一類脈沖種群模型漸近概周期解的研究

王麗

(西北工業大學 理學院, 陜西 西安　710072)

脈沖微分方程對在瞬時干擾下狀態發生突然變化的演變過程提供了一種自然的描述，關于該類方程的基本理論可參考文獻[1]。周期解理論是脈沖微分方程理論中的重要分支[2]，Mawhin延拓定理則是研究脈沖微分方程周期解存在性的一種有利工具[3-4]。事實上，Mawhin延拓定理也常被用來研究其它類型微分方程周期解的存在性，例如：泛函微分方程[5]，Lienard型方程[6]，P-Laplacian方程[7]等等，限于篇幅，此處不一一贅述。

2008年，謝毅、李憲高教授在文獻[8]中首次利用Mawhin延拓定理證明了一類單種群模型的概周期解的存在性。隨后,J O Alzabut等人延續文獻[8]的思路,利用Mawhin延拓定理證明了一類Logarithmic 種群模型的概周期解的存在性[9]。本文作者在文獻[10]中通過研究逐段連續的概周期函數性質,將Mawhin延拓定理應用到了證明帶脈沖的一類種群模型的概周期解的存在性上。到目前為止,還未發現有文獻利用Mawhin延拓定理研究方程的漸近概周期解的存在性。事實上,漸近概周期作為概周期的一種推廣,具有重要的實際意義及研究價值[11],鑒于此,本文將利用Mawhin延拓定理研究一類脈沖擾動下的種群模型的嚴格正的漸近概周期解的存在性。顯然,本文具有一定的創新性。除此之外,本文結論部分也說明了,本文的主要結果是已有相關結果的推廣。

1　預備知識

在這一節我們將給出一些預備知識,為后面主要結論的證明做準備。首先要注意到的是,脈沖方程的解是分段連續的,所以,區別于Bohr意義下連續的漸近概周期函數[12](這類函數的全體組成的空間用AAP(R)表示),本文首先給出分段連續的漸近概周期函數定義,令PC(R,R)表示全體從R到R的具有第一類間斷點tk并在tk處左連續的分段連續函數全體。

注1分段連續的漸近概周期函數定義2是Bohr意義下連續的漸近概周期函數定義[12]的推廣。

本文主要研究一類帶脈沖的種群模型：

(1)

進一步的,假設方程(1)中參數滿足如下條件:

(H1)a(·),b(·),d(·)∈AAP(R),τ(·)∈AP(R),b(·),d(·)的概周期部分b1(·),d1(·)非負,{ck}是概周期序列,{tk} 是一致概周期序列;

在開始研究方程(1)的嚴格正的漸近概周期解的存在性之前,我們首先考慮方程:

注意到條件(H2),類似于文獻[10]可知,方程(1)和(2)的解有如下關系:

令y(t)=ex(t),則x(t)滿足方程:

顯然,若方程(3)存在AAP(R)解,則方程(2)存在嚴格正的AAP(R)解。結合引理3可知,為了證明方程(1)存在嚴格正的漸近概周期解,只需證明方程(3)的Bohr意義下的漸近概周期解的存在性。本文用到的方法Mawhin延拓定理可參見文獻[4-10,13],為節省篇幅,此處省略不提。

2　論證過程

在這一節,我們將利用Mawhin延拓定理證明方程(3)的漸近概周期解的存在性。為此,我們首先令:

此處,α1,α,M是給定的正常數,F(·)是給定的概周期函數,令X=X1?X2,Z=Z1?Z2,對任意的φ∈XorZ,定義||φ||=supt∈R|φ(t)|,則有:

引理4X和Z均是Banach空間。

接下來我們定義一些Mawhin延拓定理中涉及的算子,令:

則,我們有:

引理5L是指標為0的Fredholm算子且P,Q連續,ImL=KerQ,ImP=KerL。

那么

接下來,我們給出本文的主要結論:

定理6假設條件(H1)～(H3)成立,那么,方程(1)存在嚴格正的漸近概周期解。

證明:從上面的分析可知,為了證明方程(1)存在嚴格正的漸近概周期解,只需要證明方程(3)的Bohr意義下的漸近概周期解的存在性。定義:J:ImQ→KerL是個恒等算子,為了應用Mawhin延拓定理證明方程(3)的Bohr意義下的漸近概周期解的存在性,我們接下來需要尋找合適的延拓定理中提及的有界開子集Ω。對任意λ∈(0,1),方程Lx=λNx意味著:

(4)

如果x(·)是方程(4)的解,我們對方程(4)兩邊取平均極限值,可得:

因此

從而可得

由此可以斷言,一定?t*∈R, s.t.|x(t*)|

注意到x(·)是方程的解,其概周期部分記為x1(·)滿足方程:

基于上面的不等式,我們立刻可得:

取

類似[8,10]可知此時Ω滿足Mawhin延拓定理的所有條件,根據該定理可知方程(3)存在漸近概周期解,從而方程(1)存在嚴格正的漸近概周期解。證畢。

3　結　論

Mawhin延拓定理之前被廣泛用于證明各類微分周期解或概周期解的存在性,本文用該定理證明了一類脈沖種群模型的漸近概周期解的存在性,因此,本文具一定的創新性。

利用Mawhin延拓定理,文獻[8]研究了當ck=0時方程(1)的Bohr意義下的概周期解的存在性;文獻[10]研究了方程(1)的概周期解的存在性。本文研究了方程(1)的漸近概周期解的存在性,根據文獻[12]可知,此時方程一定存在概周期解,故本文的結論推廣了已有文獻的結論。