由相關變化率求相關速度

黃 鵬

(重慶巴蜀常春藤學?！≈貞c　401127)

相關速度就是兩個通過某種方式聯系起來的速度，它們可以通過媒介(輕繩或輕桿等)、直接接觸或不變量相關聯，在題目中往往已知一個速度求另一個速度．在運動學中我們把位移對時間的變化率定義為速度，那么求相關速度也可以理解為已知一個變化率求另一個變化率，這正是數學中的相關變化率問題．

下面分別通過3類不同相關速度的幾個經典例子探討由相關變化率求相關速度的方法，試圖以對比求解的方式加深大家對相關速度的理解．

1　媒介關聯

【例1】如圖1所示，某人在岸邊用輕繩以速度v0勻速拉動小船使之靠岸，當繩與河夾角為θ時，船的速度為多大？

圖1　例1題圖

運動分解法：因輕繩不可拉伸，故人與小船沿繩方向速度相等．如圖2所示，分解船速

v1=v0=vcosθ

則

圖2　船速度分析

由勾股定理，得

x2+h2=L2

兩邊對t求導，有

解得

負號表示x減小速度向左．

小結：對輕繩模型求相關速度運動分解法較為簡潔，但是在實際學習中，學生很難分辨應該分解繩速還是船速，復習時不妨引入相關變化率法進行一題多解，以幫助學生突破該難點，同時發散學生的思維．

【例2】如圖3所示，長20 m的輕桿AB靠在高12 m的墻MN上，接觸點M距B端5 m，沿水平方向以5 m/s速度向右拉A端時，B端向下的速度為多大？

圖3　例2題圖

運動分解法：因輕桿不可拉伸，故A端與B端沿桿方向速度相等．如圖4所示.

圖4　A端速度分解

分解A端的速度

vA1=vB1=vAcosθ

又

則B端沿桿速度vB1=3 m/s．由A端與B端繞M點轉動的角速度相等，又

vB2=ωrBM

且

vA2=ωrAM=vAsinθ=4 m/s

則

將vB1和vB2的豎直分量求和得

vBy=vB1sinθ+vB2cosθ=3.2 m/s

相關變化率法：如圖3所示，MN=h，AB=L，h和L不變；A端到墻角N的距離為x，其變化率為

AM=l

解得

vBy=-3.2 m/s

負號表示高度減小速度向下．

小結：用運動分解法解此例時，易錯判B端速度豎直向下，在求出vB1=3 m/s后，分解B端速度即求出vB=3.75 m/s．其實B端并未受約束，速度并非向下．我們要注意輕桿模型比輕繩模型增加了轉動關聯的可能性，此時利用兩端角速度相等便能得解．而采用相關變化率法不僅可以避開上述陷阱，計算也相對簡便．此類模型在2015年高考全國Ⅱ卷第21題中也出現過．

2　接觸關聯

【例3】如圖5所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點．求：當∠AOP=θ時，AB桿的速度大小．

圖5　例3題圖

運動分解法：因凸輪和桿不分離，故它們沿接觸面法向分速度相等．如圖6所示，沿接觸面法向和切向分解凸輪和桿的速度得vA1=v1，即vAcosθ=v0sinθ，則vA=v0tanθ．

圖6　運動速度分解

小結：采用相關變化率法可以避免繁瑣的速度分解，只要明確已知速度和所求速度分別對應的變化率，列出兩變量的關系式求導即可得解．

【例4】距河岸(看成直線)500 m處有一艘靜止的船，船上的探照燈以轉速n=1 r/min轉動．當光束與岸邊成60°時，光束沿岸邊移動的速率為()

A.52.3 m/sB.69.8 m/s

C.3.14×103m/sD.4.18×103m/s

運動分解法：如圖7所示，∠OAB=60°，燈到岸的距離為OB=L，因光束沿岸運動受轉動約束，故將沿岸速度分解到切向和法向，則切向分速度為vA1=vAsin60°=ωrOA，又rOAsin60°=L且ω=2πn，解得vA=69.8 m/s．

圖7　運動速度分解

小結：本例為簡單的交叉點速度模型，如果能厘清合速度與分速度采用運動分解法將較為快捷；若對求導熟悉采用相關變化率法也很方便．類似模型在2009年清華自招試題中也出現過．

3　流體關聯

【例5】一個底面半徑為0.1 m的直立圓柱形桶以30 L/min的速率排出液體，桶內液面下降的速率是多少?

解析：排出液體處和桶內液面處液體流量相等，則Q=vπr2=30 L/min，得v=0.96 m/min．

【例6】以1 000 cm3/s的速率把空氣沖入氣球，當氣球半徑為8 cm時，半徑增大的速率是多少？

解析：沖氣處和氣體接觸球皮處氣體流量相等，則Q=v·4πr2=1 000cm3/s，解得v=1.24 cm/s．

則

小結：對于流體關聯模型，若能準確把握流量不變，則可選擇直接求解；如果對流量概念理解困難，那么由體積公式求導也不失為一種好的選擇．

綜上，3類相關速度既有共同遵守的一般規律，又有各自的相關特點所決定的特殊規律．相關變化率法就是一種抓住它們共性的方法，它將復雜問題求解簡化為兩個步驟：先借助不變量建立起變量與變量之間的關系方程，再在方程兩邊對t求導數即得相關速度之間的關系，這樣讓學生對相關速度問題求解有章可循．作為數學知識在物理中的應用，相關變化率法不僅可以開闊學生視野、激發學生興趣，還能引導學生從數學本質思考相關速度的普遍規律．現在導數屬于高考數學二級要求的必考內容，而且近幾年已以壓軸題的形式出現，所以在中學物理教學中開展相關變化率法教學是可行而必要的．