壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建中的三個(gè)關(guān)鍵因素分析

溫 睿 劉國昌* 冉 揚(yáng)

(①中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；②中國石油大慶油田測(cè)試技術(shù)服務(wù)分公司，黑龍江大慶 163000)

1 引言

在地震數(shù)據(jù)采集過程中，受物理因素或經(jīng)濟(jì)條件限制，所采集數(shù)據(jù)往往會(huì)出現(xiàn)采樣不足的現(xiàn)象，比如采集時(shí)受障礙物、風(fēng)化帶等影響，造成地震道缺失。另外有時(shí)出于經(jīng)濟(jì)成本的考慮，不得不降低采樣率，這些因素都會(huì)造成觀測(cè)地震數(shù)據(jù)的不規(guī)則化，導(dǎo)致假頻的產(chǎn)生，從而對(duì)后續(xù)的地震數(shù)據(jù)處理成像造成不良影響。為了解決這個(gè)問題，需對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，對(duì)缺失的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建，地震數(shù)據(jù)插值重建對(duì)后續(xù)的SRME多次波去除，波動(dòng)方程偏移成像等環(huán)節(jié)具有重要的意義。

地震數(shù)據(jù)重建方法大致可分為兩大類[1]，第一大類是基于波動(dòng)方程的方法[2]，此類方法利用地下信息進(jìn)行數(shù)據(jù)重建，但是計(jì)算成本較高，可細(xì)分為基于動(dòng)校正以及基于成像算子的方法。另一大類是基于信號(hào)分析和統(tǒng)計(jì)的方法，可細(xì)分為三個(gè)分支： ①基于預(yù)測(cè)濾波的方法[3-6]，通過低頻部分的濾波算子預(yù)測(cè)高頻部分的信息，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)重建； ②基于降秩的方法[7，8]，將地震數(shù)據(jù)看作矩陣或者張量，數(shù)據(jù)的缺失和不規(guī)則會(huì)導(dǎo)致矩陣秩的增加，通過SVD分解等矩陣分解算法達(dá)到降秩的目的，從而重建缺失數(shù)據(jù)； ③基于稀疏變換的壓縮感知方法，壓縮感知理論認(rèn)為：如果信號(hào)是稀疏的或者通過稀疏變換可以在某個(gè)變換域得到稀疏表示，設(shè)計(jì)一個(gè)與變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣進(jìn)行觀測(cè)并得到少量觀測(cè)數(shù)據(jù)，那么通過各種求解最優(yōu)化問題的重構(gòu)算法可大概率地將觀測(cè)數(shù)據(jù)恢復(fù)為原來的數(shù)據(jù)[9，10]。這些重構(gòu)算法常用的稀疏變換包括Fourier變換[11]、Radon變換[12，13]、Curvelet變換[14，15]、Seislet變換[16，17]和Shearlet變換[18]等。近年來，隨著壓縮感知理論的發(fā)展，基于稀疏變換的重建算法在地震數(shù)據(jù)重建領(lǐng)域流行起來，其中凸集投影算法(POCS)以其簡(jiǎn)便、高效的特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。該算法由Bregman[19]提出，被Stark等[20]應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域， Abma等[21]進(jìn)一步將其應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建領(lǐng)域。以硬閾值迭代算法(IHT)為代表的稀疏促進(jìn)迭代閾值類算法與POCS原理相近，同樣被應(yīng)用到地震數(shù)據(jù)插值重建。Herrmann等[22]提出了基于曲波變換的促稀疏算法CRSI(Curvelet Recovery by Sparsity-promoting Inversion)。近幾年在圖像處理領(lǐng)域開始流行的線性Bregman迭代算法也開始應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建[23-25]。線性Bregman迭代算法雖然收斂速率快，但是最終的重建質(zhì)量并不理想。Bai等[26]考慮到線性Bregman迭代算法與CRSI算法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了基于曲波變換聯(lián)合促稀疏反演算法(JRSI)，通過加權(quán)的方法將Bregman迭代算法與CRSI算法相結(jié)合，其收斂速度比CRSI快，且重建質(zhì)量?jī)?yōu)于傳統(tǒng)的Bregman迭代算法。

