高考物理彈簧模型問題解題要點分析

耿玉盛

(揚州市邗江區教研室　江蘇 楊州　225009)

以輕質彈簧為載體，設置復雜的物理情境，力的概念、物體的平衡、牛頓定律的應用及能的轉化與守恒是高考命題的重點．試題突出了對運動和力以及功能關系等知識點的考查；突出了對學生分析、綜合能力等的考查．彈簧問題涉及的物理知識點較廣，有，平衡類問題、運動和力的關系、運動的合成與分解、圓周運動、簡諧運動、功和能量、以及臨界和突變等問題．下面就高考試題中關于彈簧的問題做一些分析．

1　單個物體與彈簧相連在豎直桿上滑動問題

A．彈力對小球先做正功后做負功

B．有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度

C．彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零

D．小球到達N點時的動能等于其在M,N兩點的重力勢能差

圖1　例1題圖

考點分析：本題中考查受力分析、牛頓第二定律的應用、瞬時功率的計算以及系統機械能守恒定律的應用．

解析：由題意可知在運動過程中受力如圖2所示.小球的位移為MN，則從M→A，彈簧處于壓縮態，則彈力做負功，從A→B彈簧從壓縮變為原長，彈力做正功，從B→N彈簧從原長到伸長，彈力做負功，則選項A錯.

圖2　運動過程分析

在A點受力如圖3(a)所示，在B點彈簧處于原長則受力如圖3(b)所示.F合=mg,則即a=g，選項B對.

圖3

在A點時，F彈垂直于桿，則P彈=F彈vcosα=0 ，選項C對.

從M到N小球與彈簧組成的系統機械能守恒，由于M，N兩點彈簧彈力相同，由胡克定律可知，彈簧形變量相同，彈性勢能相等，則選項D對.

點評：本題的分析思路與問題1基本相同，關鍵兩個特殊位置，A處彈簧水平豎直方向只受重力，B處彈簧處于原長狀態，物體只受重力．M，N兩處彈力大小相等彈簧形變量相等從而確定M處彈簧壓縮，N處彈簧伸長；其次是分析出M到N彈簧處于壓縮狀態且壓縮量增大，從A到B壓縮量減小，從B到N彈簧伸長．

【例2】(2015年高考江蘇卷第9題)如圖4所示，輕質彈簧一端固定，另一端與一質量為m，套在粗糙豎直固定桿A處的圓環相連，彈簧水平且處于原長．圓環從A處由靜止開始下滑．經過B處的速度最大．到達C處的速度為零．AC=h. 圓環在C處獲得一豎直向上的速度v，恰好能回到A． 彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g． 則圓環()

A．下滑過程中，加速度一直減小

D．上滑經過B的速度大于下滑經過B的速度

圖4　例2題圖

解析：本題中考查受力分析、牛頓第二定律的應用、動能定理的應用以及功能關系．解答此題的關鍵：第一是特殊位置B處速度最大，學生要能理解從A到C過程中速度最大時，加速度為零，從而確定從A到B先加速，從B到C再減速；第二是向下和向上滑行時物體的受力情況分析，整個過程摩擦力都做負功；第三是從A到C和從C到A彈性勢能的變化量相等．

彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力.當題目中出現彈簧時，要注意彈力的大小與方向時刻要與當時的形變相對應.在題目中一般應從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長位置，現長位置，找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關系，分析形變所對應的彈力大小、方向，以此來分析計算物體運動狀態的可能變化.

2　彈性勢能與動能相互轉化的問題

【例3】(2016年高考全國課標Ⅱ卷第25題)輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l.現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖5所示，物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g．

(1)若P的質量為m，求P到達B點時的速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍．

圖5　例3題圖

考點分析：本題考查了牛頓第二定律、功和功率計算、機械能守恒定律

解析：(1)地面上，Ep重轉化為Ep彈，E機守恒

所以

|ΔEp重|=|ΔEp彈|

5mgl=Ep

此時彈簧長度為l

A→B過程能量守恒，有

Ep=EkB+Q

即

B→D過程動能定理，有

此后，物體做平拋運動

(2)假設物塊質量為m′

則A→B過程能量守恒，有

解得

若要滑上圓弧，則

即

解得

若要滑上圓弧還能沿圓弧滑下，則最高不能超過C點.此時假設恰好到達C點，則根據能量守恒

Ep=Q′+EpC

5mgl=μm′g·4l+m′gl

解得

故若使物塊不超過C點

綜上

點評：本題是弄清兩種情況下彈性勢能的求解，答題主要出現問題：不認真審題，沒有從題干中得到求解出彈簧彈性勢能信息，導致從開始就落入在彈性勢能求解的怪圈中．

在求彈簧的彈力做功時，因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進行計算，也可據動能定理和功能關系：能量轉化和守恒定律求解.同時要注意彈力做功的特點

彈力的功等于彈性勢能增量的負值.彈性勢能的公式

高考不作定量要求，可作定性討論.因此，在求彈力的功或彈性勢能的改變時，一般以能量的轉化與守恒的角度來求解.

