泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用

潘澤源

（江蘇省宜興中學，江蘇 宜興 214206）

0 引言

泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用，為實際的誤差分析提供了新方法與新理論，可以有效的滿足當前時代的需求，具有較強的應用價值。例如，在機器人的手臂設計過程中，設計人員除了對相關的桿件、關節等原理與構造進行設計外，還需要結合設計的實際需求，對各桿件與關節的精度進行測量，以滿足實際的設計需求。

1 泛灰數學分析

1.1 泛灰數學的發展

區間分析又被人們稱為區間數學，其最早的應用目的是對相關的誤差進行分析研究，以保證明確其誤差的大小，在實際的運算過程中，相同的自變量受運算次序不同的影響，可能會導致產生不同的擴展區間。例如，張紀元在對機械誤差進行分析時，靈活利用三角函數的單調性，通過擴展進行區間法分析，但在實際的分析過程中，利用區間分析法可能出現誤差區間出現超差情況，誤差區間范圍過大，直接影響分析結果。基于此，通過不斷的完善與創新，灰色系統理論概念被提出，標志著一門嶄新的數學研究領域的發展，同時，相對應的“灰集合”概念逐漸衍生，區間灰數的運算法則逐漸明確。在實際的運算過程中，灰運算與區間數學具有相同的特性，部分代數性質難以表現，因此，泛灰數學概念逐漸提出，為機器人機構的誤差分析奠定良好的基礎。

1.2 泛灰數學概念

當前，人們將泛灰數學定義為：設論域U=R,R為實數集，則將R上的泛灰集成為泛灰數集，并將其有效的記為 g(R)，同時，稱 g(R)中的相關元素為灰數集，記作：g=(x,?μ1,μ2?）,x∈R,μ,μ∈R①，在①中，x 值代表觀測值，?μ,μ? 代表灰信息部， 并將 g(0)=(0,?0,0?)稱為 g(R)中的零元，將 g(1)=(1,?1,1?)稱為g(R)中的單位元。同時，如果觀測部為零，則將灰信息部中的不為零的泛灰數集記為 g(0)′,并稱為亞零元，并且，將零元與亞零元統稱為泛零元，記為 g(0)′′。以泛灰數學的概念為基礎，逐漸對泛灰的除法與加法運算進行定義，同時，利用加法運算定義與負元定義對減法進行定義，利用相關的逆元定義進行除法運算定義，同時，明確各運算定義的規律性，例如，泛灰加法運算定律可以滿足交換律與結合律，具有封閉性特點，且存在唯一的零元；泛灰乘法運算定律與加法定律相同，同時還可以滿足分配率。

1.3 區間灰數與泛灰數的轉化分析

以泛灰數的定義為基礎，在實際的運算應用過程中，可以將實際的泛灰數中(x,?μ1,μ2?)中的 μ看作為數值x的最高或者最低的信任程度，以實際的數字為例，例如，μ1=0.5，μ2=0.7，則可以明確 x的可信值在0.5x與0.7x之間，并用區間數進行合理的表示，表示為[0.5x，0.7x]。同時，應對 μ的范圍進行有效的限制，μ∈[-1,1]。 同時，當 A[a,b]∈I(R)時，其數值均可以利用合理的泛灰數進行表示：(x,?μ,μ?)表示，例如，以實際的數值為例，主要分為四種：

第 一種，當 a＞0 時,存在[a,b]=(b,?a/b,1?)，如實際數值的區間灰數：[1,2]=(2,?0.5,1?)。

第二種，當 ab＜0時,并且 max{a,b}=b時,存在[a,b]=(b,?a/b,1?)情況，如實際的數值區間灰數：[-1,2],由此可知，此時的 a=-1,b=2,而 max{-1,2}=2,ab=-2,則 可 以 得 出[-1,2]=(2,?0.5,1?)。

第三種，當 ab＜0時,并且 max{a,b}=a時,存在[a,b]=(a,?b/a,1?)情況，如實際的數值區間灰數：[-2,1],由此可知，此時的 a=-2,b=1,而 max{-2,1}=2,ab=-2＜0,則可以 得 出[-2,1]=(-2,?-0.5,1?)。

第四種，當 b＜0 時,存在[a,b]=(a,?b/a,1?)，入實際的數值區間灰數：[-2,-1],由此可知，此時的a=-2,b=-1＜0,則可以得 出[-2,-1]=(-2,?-0.5,1?)。

通過上述的泛灰數與區間灰數的轉化可知，以相關的函數為基礎，在實際的運算過程中，只要將區間灰數進行合理的輸入，利用該函數就可以求出相對應的泛灰數，以滿足實際的運算需求。

1.4 對泛灰函數的區間分析功能進行分析

泛灰數的實際應用，屬于實數的推廣，在推廣應用過程中，泛灰函數保留了相關的函數性質，與區間數學相對比，具有明顯的優勢，例如，具備區間分析功能優勢，利用該功能優勢，解決運算過程中遇到的問題。

