太陽光壓作用下空間太陽能電站的動力學響應

徐方暖, 鄧子辰, 王博, 魏乙, 李慶軍

(1．西北工業大學工程力學系，陜西西安710072; 2．錢學森空間技術實驗室，北京100094;3．西北工業大學應用數學系，陜西西安710072)

空間的太陽能能量密度比地面高，且不受晝夜、季節、天氣等影響[1-2]，因而空間太陽能電站自提出以來受到了美國國家航空航天局、美國能源部的高度重視，第一個提出空間太陽能電站的概念：1979 SPS基準系統[3]。隨后，世界各國相繼提出了集成對稱聚光系統[4]、Abacus空間太陽能電站[4]、太陽帆塔[5]、繩系空間太陽能電站[6]、編隊飛行空間太陽能電站[7]、多旋轉關節空間太陽能電站[8]等概念。對于結構尺寸在千米量級的繩系空間太陽能電站，其動力學與控制是非常具有挑戰性的問題。2003年Fujii等[9]將太陽能電池板看作剛體，平臺看作質點，忽略繩子的質量和彈性，研究了繩系空間太陽能電站的姿態運動和結構振動的控制算法。Zhou和Fan[10]針對繩系空間太陽能電站的試驗模型，將太陽能電池板看作歐拉-伯努利梁，忽略繩子的質量和彈性，研究了系統在軌道平面內的單軸轉動，并采用主動姿態調整和主動振動抑制相結合的復合控制方法，實現系統姿態的快速大角度機動。周荻和范繼祥[11-12]將太陽能電池板看作板，通過4根繩子跟平臺連接，建立了系統的動力學模型，研究了系統單軸大角度機動過程中的姿態控制和通過繩子張力進行結構振動抑制的問題。Fan等[13]和Fujii等[14]將太陽能電池板簡化為梁，進一步通過地面實驗驗證了采用調整繩子張力的方式進行太陽能電池板主動振動控制的可行性。Senda和Goto[15]將繩子看作彈簧，平臺和太陽能帆板看作剛體，建立了繩系空間太陽能電站的動力學模型，并設計了采用地磁場進行姿態控制的控制算法。Ishimura和Higuchi[16]將平臺看作質點，將繩子看作彈簧，太陽能電池板看作板，研究了熱致變形對繩系空間太陽能電站動力學響應的影響。魏乙等[17]采用絕對節點坐標法，建立了繩系空間太陽能電站的動力學模型，研究了軌道高度、繩長以及系統質量對太陽能電池板振動特性的影響。絕對節點坐標法能精確描述變形體的大變形[18]，但文獻[17]在建立模型時假設系統只在平衡點附近運動，因而忽略了繩子的質量和彈性，從而無法準確給出系統的動力學特性。上述文獻中均沒有研究系統在太陽光壓作用下的動力學特性。

本文在文獻[17]的基礎上，進一步考慮繩子的彈性變形，研究系統在太陽光壓作用下的姿態和結構振動響應。在數值算法方面，本文采用辛Runge-Kutta方法進行求解，從而保證系統長時間數值仿真的穩定性[21-22]。

1　動力學模型

為了便于研究繩系空間太陽能電站的姿態運動和結構振動，只考慮系統在軌道平面內的運動情況，將地球看作勻質球體。如圖1所示，將平臺看作質點(點P),將太陽能電池板看作Euler-Bernoulli梁(梁AB),將繩子看作彈簧。點C為梁AB的中點。建立慣性坐標系Oxy,其中坐標原點O與地心重合,Ox軸與Oy軸在軌道平面內。系統的參數和繩系空間太陽能電站的設計參數,與文獻[6,16]中的數據一致。

圖1　簡化模型

r(xe)=[x(xe),y(xe)]T=S(xe)ei

(1)

