多圓柱上加權Bloch空間上的加權復合算子

高智娟,張彥林,肖建斌

(杭州電子科技大學理學院,浙江杭州 310018)

1 引言

以 Un={z=(z1,z2,···,zn):|zi|<1,i=1,2,···,n} 表示 n 維復空間 Cn中的單位多圓柱;H(Un)和H(Un,Un)分別表示Un上全純函數(shù)和全純自映射的全體;?Un={z=(z1,z2,···,zn)∈ Cn:|zi|=1,i=1,2,···,n}表示 Un的邊界;Un上加對數(shù)權的 Bloch 空間是滿足

的函數(shù)f的全體,在范數(shù)∥f∥Blog=|f(0)|+∥f∥log下,Blog(Un)空間是Banach空間.加對數(shù)權的小Bloch空間是滿足

的函數(shù)f的全體,由于B0,log(Un)? Blog(Un),所以B0,log(Un)是Blog(Un)的子空間.設ψ∈H(Un),φ∈H(Un,Un),z∈Un,f∈H(Un),加權復合算子定義為

顯然Wψ,φ是線性算子.特殊地,當ψ(z)=1時,W1,φ即為通常的復合算子;當ψ(z)=z時,Wψ,z即為通常的點乘算子,因此Wψ,φ可以看成是復合算子和點乘算子的推廣.在n維空間的單位多圓柱上,文獻[1,2]研究了Bloch空間上的復合算子和加權復合算子,文獻[3]探討了不同的p-Bloch和小p-Bloch空間上的加權復合算子,文獻[4]中給出了一個定義在[0,1)上的非負函數(shù)μ,并研究了加正規(guī)權的Bloch型空間Bω到Bμ以及加正規(guī)權的小Bloch型空間Bω,0到Bμ,0上的復合算子,他們分別給出了算子的有界性和緊性的充要條件.關于Bloch空間、加權Bloch空間以及其上的相關算子的其他研究成果見文獻[6–10].

本文把文獻[5]中的單位圓盤D推廣到了n維空間的單位多圓柱上,討論了單位多圓柱上加對數(shù)權的Bloch空間和加對數(shù)權的小Bloch空間上的加權復合算子的有界性和緊性問題.

在本文中,C表示正的常數(shù),不同的地方可以表示不一樣的正常數(shù).

2 引理

為了得到本文的主要結果,需要用到下面的幾(個引理.

引理2.1如果f∈Blog(Un),則特別地,當時,

證 對任意的f∈Blog(Un),有

引理2.2設ψ∈H(Un),φ∈H(Un,Un).則Wψ,φ為Blog(Un)(B0,log(Un))上的緊算子當且僅當Wψ,φ為有界算子并且對于Blog(Un)(B0,log(Un))中在Un的任意緊子集上一致趨于零的有界序列{fn},當n→∞時,∥Wψ,φfn∥Blog→0.

證 只證Blog(Un)空間的情形,B0,log(Un)空間的情形可類似證明.

設 Wψ,φ為Blog(Un)上的緊算子,顯然 Wψ,φ為Blog(Un)上的有界算子.設{fn}是Blog(Un)中的一有界列且當n→ ∞時,{fn}在Un的任意緊子集上一致趨于零,由緊算子的定義,{Wψ,φfn}存在一個在Blog(Un)中收斂的子列{Wψ,φfnk}.不妨設當k→ ∞時,{Wψ,φfnk}收斂于f,于是 ∥Wψ,φfnk?f∥Blog→ 0.由引理2.1,對Un的任意緊子集K 都存在正常數(shù)C,使得?z∈K都有

因此當k→∞時,(Wψ,φfnk)(z)?f(z)→ 0,又由于fnk→ 0,所以Wψ,φfnk→ 0,f→ 0,由{fn}的任意性,當 n → ∞ 時,∥Wψ,φfn∥Blog→ 0.