2 泛灰運算軟件開發分析

MATLAB屬于數學軟件，以矩陣運算的快速解釋程序為核心，在實際的應用過程中，利用交互的方式，對用戶的各種指令進行合理的分析，并輸出明確的結果。泛灰運算軟件的應用，為實際的分析提供了良好的集成開放環境，用戶在使用過程中，可以進行大量的系統命令，例如，命令繪圖、進行數值運算等。實際上，MATLAB提供了數量較多的工具箱，幫助工作人員進行合理的問題處理，并利用其解決實際問題，靈活利用技術資源，以滿足當前的實際需求。因此，以現階段的泛灰數學為原理，以實際的，MATLAB為基礎，進行技術開發，開發出符合當前需求的泛灰運算工具箱。在實際的技術開發過程中，其主要的開發思維是以泛灰運算、區間灰數以及泛灰轉化為依據，進行合理的轉化，編制成完善的M文件，并建立合理的子文件，開發出合理的泛灰運算軟件，以滿足當前實際的需求。

3 泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用

以PUMA型機器人為基礎，進行合理的誤差設計分析，在實際的設計過程中，首先要求機器人設計任務符合執行功能的精度要求，利用合理的尺寸鏈達到精度目標，以此來保證機器人的精度符合標準。

3.1 明確機器人機構的泛灰誤差分析整體步驟

3.1.1 方程建立

在實際的分析過程中，需要分析人員結合實際研究情況建立完善的位置方程，設方程為f(q,l,x)=0,并且變化矩陣d(q,l,x)=0,在方程中，q為輸入運動參數已知量，l則為機構參數；x為實際的待定輸出構件位置參數數值， 其中，q0、l0以及x0均為理想狀態下的機構位置數值。

3.1.2 泛灰的拓展

在運算分析過程中，將方程中的三個數值分別進行假設，例如，設方程 f中 q,l,x分別為 A,X,Y,由此可知向量值函數 f1（q,l）在 A、X中的泛灰拓展數值為 F1(A,X,Y)=0，并且其變換矩陣為 D(A,X,Y),因此，利用合理的泛灰軟件進行合理的運算，并求出相對應的解。

3.2 對PUMA機器人機構的誤差進行分析

3.2.1 誤差分析

在PUMA機器人機構中，利用現階段的矩陣描述方法進行合理的變換矩建立，首先將機器人的桿件的進行合理的劃分，并按照順序進行排序，以第一個桿件為基礎，記為i,并以此類推。 此時可以有效的得出 Ai的數值：[cosθisinθicosαisinθisinαiαicosθi]， [sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在 數 值 中 ，θi主 要 是 指 xi圍 繞 zi軸 進行合理的旋轉，當旋轉到一定的角度時，xi與xi+1重合時旋轉的總角度值。di是指按照zi的方向進行合理的旋轉， 代表從i標架原點Oi至zi與xi+1的交點間的距角度數值，而ai是指按照xi方向進行合理的旋轉，代表zi與xi+1的交點i的標架原點Oi的距角數值，αi是指繞xi軸進行合理的旋轉，從zi到zi+1的角度數值，在實際的旋轉過程中，其角度的方向依據右手定則原則進行規定。在實際的運算過程中，利用上述Ai的數值進行求解，有效的求出機器人手臂的變換矩陣數值，并將其記為Tn,由此可知，案例PUMA機器人的手臂變換矩陣數值等于 T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001],并且由此可知，其矩陣的數值為[nxOxax][nyoyay][nzozaz]，該數據值表示為機器人手臂末端的支架的姿勢，而實際的向量數值[px][py][pz]則表示機器人手臂末端標架原點的坐標數值，通過對機器人手臂變換矩陣數值進行有效的計算，明確相關的數據均為泛灰數，并且，將計算過程中涉及的常數也作為泛灰數值，通常情況下，作為一種特殊的泛灰數值處理。

3.2.2 參數分析

實際上，PUMA機器人存在大量的基本參數，其主要參數包括輸入參數矩陣、機器人姿勢誤差以及機器人手臂末端標架的位置參數等。在計算過程中，計算人員通常將上述參數表示為區間參數，通過相應的軟件程序，進行自動的計算與輸入，完成輸入后，輸出實際的參數值，并進行合理的表示。上述過程的主要目的是對實際存在的單獨誤差進行合理的考察，并分析由單獨誤差引起的實際姿勢誤差與末端標架位置誤差，為后續的分析提供參考依據，合理進行平行度誤差與垂直誤差數據的選擇，保證分析結果的準確性。通過有效的實踐，可以明確該驗證分析方法的時效性與準確性，例如，在實際的誤差分析過程中，將相關的基本參數與誤差進行結合，并將其表示為區間數，通過運用合理的泛灰數，可以高效的計算出各參數的實際區間表示，此時分析人員可以以實際的區間表示為依據，明確各誤差與各尺寸對實際的各個輸出參數的影響情況，以滿足實際的機器人機構誤差分析需求。靈活應用現有的泛灰運算工具箱，在已知各參數驗算輸出參數的誤差是否滿足實際的誤差需求，還可以對各個輸入參數的實際誤差進行分析，并分析該參數誤差對輸出參數的實際影響，從根本上確定各參數的公差與偏差。

4 結論

綜上所述，泛灰數學在機器人機構誤差分析中的應用，為機器人機構運動誤差分析提供了新方式，并利用泛灰數學自身的性質特點與優勢，將分析的整體步驟進行簡單化，保證分析結果的直觀性與可靠性，提升分析效率。泛灰數學在機器人誤差分析、靈敏度分析以及復雜機構分析中具有廣闊的應用前景，符合當前時代的要求。

［1］祁力群.區間分析[J].運籌學雜志,1982,(1):151-156.

［2］張紀元,沈守范.計算機構學[M].北京:國防工業出版社,1996.