Abma等[21]的研究表明，當(dāng)利用壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建方法時(shí)，閾值模型的選取會(huì)影響重建質(zhì)量，在迭代過程中使用了線性遞減的閾值模型。這之后，許多學(xué)者研究并提出了其他閾值模型進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的插值重建： Galloway等[27]提出了將指數(shù)閾值模型應(yīng)用到POCS算法中，提高了收斂速率； 張華等[28]和王本鋒等[29]對(duì)指數(shù)模型做出了改進(jìn)，取得了更好的重建效果； Gao等[30]提出了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的閾值模型，僅用少量的迭代即可達(dá)到較高的重建質(zhì)量； 葛子建等[31]提出了反比例閾值模型，通過調(diào)節(jié)參數(shù)得到任意下降速率的閾值曲線，因此具有非常好的適用性。

壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建算法受稀疏變換、迭代算法和閾值模型的影響，實(shí)際應(yīng)用中選擇哪種方法較困難，因此本文結(jié)合理論推導(dǎo)和算例分析，對(duì)該類算法的三個(gè)關(guān)鍵因素進(jìn)行對(duì)比研究，為在實(shí)際地震數(shù)據(jù)重建中選擇稀疏變換、迭代算法及閾值模型提供理論依據(jù)和建議。

本文論述了基于稀疏變換的壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建算法： 首先對(duì)比了Fourier、Curvelet、Seislet三種稀疏變換，分析了不同稀疏變換的優(yōu)勢(shì)與局限性； 然后比較了POCS、IHT、Bregman和JRSI四種不同迭代算法的差異； 最后研究了線性、指數(shù)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)三種不同閾值模型的特點(diǎn)，并通過模擬和實(shí)際算例對(duì)比分析了壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建過程中影響重建效果和效率的三方面關(guān)鍵因素。

2 基于稀疏變換的壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建

不規(guī)則地震數(shù)據(jù)重建可描述為如下反演問題

dobs=Rm+n

(1)

式中：dobs為觀測(cè)到的不規(guī)則缺失地震數(shù)據(jù)；n為隨機(jī)噪聲；m是待求的重建之后的完整數(shù)據(jù)；R是由元素1和0構(gòu)成的矩陣。R在壓縮感知領(lǐng)域被稱為采樣矩陣，其形式以如下例子作簡(jiǎn)要說明

(2)

在不考慮噪聲且假設(shè)d1=m1，d3=m3，d5=m5的情況下，有

(3)

基于模擬計(jì)算方便考慮，本文假設(shè)dobs與m兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，將R視為mask矩陣[32]，即R為由元素1和0組成的對(duì)角陣，那么式(2)可改寫為

(4)

矩陣R是高度稀疏的，使式(1)成為一個(gè)欠定方程組。為了求解這個(gè)欠定問題，往往需要增加約束條件。考慮到地震數(shù)據(jù)在各種變換域所表現(xiàn)的稀疏性，通過增加稀疏約束條件，將地震數(shù)據(jù)重建問題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)0或者L1范數(shù)優(yōu)化問題

Φ(x)=‖dobs-RCTx‖22+λP(x)

(5)

式中：x為稀疏域中數(shù)據(jù)；CT為反稀疏變換；λ為正則化參數(shù)；P(x)為稀疏約束項(xiàng)，如L0或L1范數(shù)。地震數(shù)據(jù)插值重建是求取使目標(biāo)函數(shù)(式(5))達(dá)到最小時(shí)的x。式(5)中稀疏變換C有多種可供選擇的類型，如Fourier變換、Radon變換、Curvelet變換、Seislet變換等，但不同變換的重建效果和計(jì)算效率存在差別。

當(dāng)P(x)選為L(zhǎng)1或L0范數(shù)時(shí)，優(yōu)化問題(式(5))是非線性的，可通過迭代類算法求解該非線性優(yōu)化問題。常用的解決L1范數(shù)約束問題的迭代算法有POCS、Bregman和JRSI等，解決L0范數(shù)約束問題的迭代算法有IHT算法等。POCS算法是求解非線性優(yōu)化問題(式(5))的常用迭代算法，其迭代公式為

mk+1=dobs+(I-R)CTTτkCmk

(6)

式中：mk為第k次迭代后數(shù)據(jù)空間域的解；C和CT分別為正、反稀疏變換；τk為閾值；Tτk為硬閾值算子，可由下式表示

(7)

另一種與POCS算法相似的IHT迭代算法可寫為[33]

xk+1=Tτk[xk+(RCT)T(dobs-RCTxk)]

(8)