式中，xe∈[0,le]為梁單元內的局部坐標,ei為第i個梁單元的節點坐標,S(xe)為形函數在xe點處的取值,其具體形式可參考文獻[18]。系統的總動能可以表示為

(2)

式中，[xP,yP]T為質點的絕對坐標,M是對稱的系統質量矩陣,。由于本文考慮的是Euler-Bernoulli梁,第i個梁單元的彈性勢能可以表示為[18]

(3)

式中，ul和ut分別為梁的軸向變形和橫向變形,Ui,elast具體表達式見文獻[18]。第i個梁單元的萬有引力勢能為[17]

(4)

由于系統的動能是廣義速度(廣義坐標對時間的導數)的二次型,在這種情況下,系統的Hamilton函數可表示為[19]

(5)

引入廣義動量

(6)

系統的動力學方程為[20]

(7)

方程(7)是一階常微分方程組,可直接采用經典四級四階Runge-Kutta方法或者二級四階辛Runge-Kutta方法[21,23]進行數值求解。

2　太陽光壓攝動

繩系空間太陽能電站在軌道上運行時,會受到多種空間攝動的影響,本文研究太陽光壓攝動引起的姿態和結構振動動力學響應。太陽光壓在一個平面上產生的作用力為[24]

(8)

式中，PSRP=4.5×10-6N/m2為地球附近的太陽光壓常數,A為該平面的受照面積,n為指向平面里面的法向量,usolar為太陽光的方向,ρa,ρs和ρd分別為平面的吸收率、鏡面反射率和漫反射率,且有ρa+ρs+ρd=1。

通過公式(8)計算得到一個平面的太陽光壓力,但對于繩系空間太陽能電站的簡化模型,太陽光壓力應為分布力。將梁單元看作是一個平面,從而可以計算梁單元的太陽光壓力,再將梁單元所受的太陽光壓力看作是均勻分布力,從而可以通過虛功原理得到相應的廣義力表達式[25]

(9)

3　有效性驗證

為了研究梁的振動情況,建立如圖2所示的連體坐標系Pξζ,ζ方向為CP方向。在后文的算例以及數值仿真分析中,δ表示梁AB在ζ方向的位移,即δ=ζ-lPC。

圖2　局部坐標系的定義

為了驗證本文模型的正確性,將本文的模型參數改為與文獻[17]一致。文獻[17]中將繩子簡化為等距約束,即繩子的彈性系數認為是無限大;本文的模型中繩子彈性系數設置成非常大的數,從而使繩子的變形量很小。圖3是梁中點的撓度隨時間變化的曲線,本文的結果與文獻[17]中圖11a)所示的結果相符,驗證了本文動力學模型與數值算法的正確性。

圖3　梁中點撓度

圖4展示了采用辛Runge-Kutta方法進行數值仿真時的彈簧變形情況,該方法計算的彈簧變形量保持在一定的范圍內振動,符合本文模型沒有阻尼的情況;而且可以看出辛Runge-Kutta方法的數值仿真結果能保持原系統的固有特性,而Runge-Kutta方法由于存在算法的耗散,導致仿真結果出現與系統固有特性相比產生偏差。因此,本文采用辛Runge-Kutta方法進行數值仿真。

圖4　辛Runge-Kutta方法計算的彈簧變形量

4　數值仿真分析

本小節分析繩系空間太陽能電站的動力學特性,除特殊說明外,系統的參數均為文獻[6,16]中所示的值。初始時刻,繩系空間太陽能電站在地球靜止軌道運行,PC指向地面,梁處于未變形狀態,繩子長度處于原始長度狀態。

