的功的積分形式定義式.

4　疊加原理在剛體力學(xué)中的應(yīng)用

剛體力學(xué)是力學(xué)課程的核心內(nèi)容，也是疊加原理應(yīng)用的提升部分. 在這部分疊加原理主要體現(xiàn)無(wú)窮多個(gè)力矩(力)的同時(shí)作用效果，以及部分貢獻(xiàn)與整體效果的關(guān)系. 從以下實(shí)例可以看出疊加原理在剛體力學(xué)中的作用.

如圖1所示，一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的勻質(zhì)細(xì)桿放在摩擦系數(shù)為μ的粗糙水平面上，當(dāng)細(xì)桿繞過(guò)桿一端且垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可以利用疊加原理的第二種含義計(jì)算摩擦力矩.

圖1　摩擦力矩計(jì)算示意圖

設(shè)細(xì)桿繞垂直于圖面的O軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，桿上每一點(diǎn)均受摩擦力，將桿長(zhǎng)分成n等分，第i小份的長(zhǎng)度為Δri，第i小份到軸的距離為ri，所受摩擦力記為ΔFi，根據(jù)力矩的定義M=r×F，可以看出，每一小份受到的摩擦力矩的方向均為垂直圖面指向外，則整根桿受到的摩擦力矩可以近似寫(xiě)成

(6)

當(dāng)Δri→0時(shí)，即ΔFi→0，式(6)變成

(7)

式(7)為摩擦力矩的精確值，具有無(wú)窮多項(xiàng)加和的含義，可以寫(xiě)成如下定積分形式

(8)

疊加原理的第三種含義可以利用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能推導(dǎo)得到剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)能過(guò)程進(jìn)行解釋. 計(jì)算剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能時(shí)，首先將剛體分割成n份，第i份(質(zhì)元)的質(zhì)量和速度分別為mi和vi，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek可以寫(xiě)成

(9)

剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度不同，但轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，即n個(gè)質(zhì)元的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都相同，將轉(zhuǎn)動(dòng)角速度記作ω，則vi=riω. 式(9)可以改寫(xiě)成

(10)

為了得到剛體動(dòng)能Ek的精確結(jié)果， 就要保證每一份內(nèi)部各點(diǎn)的ri值相等， 這就要求Δri→0，即

mi→0，式(10)又可以寫(xiě)成

即

(11)

由于剛體上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相等，所以將求解動(dòng)能時(shí)的積分過(guò)程轉(zhuǎn)化到了利用積分求解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題.剛體角動(dòng)量推導(dǎo)過(guò)程與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的推導(dǎo)過(guò)程相似.

5　結(jié)束語(yǔ)

力學(xué)以牛頓定律為綱研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的3種形式，定積分的思想和方法在力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用是力學(xué)課程一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，它是疊加原理的思想和方法的具體應(yīng)用形式. 利用數(shù)學(xué)上定積分是無(wú)窮多項(xiàng)和的意義，將中學(xué)的力學(xué)問(wèn)題和大學(xué)力學(xué)內(nèi)容銜接起來(lái)，給出了疊加原理在力學(xué)課程中3種含義，并通過(guò)實(shí)例對(duì)3種含義進(jìn)行了解釋.