式中xk為第k次迭代在稀疏域中的解。式(8)可轉(zhuǎn)化為

(9)

比較IHT迭代式(式(9))與POCS迭代式(式(6))可發(fā)現(xiàn)，理論上IHT迭代算法等價(jià)于在POCS迭代結(jié)束后又做了一次稀疏變換閾值濾波。若將最后一次迭代的閾值設(shè)為零，則兩種算法重建結(jié)果完全相同； 若最后一次迭代的閾值不為零，則兩種算法最后的重建結(jié)果會(huì)有差異。

Bregman迭代算法是Osher等[34]在研究全變分圖像去噪時(shí)提出的一種新型迭代正則化方法，該方法被拓展到基于小波的圖像去噪、非線性逆尺度空間、醫(yī)療核磁共振圖像等[35-37]問題。隨后又被應(yīng)用到壓縮感知領(lǐng)域，成為求解L1范數(shù)以及L1范數(shù)相關(guān)最優(yōu)化問題最有效的方法之一[38]。近年來，Bregman迭代算法[23]開始應(yīng)用到缺失地震數(shù)據(jù)重建問題。其算法如下

(10)

Bregman迭代算法還可發(fā)展為下面的迭代形式

(11)

式中：dk為每一次迭代的輸入數(shù)據(jù)；T為閾值算子。經(jīng)過N次迭代之后，得到稀疏域的解xN，反變換回時(shí)間域就得到數(shù)據(jù)域的解，也就是最終的重建結(jié)果mN=CTxN。

Bai等[26]提出一種新的促稀疏迭代反演算法，通過引入加權(quán)因子將CRSI迭代算法與Bregman迭代算法(式(10))結(jié)合起來，取得了不錯(cuò)的重建效果。CRSI迭代算法原理與IHT迭代算法相似，仍然可以用式(8)進(jìn)行迭代，CRSI迭代算法與IHT算法的區(qū)別在于CRSI算法的閾值不是每次迭代都會(huì)變化，而是每隔幾次迭代閾值變化一次。CRSI算法雖然穩(wěn)定，但收斂速率不快。Bai等[26]針對(duì)CRSI穩(wěn)定的特點(diǎn)以及Bregman算法收斂速率較快的特點(diǎn)，將二者結(jié)合，得到了聯(lián)合促稀疏迭代算法(JRSI)，其迭代公式如下

(12)

式中：vk為第k次迭代閾值之前的Curvelet系數(shù)；β為權(quán)重因子。為了實(shí)現(xiàn)快速高效的重建，權(quán)重因子β應(yīng)該在前幾次迭代中取較小值，而在最后幾次迭代中取較大值，β可通過階梯函數(shù)或指數(shù)函數(shù)定義，即

(13)

(14)

式中Nd為小于迭代次數(shù)N的實(shí)數(shù)。以階梯函數(shù)定義權(quán)重因子，意味著在Nd+1次迭代之前，只有Bregman加速項(xiàng)對(duì)迭代結(jié)果有貢獻(xiàn)； 在Nd次迭代之后，只有穩(wěn)定項(xiàng)對(duì)迭代結(jié)果有貢獻(xiàn)。若以指數(shù)函數(shù)定義權(quán)重因子，意味著迭代前期vk權(quán)重大于xk，從而加快迭代速率。隨著迭代次數(shù)增多，vk權(quán)重減少，直到xk占全部比重，這時(shí)迭代的穩(wěn)定性可得到保證，重建之后能達(dá)到較高信噪比。

在壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建方法中，稀疏變換、迭代算法和閾值模型是影響插值重建效果和計(jì)算效率的三個(gè)關(guān)鍵因素，下面分別對(duì)其進(jìn)行討論。

3 稀疏變換

對(duì)于基于稀疏變換的地震數(shù)據(jù)重建方法，有多種數(shù)學(xué)變換可供選擇，如Fourier變換、Radon變換、Curvelet變換、Seislet變換、dreamlet變換和shearlet變換等。在最常用的幾種變換中： Fourier變換最易實(shí)現(xiàn)，但它主要適用于線性同相軸居多的情況，而對(duì)于彎曲同相軸居多的情況，其重建效果略差； Curvelet變換具有多尺度和多方向性[39]，可對(duì)非平穩(wěn)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)局部分解，將地震數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示； Seislet變換是基于小波提升算法而開發(fā)的針對(duì)地震數(shù)據(jù)的變換方法[40]，可提供比經(jīng)典小波變換更有效的地震數(shù)據(jù)壓縮能力。

