帶有矩形槽滑閥的數學模型分析

陳佳, 袁朝輝, 郭強

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安　710072)

滑閥因其液流換向作用而被廣泛應用于航空、航天及航海中的液壓系統中，其特性直接影響作動器的動態特性。在滑閥生產過程中，由于精度及裝配的原因，會出現閥套與閥芯不同軸問題，從而造成閥芯臺肩與閥套間的側壓力分布不均，嚴重時會出現液壓卡緊現象[1]。通常在閥芯上開均壓槽來減小側壓力，而避免液壓卡緊[2-3]。

閥芯閥套間隙的側壓力分布主要受流場分布影響，閥芯上的均壓槽通過改變間隙結構而改變流場分布，來降低分布不均的側壓力。由于帶有均壓槽的間隙流場復雜，早些的國內外學者將閥芯閥套的間隙流動數學模型簡化為平板縫隙流動的數學模型，并且未考慮均壓槽對側壓力分布的影響[4]。目前，隨著計算流體力學(CFD)的發展，國內外學者均采用CFD方法進行計算分析均壓槽對間隙側壓力的分布影響[5]，如薛紅軍等[6]利用FLUENT分析了間隙中的壓力分布。Qiu Y等[7]采用CFD方法分析了螺旋形均壓槽對間隙側壓力的影響。Hong等[8]利用CFD方法分析了矩形槽與螺旋槽對間隙側壓力分布的不同影響。Yi Ye等[9]利用CFD研究了均壓槽形狀對滑閥流量特性的影響。為了提高執行器的操縱力，Riccardo Amirante等[10]利用CFD方法分析均壓槽對閥芯補償流量的影響。Nayzar Aung等[11]利用CFD方法分析了滑閥的穩態液動力，并采用均壓槽減小了穩態液動力。然而，CFD方法耗時耗力，不能方便地分析閥芯、閥套間隙側壓力的分布，尤其是在均壓槽的優化設計中，需要進行多次計算。

本文針對閥芯、閥套間隙流動的簡化數學模型的不足及CFD計算的耗費，基于圓柱坐標下的N-S方程，推到了帶有矩形槽的閥芯、閥套間隙的無因次側壓力分布，并通過與CFD數值模擬結果對比修正了數學模型，為滑閥的優化設計提供了理論依據。

1　閥芯模型結構

滑閥由閥套和閥芯組成，圖1為帶有矩形槽的閥芯模型，實際的閥芯上有多個臺肩，本章主要研究閥芯臺肩和閥套間隙間的壓力分布，因此將閥芯簡化為一個臺肩，簡化后的計算模型如圖1所示。

圖1　滑閥模型

圖1中的rsl為閥套的內徑,rsp為閥芯的外徑。取閥芯的中心為坐標原點,α為閥芯和閥套的軸線夾角。l1為矩形槽和閥芯臺肩邊的距離,l2為矩形槽的寬度,l3為矩形槽間的距離,hz為矩形槽的深度。

2　閥芯閥套間隙壓力分布的數學模型

閥套和閥芯都為圓柱體,故采用圓柱坐標系分析。假設流體不可壓縮,則圓柱坐標系下的納維-斯托克斯方程為:

(1)

式中

實際滑閥中的閥芯是運動的,閥套是靜止的,即閥芯、閥套間會有z軸上的相對運動,為了便于計算,這里假設閥芯靜止,閥套以速度u沿z軸正向運動。由于閥芯、閥套的軸線夾角α較小,間隙中的液體近似以平行z軸的速度運動,于是有

(2)

則(1)式變為

(3)

積分可得vz的通解為

(4)

式中,μ為流體的動力黏度,r為以o為圓心的半徑,C1,C2為常數

邊界條件一為:當r=rsl時,

vz=u

(5)

邊界條件二為:當r=rz時,

vz=0

(6)

(7)

為了便于計算,將lnr線性化為lnr=βr,并將(5)式、(6)式代入(4)式中,可得到常數項為

圖2　滑閥剖面圖

將C1,C2代入(4)式中,可得到vz為

(8)

