完全非彈性碰撞中的動能損失

董靜雨

(石家莊市第二中學　河北 石家莊　050000)

2017年高考改革，將《物理·選修3-5》列為必考內容，在2018年高考中，與動量相關的知識也有很大可能成為高考熱點．在動量守恒類問題中，碰撞問題，高考只要求一維情況，而在一維碰撞中，又可分為彈性碰撞、非彈性碰撞和完全非彈性碰撞3大類．其中，完全非彈性碰撞為重點問題，其特點是兩物體碰撞后共速且有最大動能損失．

1　完全非彈性碰撞中的動能損失

在一般參考書中，對于完全非彈性碰撞的討論僅限于碰撞過程中動量守恒

m1v1+m2v2=(m1+m2)v共

碰撞過程中動能損失最多

對于以上兩個方程的解，并沒有做過多的說明．

我們在平時做題過程中，會遇到大量的完全非彈性碰撞問題，對于大多數的題目都要求解以上兩個方程．為此，我們不妨先求解以上兩個方程的一般解的形式．

如果令

u=v1-v2

那么在碰撞過程中系統損失的動能為

通過求解發現，碰撞中損失的動能具有相當簡潔的形式．對于這一結果，我們可以從如下角度討論．

2　在質心系中探究動能損失

由于碰撞類問題常忽略外力作用，故在質心參考系中進行討論是非常方便的．

根據柯尼希定理，質點系相對于基本參考系的動能等于質心動能和各質點相對于質心參考系的動能(簡稱相對動能)之和，有

式中M為質點系中各質點質量總和，vc為質心相對于基本參考系的速度，mi為各質點質量，vic為各質點相對于質心的速度．

一維兩體碰撞問題中，設兩質點質量分別為m1和m2，兩質點相對于基本參考系的速度分別為v1和v2，兩質點相對質心的速度分別為v1c和v2c．質點1相對于質點2的相對速度

u=v12=v1-v2=v1c-v2c

因為質心系為零動量參考系，即質心系中質點系的總動量必為零，故有

m1v1c+m2v2c=0

聯立以上兩方程解得

在質心系中，二質點相對于質心系的相對動能為

根據柯尼希定理，二質點系的動能可以寫為質心動能與兩質點在質心系的相對動能之和

3　實例分析

在清楚了完全非彈性碰撞中動能如何損失之后，對于高三復習中遇到的此類問題的求解將帶來便利．碰撞中損失的動能可以轉化為內能：如子彈打木塊、板塊；轉化為勢能：彈簧壓縮到最短(拉伸到最長)，物塊滑上光滑水平面上的非固定光滑斜面到最高點．

【例1】如圖1所示，在光滑的水平面上有一質量為M的長木板，以速度v0向右做勻速直線運動，將質量為m的小鐵塊輕輕放在木板上的A點，這時小鐵塊相對地面速度為零，小鐵塊相對木板向左滑動．由于小鐵塊和木板間有摩擦，最后它們之間相對靜止，已知它們之間的動摩擦因數為μ，問：在全過程中有多少機械能轉化為內能？

解析：小鐵塊放到長木板上后，由于它們之間有摩擦，小鐵塊做加速運動，長木板做減速運動，最后

達到共同速度，一起勻速運動．過程中小鐵塊和長木板動量守恒，最終為共速狀態，故該過程可等效為完全非彈性碰撞，因此全過程所產生的內能為損失的全部相對動能為

圖1　例1題圖

【例2】如圖2所示，質量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上，滑塊的光滑弧面底部與水平面相切，一質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，求小球滑到的最大高度？

圖2　例2題圖

由此求得小球上升的最大高度為

以上關于完全非彈性碰撞模型的分析，從高中物理水平上升到普物水平，有助于師生從理論角度對完全非彈性碰撞過程中能量的損失與轉化的把握，從而在實際解題過程中迅速解決問題．

參 考 文 獻

1舒幼生. 力學(物理類). 北京： 北京大學出版社，2005. 152～153

2程稼夫.力學篇.合肥：中國科學技術大學，2013.197～198