圖1分析、對(duì)比了Fourier、Curvelet和Seislet三種稀疏變換的系數(shù)衰減速率： Seislet變換的系數(shù)衰減速率最快，Curvelet變換次之，F(xiàn)ourier變換最慢。一般地，稀疏變換的系數(shù)衰減速率越快，地震數(shù)據(jù)在該變換域就越可得到更稀疏的表示，也就更適用于基于稀疏變換的數(shù)據(jù)重建中。基于Seislet變換的數(shù)據(jù)重建通常能取得比Curvelet變換及Fourier變換更好的重建效果，但對(duì)于過于復(fù)雜的地震數(shù)據(jù)，比如多同相軸交叉情況，Seislet變換可能出現(xiàn)傾角求取不準(zhǔn)確的情況而惡化重建效果。

圖1 不同稀疏變換系數(shù)衰減速率對(duì)比

圖2 三種稀疏變換重建結(jié)果對(duì)比

圖3 三種稀疏變換重建的誤差對(duì)比

對(duì)于圖2a所示的不規(guī)則缺失模擬地震數(shù)據(jù)，分別選擇Fourier、Curvelet及Seislet變換作為稀疏變換，選用POCS算法進(jìn)行重建。從圖2重建后剖面可見，F(xiàn)ourier變換的重建效果明顯不如Curvelet和Seislet變換； 從圖3重建誤差剖面不難發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)ourier變換重建誤差相對(duì)較大，而另外兩種變換重建誤差則相對(duì)較小。由于Curvelet和Seislet變換具有局部性質(zhì)，對(duì)于彎曲同相軸居多的復(fù)雜地震剖面，筆者傾向于選擇Curvelet和Seislet等容易處理傾角的變換作為迭代所需的稀疏變換。但從計(jì)算效率考慮，F(xiàn)ourier變換比Curvelet和Seislet變換更具優(yōu)勢(shì)，若是進(jìn)行高維地震數(shù)據(jù)重建[41]，Curvelet和Seislet變換計(jì)算量巨大，而Fourier變換則可顯著節(jié)省計(jì)算成本，此時(shí)選擇Fourier變換作為稀疏變換更合適。

4 迭代算法

本文首先對(duì)POCS算法與IHT算法進(jìn)行對(duì)比分析，這兩種方法理論上具有相似性，對(duì)Sigsbee模型數(shù)值模擬結(jié)果(圖4a、圖4b)，分別用POCS算法與IHT算法來對(duì)缺失的地震道進(jìn)行重建，閾值模型選取線性硬閾值模型，稀疏變換選擇Curvelet變換，迭代次數(shù)設(shè)為50次。從重建結(jié)果(圖4c～圖4f)及其誤差剖面(圖5)來看，兩種迭代算法的差異很小。為了更進(jìn)一步對(duì)兩種迭代方法進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算每一次迭代的信噪比并繪制信噪比恢復(fù)曲線以更直觀地考察兩種重建迭代算法的表現(xiàn)。信噪比據(jù)下式計(jì)算[42]

圖4 缺失地震數(shù)據(jù)及POCS與IHT算法重建結(jié)果對(duì)比

圖5 POCS與IHT算法重建結(jié)果的誤差對(duì)比

(15)

式中：O為原始無噪聲完整數(shù)據(jù)；mn為第n次迭代后的重建結(jié)果。從圖6的信噪比恢復(fù)曲線對(duì)比圖可看出： 如果第n次迭代的閾值等于零，那么兩條曲線(虛線)在最后一次迭代會(huì)相交， 也就是得到相同的重建結(jié)果； 如果第n次迭代的閾值不為零，那么兩條曲線(實(shí)線)不會(huì)相交，也就是說迭代結(jié)束后會(huì)得到不同的重建結(jié)果，而且POCS算法的重建結(jié)果會(huì)略好于IHT算法。該算例表明在最后一次迭代的閾值為零的情況下，POCS算法和IHT算法會(huì)得到一樣的重建結(jié)果。如果原始數(shù)據(jù)中不含有噪聲，最后一次迭代閾值可選為零，這樣能得到較好效果； 但如果原始數(shù)據(jù)中含有噪聲，最后一次迭代閾值應(yīng)該大于零，其大小與原始數(shù)據(jù)的信噪比有關(guān)。