圖3　流量微元面積

由(8)式可知,vz中未含β,則前述的線性化處理不會影響計算結果。

滑閥剖面中,閥芯剖面和閥套內環剖面間的微小環形陰影部分的面積如圖3,其面積大小為dS=rdθdr,則流過微小環形陰影截面的流量Q為

dQ=vzdS=vzrdθdr

(9)

閥芯、閥套的間隙范圍為rz→rsl,0→2π,對(9)式求雙重積分為

(10)

(11)

將(8)式、(11)式代入(10)式中,并求定積分得到

(12)

由(12)式可得到壓強沿z軸的變化率為

(13)

式中

γ=

對(13)式求積分為

(14)

式中

根據邊界條件z=l,P=P2,z=-l,P=P1,令ΔP=P1-P2,由流體連續性可知C3與Q為

(15)

將(15)式代入到(14)式中,得到閥芯、閥套間隙的壓強隨z軸分布為

(16)

上式f1(z)、f2(z)中hz的取值與z軸坐標、矩形槽的參數有關。當矩形槽的槽數為偶數時,即n=2,4,6,8,10,…,令m=1,2,3,…,n/2,hz的取值為:

(17)

當矩形槽的槽數為奇數時,即n=1,3,5,7,9,…,令m=1,2,3,…,(n+1)/2,hz的取值為:

(18)

以矩形槽的槽數為6,即n=6,舉例驗證滑閥間隙中壓力分布的數學模型,模型參數如表1所示。對壓力及z軸都作無因次處理,即

(19)

(20)

在Matlab中對壓力分布的數學模型進行編程仿真,得到間隙的無因次壓力隨z軸分布的曲線如圖4所示。

圖4　滑閥間隙無因次壓力分布

3　閥芯閥套間隙壓力分布的數值模擬

壓力分布的數值模擬是對流體動力學的控制方程進行離散化,進而求得流場內各離散點壓力特性的數值解。數值模擬中用到的流體動力學控制方程為:連續性方程、動量方程。

前述的壓力分布數學模型中假設流體為不可壓

縮、有黏、無重力,在數值模擬中也作相同的假設,則連續性方程、動量方程為

通過離散化方法求解方程(22)～(24)。對于流體流動問題,最行之有效的求解方法是有限體積法。

在CATIA中建立閥芯的三維數值模型如圖5所示,閥芯上的矩形槽參數與前述的數學模型結構參數一致。在Gambit中對閥芯三維模型進行網格劃分,采用四邊形網格,其局部網格劃分如圖6所示。

閥套壁面設置為速度為u的移動壁面,閥芯壁面設置為靜態無滑移,兩端壓力大小與表1中一致,設定收斂精度為10-6可滿足計算精度。由于要和數學模型作對比,在數值解中也進行相同的無因次處理,仿真結果如圖7所示。

圖5　閥芯三維數值模型　圖6　閥芯的網格劃分圖7　間隙壓力分布的數值模擬

4　滑閥間隙壓力分布解析解模型修正

在不同壓差條件下，滑閥間隙無因次壓力分布的解析解與CFD得到的數值解對比曲線如圖8所示，盡管解析解模型較接近于數值解模型，但仍存在一定的差異，采用線性擬合方式進行解析解模型修正，修正后的模型為

(25)

圖8　解析解與數值解　　圖9　修正解析解與數值解　　　壓力分布對比　　　壓力分布對比

修正后的數學模型與數值模擬的結果對比如圖9所示，仿真結果顯示修正后的解析解模型能夠較好地模擬滑閥間隙的無因次壓力分布。

5　結　論

滑閥中閥芯上的均壓槽可減小閥芯閥套間隙中分布不均的側壓力，本文基于圓柱坐標系下的納維-斯托克斯方程，推導了帶有矩形槽的間隙無因次側壓力分布的數學模型，通過CFD數值模擬作對比，修正了該數學模型。仿真結果顯示：修正后的數學模型可較好地模擬滑閥間隙的無因次側壓力分布，其可為均壓槽的優化設計提供理論依據，且節省了數值模擬的計算資源。