探究物體在線性力作用下的運(yùn)動(dòng)形式

鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽(yáng)　122500)

瞬態(tài)變量的初始值f(0)=x0、穩(wěn)態(tài)值f(∞)=x∞和時(shí)間常數(shù)τ是瞬態(tài)過(guò)程的三要素，解答這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是應(yīng)用物理規(guī)律推導(dǎo)出某個(gè)變量的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用瞬態(tài)過(guò)程的三要素寫(xiě)出微分方程的通解即瞬態(tài)過(guò)程的物理量隨時(shí)間變化的表達(dá)式.下面以物體在線性力作用下的直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題為例進(jìn)行分析.

1　物體只受線性力的作用

這表明，速度變化量跟位移成正比，即速度隨位移均勻變化，把這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為另類(lèi)勻變速運(yùn)動(dòng).

如果物體受到的線性力為動(dòng)力，那么速度隨時(shí)間如何變化呢？下面推導(dǎo)關(guān)系式.

設(shè)速度v=v0+Ax，則加速度

由牛頓第二定律有

由此得微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

圖1

可得x=x0eAt.當(dāng)t=0時(shí)x=x0，不為零.這表明當(dāng)t=0時(shí)物體已經(jīng)發(fā)生了位移，因此運(yùn)動(dòng)物體的計(jì)時(shí)起點(diǎn)與位移起點(diǎn)不重合.如果選擇運(yùn)動(dòng)物體的計(jì)時(shí)起點(diǎn)與位移起點(diǎn)重合，那么v≠Ax，即不存在速度跟位移成正比的運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)関=v0eAt中的初速度v0不能為零，則v=v0+Ax中的v0不能為零，所以v≠Ax.雖然由v=Ax在數(shù)學(xué)上也可推出v=v0eAt，但不合實(shí)際.

圖2

只要物體受到的作用力跟速度成正比，而且是阻力，做減速運(yùn)動(dòng)，就是瞬態(tài)過(guò)程，因此速度隨時(shí)間變化的圖像存在水平漸近線.對(duì)于這種瞬態(tài)過(guò)程，速度隨位移均勻變化，而不是成正比.

【例1】如圖3所示，光滑U型導(dǎo)軌PQMN固定在水平面上，處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌寬度為L(zhǎng)，QM之間接有電阻為R，其余部分電阻不計(jì).一質(zhì)量為m，電阻也為R的金屬棒ab垂直放在導(dǎo)軌上，給棒一個(gè)水平向右的初速度v0使之開(kāi)始滑行，最后停在導(dǎo)軌上，對(duì)此過(guò)程，求：

(1)在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；

(2)通過(guò)電阻R的電荷量和ab棒運(yùn)動(dòng)的位移；

(3)位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式.

圖3　例1題圖

2　物體受恒力與線性阻力共同作用

如果物體同時(shí)受到恒力與線性阻力的作用而做直線運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程為瞬態(tài)過(guò)程.物體受到的合力與速度關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，從數(shù)學(xué)角度而言，仍然屬于線性關(guān)系.

【例2】在無(wú)風(fēng)的情況下，一個(gè)質(zhì)量為m的雨滴由初速度v0開(kāi)始在豎直方向自由下落.受到空氣的阻力與速度的一次方成正比，即f=kv，求其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的速度、加速度和位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是什么？(雨滴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的質(zhì)量變化忽略不計(jì))

解析:雨滴所受重力為恒力F=mg，受空氣阻力為f=kv，由牛頓第二定律列出關(guān)于速度的一階線性微分方程為

變形為

取導(dǎo)數(shù)可得加速度為

速度圖像如圖4(a)所示，加速度圖像如圖4(b)所示，都存在水平漸近線，這種加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程是瞬態(tài)過(guò)程.

圖4

由此可得位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為

考慮到圖2(a)中的凹邊梯形與圖4(a)中的凹邊梯形相似，那么對(duì)于圖4(a)，速度圖線與時(shí)間軸圍成的凸邊梯形面積等于對(duì)應(yīng)的矩形面積S1=v∞t與凹邊梯形面積S2=Δv·τ之差.其中

只要物體受到線性阻力f=kv的作用做減速運(yùn)動(dòng)，或者物體在恒力F和線性阻力f共同作用下做減速直線運(yùn)動(dòng)或加速直線運(yùn)動(dòng)，物體將趨于停止或趨于勻速運(yùn)動(dòng)，有關(guān)物理量隨時(shí)間變化的過(guò)程是瞬態(tài)過(guò)程.