4.1　收斂性分析

分別將模型取不同數目的單元,研究梁的振動隨時間變化曲線。

圖5　梁中點的變形隨時間變化曲線

通過圖5可知,隨著單元數目的增加,梁的剛度有小幅度減小,當單元數目到達20時,可以認為梁的動力學響應基本收斂了。所以在后續的動力學分析中,梁單元數目均為20。

4.2　系統姿態的動力學響應

為了研究太陽光壓對系統姿態的影響,將圖6中的α定義為系統的姿態。由于太陽光壓的壓力中心與系統的質心不重合,所以太陽光壓力會產生一個太陽光壓力矩,對系統的姿態產生影響。為了研究不同振幅的系統振動下太陽光壓對姿態的影響,本文考慮4種情形,分別對應于不同的梁抗彎剛度和是否考慮太陽光壓,仿真結果如圖7和圖8所示。情形一和情形二的截面二次矩取為設計值,而情形三和情形四的截面二次矩取為設計值的10倍。

圖6　系統姿態角的定度(點M為系統的質心)

圖7　4種情形下的系統姿態角

圖8　不同情形下的系統姿態角之差

根據仿真結果可知,結構振動和太陽光壓都對系統的姿態產生較大的影響。從情形一的姿態響應曲線中可看出,在一天時間內,梁的振動使系統的姿態產生了振幅約為0.01 rad的振動。從情形二中可以看出,太陽光壓對系統的姿態響應造成了明顯影響。對比情形三和情形一可知,當梁的截面二次矩增加10倍時,系統的姿態響應幅值相應地減小約10倍。

在以上4種情形中,系統的結構振動都是無法避免的,情形一和情形二的結構振動幅值可達到約200 m。即使在梁抗彎剛度更大的情形三和情形四下,系統的振動幅值也可達到20 m。為了進一步研究在不同的梁抗彎剛度條件下,太陽光壓對系統姿態產生的影響,將情形二和情形一的結果作差,情形四和情形三的結果作差,得到的結果可認為是太陽光壓單獨對系統姿態的影響,如圖8所示。根據圖8可知,在不同的梁抗彎剛度條件下,太陽光壓對系統帶來的影響是不同的,這也體現了繩系空間太陽能電站復雜的耦合動力學特性。

4.3　太陽光壓對梁振動的影響

梁在重力梯度的作用下會發生振動,同樣,梁在太陽光壓的作用下也會發生振動。圖9展示了情形一和情形二的梁變形情況,圖10為圖9的局部放大圖。根據圖9和圖10可知,太陽光壓對梁振動造成的影響非常小,在太陽光壓作用下梁振動的振幅約增加了0.54%,幾乎可以忽略不計。

圖9　梁中點的變形

圖10　圖9的局部放大圖

系統的重力梯度約為150 N，在系統姿態角度始終較小的情況下令繩子產生約150 N的拉力。根據公式(8)算出的太陽光壓力峰值約為20 N。太陽帆板通過繩子將太陽光壓力傳達給平臺，從而使整個系統產生一個光壓加速度，此時繩子上產生的拉力約為太陽光壓力的1/20(因為平臺質量占系統總質量的1/20)。通過上述分析可知，太陽光壓力使繩子產生峰值約1 N的拉力，而重力梯度使繩子產生約150 N的拉力，此比值與太陽光壓使梁振動產生的額外振幅比值相一致。

5　結　論

本文采用絕對節點坐標法建立了繩系空間太陽能電站的動力學模型，研究了太陽光壓對系統姿態和系統結構振動的影響。研究結果表明，跟傳統的Runge-Kutta方法相比，辛Runge-Kutta方法在數值仿真中能保持系統的振動特性，更好地反映Hamilton動力學系統的本質動力學特性。太陽光壓和結構振動均會造成系統姿態產生幅值為0.01 rad左右的振蕩。結構振動的幅值減小10倍時，結構振動引起的姿態振蕩幅值相應地減小10倍左右。在不同的結構剛度情況下，太陽光壓對系統姿態造成的影響略有不同。太陽光壓對結構振動的影響幾乎可以忽略不計，一方面是由于太陽光壓力的峰值比重力梯度力小得多，另一方面是由于繩系空間太陽能電站平臺的質量比太陽能電池板的質量小得多。