3　外力作用下物體與彈簧連接問題

(1)彈簧的勁度系數；

(2)物塊b的加速度；

(3)在物塊a,b分離前外力大小隨時間變化的關系式．

圖6　例4題圖

考點分析：本題考查了胡克定律、共點力作用下物體的平衡、牛頓第二定律的應用、勻變速直線運動規律的應用.

解析：(1)受力分析可得

由胡克定律F=κx的彈簧的勁度系數

(2)設從開始運動到ab分離，經過時間t，位移x，有

對b,在2t時間內有

解得

可知ab分離時彈簧壓縮量

對a，有

κΔx-mgsinθ=ma

解得

(3)對ab整體未分離前

其中

解得

點評：本題的關鍵：第一是要理解a，b分離時a和b之間無相互作用力，且a仍有加速度，這樣對a受力分析列出牛頓第二定律方程；第二是通過兩段時間內的運動分析列出運動學公式，求出a，b剛分離時a，b通過的位移，從而確定此時彈簧的壓縮量．

對于彈簧連接體的“動、靜”結合問題的解答，關鍵是分析物體的受力特點及運動形式．對于勻加速直線運動，需確定運動的初、末狀態所對應彈簧的形變量以及列出動力學方程，有時還需應用有關勻變速直線運動的公式，特別是兩個物體剛要分離的條件是關鍵．

4　物體與輕桿和彈簧相連接問題

【例5】(2017年高考江蘇卷第9題)如圖7所示，3個小球A，B，C的質量均為m，球A與球B，球C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長為L，球B，球C置于水平地面上，用一輕質彈簧連接，彈簧處于原長.現球A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角α由60°變為120°，球A，球B，球C在同一豎直平面內運動，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g.則此下降過程中()

C．彈簧的彈性勢能最大時，球A的加速度方向豎直向下

圖7　例5題圖

考點分析：本題考查了連接體問題中整體法和隔離法的應用、物體的受力分析、平衡問題、牛頓運動定律、機械能守恒定律等．

解析：球A的動能最大時，球A的加速度為零，豎直方向球A，球B，球C三者組成的系統處于平衡狀態，由整體法可知球B，球C所受地面的支持力有：2N=3mg，因此選項B正確．

動能最大之前球A向下加速，有向下的加速度，對球A，球B，球C整體有：2N

球A越過動能最大位置后開始向下減速，彈簧繼續伸長，當球A減速到速度為零時到達最低點，此時球A有向上的加速度，此時球B，球C速度也為零，彈簧伸長量最大，彈性勢能最大，所以選項C錯．

由系統機械能守恒定律可知球A減少的重力勢能等于彈性勢能的增加量．有

Ep=mgL(sin60°-sin30°)

所以選項D錯．

點評：解決本題的關鍵是兩個特殊位置，一是球A的動能最大時，球A處于平衡狀態；二是球A在速度為零時，球A在最低點，球A，球B，球C速度為零．

【例6】(2015年高考江蘇卷第14題)一轉動裝置如圖8所示，4根輕桿OA，OC，AB和CB與兩小球及一小環通過鉸鏈連接，輕桿長均為l,球和環的質量均為m，O端固定在豎直的輕質轉軸上．套在轉

(1)彈簧的勁度系數κ；

(2)AB桿中彈力為零時，裝置轉動的角速度ω0;

圖8　例6題圖

解析：本題以連接體桿、輕彈簧為模型考查了力的合成與分解、受力分析、共點力的平衡、牛頓運動定律，牛頓運動定律的應用、圓周運動及其應用、動能定理及其應用，知識點較多、綜合性較強．第(1)問是連接體的平衡問題，采用整體-隔離法；第(2)問小環受的彈簧彈力與其重力平衡，小球則在重力和OA桿的彈力作用下在水平面內做勻速圓周運動；第(3)問外界對轉動裝置做的功，導致其他能轉化為環增加的重力勢能和小球增加的重力勢能以及增加的動能，彈簧初態伸長的長度和末態縮短的長度相等，彈性勢能相同，所以彈力做功為零．

總之，彈簧類問題綜合性很強，物理情景復雜，物理過程較多，但只要我們仔細分析物理過程，準確地進行受力分析，確定物體或彈簧所處的特出位置(平衡位置、原長處、最大型變位置、物體和彈簧剛好分離出等)的條件，找出每一現象所對應的物理規律，正確判斷各物理量之間的關系，此類問題一定會迎刃而解．我們在實際教學中可以結合相應的問題，采用微專題的形式組織復習、研討，以提升學生解決彈簧問題的能力．