圖6 POCS算法與IHT算法信噪比恢復(fù)曲線對(duì)比

下面對(duì)線性Bregman算法和JRSI算法進(jìn)行對(duì)比。從圖7可看出，JRSI算法的重建質(zhì)量要明顯好于Bregman算法。繪制上述4種迭代算法的信噪比恢復(fù)曲線(圖8)，可見POCS算法與IHT算法最為穩(wěn)定，最終達(dá)到的信噪比最高，在最后一次迭代閾值為零的情況下，二者最終達(dá)到相同的信噪比。Bregman算法雖然收斂速度比較快，但最終能達(dá)到的信噪比較低。JRSI算法則結(jié)合了Bregman算法和IHT算法的優(yōu)點(diǎn)，相對(duì)IHT算法來說前期可達(dá)到更高信噪比，最終的重建質(zhì)量與IHT相比差異不大。

圖7 Bregman算法與JRSI算法重建結(jié)果及其誤差對(duì)比

采用圖9a所示的二維疊前實(shí)際數(shù)據(jù)來測(cè)試各個(gè)迭代算法，稀疏變換固定為Curvelet變換，閾值模型固定為線性閾值模型。重建道集以及重建誤差如圖9及圖10所示。從迭代50次之后的重建結(jié)果可以看出，Bregman迭代算法的重建結(jié)果稍差，而另外三種迭代算法都有不錯(cuò)的重建效果。從圖11的信噪比恢復(fù)曲線可以看出，經(jīng)過足夠多的迭代，POCS算法、IHT算法以及JRSI算法都能達(dá)到一個(gè)較高的信噪比，JRSI算法最終達(dá)到的信噪比略高于前二者，而且用相對(duì)較少的迭代次數(shù)就可達(dá)到很高的信噪比。Bregman算法雖然收斂速率快，但是最終達(dá)到的信噪比不高。

圖8 不同迭代算法信噪比恢復(fù)曲線對(duì)比

圖9 實(shí)際缺失地震數(shù)據(jù)及其幾種迭代算法重建結(jié)果

圖10 四種迭代算法重建結(jié)果的誤差對(duì)比

5 閾值模型

Abma等[21]在應(yīng)用POCS算法進(jìn)行地震數(shù)據(jù)重建時(shí)指出閾值模型的選取是影響重建質(zhì)量的關(guān)鍵因素，合理的閾值選擇能顯著提高重建速率和重建質(zhì)量。閾值模型可分為兩個(gè)大類：硬閾值與軟閾值。

圖11 四種迭代算法信噪比恢復(fù)曲線對(duì)比

其公式分別為

(16)

(17)

其中τ為閾值，至于具體的閾值計(jì)算公式，Abma等[21]在應(yīng)用POCS算法進(jìn)行地震數(shù)據(jù)重建時(shí)使用線性閾值計(jì)算公式

τk=τi+(τf-τi)(k-1)/(N-1)

(18)

式中：τi與τf分別為初始閾值和終止閾值，初始閾值通常選取最大的稀疏變換系數(shù)，終止閾值一般為一個(gè)接近或者等于零的小值，其大小與原始數(shù)據(jù)的信噪比有關(guān)；k=1,2,…,N，為迭代次數(shù)，隨著迭代

次數(shù)增加，閾值從初始閾值線性降至終止閾值。

為了提高收斂速率，Galloway等[27]提出了指數(shù)閾值計(jì)算公式

(19)

與線性閾值計(jì)算相似，指數(shù)閾值計(jì)算仍然是使閾值隨迭代次數(shù)增加從初始的大閾值降至終止的小閾值，區(qū)別在于閾值按指數(shù)規(guī)律下降。

Gao等[30]提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)閾值模型，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)閾值可按照以下流程選取：

(1)計(jì)算缺失數(shù)據(jù)的頻譜，選定初始閾值與終止閾值，將大于初始閾值及小于終止閾值的振幅移除；

(2)將剩余的振幅值降序排列，得到一條閾值曲線；

(3)假設(shè)總迭代次數(shù)為N次，則將曲線等分為N-1份，同時(shí)得到N個(gè)節(jié)點(diǎn)；

(4)第一次迭代，將第一個(gè)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的值作為此次迭代的閾值，以此類推，可得到每一次迭代的閾值。