反之,假設Wψ,φ在Blog(Un)上不是緊的,則存在一個Blog(Un)中在Un上的有界序列{gn},使得{Wψ,φgn}在Blog(Un)中沒有收斂的子列.進一步,再設{gn}在Un的任意緊子集上一致有界,那么由Montel定理知{gn}是正規(guī)的,{gn}存在一個在Un的任意緊子集上一致收斂的子列{fn}.不妨設{fn}一致收斂于f,那么→f′,并且f∈Blog(Un).從而序列{fn?f}在Blog(Un)中有界且在Un的任意緊子集上一致趨于零,由題設當n→∞時,∥Wψ,φ(fn? f)∥Blog→ 0,這意味著 {Wψ,φgn} 的子列 {Wψ,φfn} 收斂于 Wψ,φf,矛盾.證畢.

引理2.3如果f∈B0,log(Un),令,那么

證 由于f ∈ B0,log(Un),則 ?ε>0,? δ∈ (0,1),使得當|zk|> δ(k=1,2,···,n)時,

以Un(0,δ)表示以原點為中心的δ鄰域,令

那么對任意的f∈B0,log(Un),有

固定k(1≤k≤n),當|zk|<δ時,

所以

所以當|zk|>δ時,

從而

于是由(2.1)–(2.4)式,結論成立.證畢.

3 Wψ,φ:Blog(Un)→Blog(Un)的有界性和緊性

本部分給出了加權復合算子Wψ,φ:Blog(Un)→Blog(Un)為有界算子和緊算子的充要條件.

定理3.1設ψ∈H(Un),φ∈H(Un,Un).則Wψ,φ為Blog(Un)上的有界算子的充要條件是

證 對任意的f∈Blog(Un),由結論(i)–(ii)及引理2.1得

所以 ∥Wψ,φf∥Blog=|ψ(0)f(φ(0))|+ ∥Wψ,φf∥log≤ C∥f∥Blog,于是 Wψ,φ是 Blog(Un)上的有界算子.

反之,設Wψ,φ為Blog(Un)上的有界算子,則對任意的f∈Blog(Un),都存在常數(shù)C,使得 ∥Wψ,φ∥Blog≤ C∥f∥Blog.分別取 f(z)=1 和 f(z)=zl(l=1,2,···,n),則 ψ ∈ Blog(Un),ψφl∈ Blog(Un),結合 |φl(z)|<1,有

對任意固定的ω∈Un,|ω|<1和固定的l(1≤l≤n),取測試函數(shù)

通過計算 fω∈ Blog(Un),∥fω∥Blog≤ C,則有

由ω的任意性,對上式關于ω取上確界,可得結論(i)成立.同樣的再取測試函數(shù)

通過計算 fω∈ Blog(Un),∥fω∥Blog≤ C,如果 ?z ∈ Un,φl(z)≠0.令 ω = φl(z),那么由結論(i)得到

如果?z∈Un,φl(z)=0,那么由(3.1)式

因此結論(ii)成立.證畢.

定理3.2設ψ∈H(Un),φ∈H(Un,Un).則Wψ,φ為Blog(Un)上的緊算子的充要條件是

證 設結論(i)–(iv)成立.假設{fn}是Blog(Un)中在Un的任意緊子集上一致趨于零的有界序列,令由引理2,僅需證明而當 n → ∞ 時,ψ(0)fn(φ(0))→0,因此這等價于證明下面的(3.4),(3.5)式同時成立.

首先由結論 (i)–(ii),?ε>0,都 ? δ>0(0< δ<1),當 dist(φ(z),?Un)< δ時,

再設K={ω∈Un:dist(ω,?Un)≥δ},則K 是Un的一個緊集,由假設及文獻[4]中的引理3知{fn}及在K上收斂于零.當z∈K時,結合結論(iii),(iv),有

當z∈UnK時,由(3.6),(3.7)式并結合引理2.1,有

由(3.8)–(3.11)式可得(3.4),(3.5)式成立.

反之,如果Wψ,φ是緊算子,則Wψ,φ是有界算子,分別取函數(shù)f(z)=1及f(z)=zl,可得結論(iii),(iv)成立,下證結論(i)成立.采用反證法,假設(i)不成立,則存在ε0>0,{zm} ? Un,φ(zm)=(φ1(zm),φ2(zm),···,φn(zm)),當 m → ∞ 時,φ(zm)→ ?Un,使得

不妨設

通過計算∥fm∥Blog≤C且{fm}在Un的任意緊子集上一致收斂于零,由引理2.2,當m→∞時,∥Wψ,φfm∥Blog→ 0.但是

令m→∞得到0≥ε0,這與ε0>0矛盾.