仍選取圖4中的Sigsbee模型數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，迭代算法均采用相對(duì)比較穩(wěn)定的POCS算法，分別使用線性、指數(shù)、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)閾值模型進(jìn)行數(shù)據(jù)重建。各閾值模型重建結(jié)果、誤差剖面以及信噪比恢復(fù)曲線如圖12、圖13及圖14所示。從信噪比恢復(fù)曲線可以看出，線性閾值模型雖然最終能達(dá)到較高的信噪比，但是收斂速度較慢，而指數(shù)閾值模型不僅具有較快的收斂速率，同時(shí)能保證很好的重建質(zhì)量，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)閾值模型相對(duì)于前兩種能夠更快地達(dá)到一個(gè)較高的信噪比，但是由于閾值隨迭代次數(shù)下降太快，最終能夠達(dá)到的信噪比略低，而且對(duì)于不同的數(shù)據(jù)，重建效果也可能有所不同。相對(duì)于硬閾值，軟閾值模型的重建質(zhì)量則普遍較低。

圖12 幾種閾值模型重建結(jié)果

圖13 幾種閾值模型重建結(jié)果誤差

圖14 幾種閾值模型重建信噪比恢復(fù)曲線對(duì)比圖

采用圖9的實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)試不同閾值模型，迭代算法均采用相對(duì)比較穩(wěn)定的POCS算法，分別應(yīng)用線性、指數(shù)及數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)重建，重建結(jié)果、重建誤差及信噪比恢復(fù)曲線見圖15、圖16及圖17。與模擬數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果相似，指數(shù)閾值模型無論是收斂速率還是重建質(zhì)量都要優(yōu)于線性閾值模型，而數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型雖然收斂速率快，但是最終能達(dá)到的信噪比不高，也說明了其受不同數(shù)據(jù)的影響，具有不穩(wěn)定性。軟閾值模型與硬閾值模型相比，前者的重建結(jié)果稍差。

圖15 幾種閾值模型實(shí)際數(shù)據(jù)重建結(jié)果剖面

圖16 幾種閾值模型實(shí)際數(shù)據(jù)重建誤差剖面

圖17 幾種閾值模型信噪比恢復(fù)曲線對(duì)比圖

6 結(jié)論

本文對(duì)壓縮感知地震數(shù)據(jù)重建中稀疏變換、迭代算法和閾值模型三個(gè)關(guān)鍵因素進(jìn)行了研究，為在實(shí)際地震數(shù)據(jù)重建中選擇稀疏變換、迭代算法以及閾值模型提供了理論依據(jù)和建議。結(jié)論如下：

(1)FFT在處理具有彎曲同相軸的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)時(shí)具有一定局限性，而Curvelet變換和Seislet變換等因其具有多方向性和局部性質(zhì)，在進(jìn)行復(fù)雜地震數(shù)據(jù)重建時(shí)更具優(yōu)勢(shì)，但是Curvelet變換和Seislet變換等局部性稀疏變換計(jì)算量大，尤其對(duì)于高維地震數(shù)據(jù)重建計(jì)算成本過高，計(jì)算效率不如FFT。

(2)POCS算法與IHT算法較為穩(wěn)定，經(jīng)過足夠的迭代次數(shù)能夠達(dá)到很高的信噪比，如果最后一次迭代的閾值為零，那么經(jīng)過同樣的迭代次數(shù)，兩種算法會(huì)得到相同的重建結(jié)果； Bregman迭代算法雖然前期迭代速率快，但經(jīng)多次迭代后，并不能達(dá)到一個(gè)很高的信噪比； JRSI算法結(jié)合了Bregman算法與IHT算法的優(yōu)點(diǎn)，可更快地達(dá)到較高的信噪比，同時(shí)也能保證迭代結(jié)束后的重建質(zhì)量。

(3)線性閾值模型最終所能達(dá)到的信噪比雖然很高，但是迭代速率較慢；指數(shù)閾值模型具有很高的收斂速率并且能保證重建質(zhì)量；數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型往往具有較快的迭代速率，但是重建效果受到數(shù)據(jù)影響，穩(wěn)定性較差。

感謝吉林大學(xué)劉洋教授、中國地質(zhì)大學(xué)(北京)高建軍副教授、同濟(jì)大學(xué)王本鋒博士和中國地震局白蘭淑博士的有益討論。