由情形1的討論可得

再取函數(shù)gm(z)為(3.12),(3.13)式中兩個函數(shù)之和,所以∥gm∥Blog≤C且{gm}在Un的任意緊子集上一致收斂于零,而

令m→∞仍然得到矛盾,因此結論(i)成立.同樣地,假設結論(ii)不成立.不妨設

對于情形 1,設 φ1(zm)=r1eiθ1,令函數(shù)

通過計算∥hm∥Blog≤C且{hm}在Un的任意緊子集上一致收斂于零,而由引理2.1,有

令m→∞,由引理2.2并結合結論(i)得到矛盾.對于情形2,由于|φ1(zm)|≤λ<1,所以

由于緊算子必是有界算子,則由定理3.1的結論(ii)得到

這也得到了矛盾,結論(ii)成立.證畢.

4 Wψ,φ:B0,log(Un)→B0,log(Un)的有界性和緊性

本部分給出了加權復合算子Wψ,φ:B0,log(Un)→B0,log(Un)為有界算子和緊算子的充要條件.

定理4.1設ψ∈H(Un),φ∈H(Un,Un).則Wψ,φ為B0,log(Un)上的有界算子的充要條件是

證 設結論 (i)–(iv)成立.若 f∈ B0,log(Un),根據(jù)引理 2.3,?ε>0,?δ1∈ (0,1),當|zk|> δ1,zk∈ Un,k=1,2,···,n 時,有因此當 |φl(z)|> δ1時,根據(jù)結論(i)得到

再由結論(iii)知,對上述 ε>0,? δ2∈ (0,1),當|zk|> δ2,zk∈ Un,k=1,2,···,n時,

因此當|φl(z)|≤δ1且zk>δ2時,結合引理2.1得到

因此由 (4.1),(4.2)式,當 |zk|> δ?=max{δ1,δ2} 時,

又由于f∈ B0,log,因此對上述 ε>0,? δ3∈ (0,1),當|zk|> δ3,zk∈ Un,k=1,2,···,n時,有

因此當|φl(z)|>δ3時,根據(jù)結論(ii)得到

再由結論(iv)知,對上述 ε>0,? δ4∈ (0,1),當|zk|> δ4,zk∈ Un,k=1,2,···,n時,有

因此當 |φl(z)|≤ δ3且 |zk|> δ4,得到

因此由 (4.4),(4.5)式,當 |zk|> δ??=max{δ3,δ4} 時,有

因此由 (4.3) 和 (4.6) 式,令 δ=max{δ?,δ??},當 |zk|> δ時,有

即

因此Wψ,φf ∈ B0,log.

反之,假設Wψ,φ為B0,log(Un)上的有界算子.分別取f(z)=1和f(z)=zl,得到ψ,ψφl∈B0,log(Un),從而結論(iii),(iv)成立,其余同定理3.1必要性的證明,此處略去.證畢.

定理4.2設ψ∈H(Un),φ∈H(Un,Un).則Wψ,φ為B0,log(Un)上的緊算子的充要條件是

證 假設結論(i)–(iv)成立,由定理3.2知Wψ,φ在Blog(Un)上是緊的,又B0,log(Un)是Blog(Un)的閉子空間,由定理4.1的證明知?f∈B0,log(Un)都有Wψ,φf∈B0,log(Un),因此Wψ,φf 在 B0,log(Un)上是緊的.

反之,設Wψ,φf在B0,log(Un)上是緊的,則結論(iii),(iv)顯然成立,并且由于定理3.2必要性的證明中所取的測試函數(shù)(3.12),(3.13)均是B0,log(Un)空間上一致有界的函數(shù)列,與定理3.2必要性的證明類似仍能夠得到矛盾,因此結論(i),(ii)成立.證畢.