單廣播IC并存網絡分析

劉坤，劉鋒，曾連蓀

（上海海事大學信息工程學院，上海 201306）

0 引言

隨著通信行業的發展，多輸入多輸出技術（Multi-Input Multi-Output，MIMO）[1]已被廣大學者所熟知，其空間復用技術在高的信噪比下可以很大地提高系統的信道容量，而且還能夠在無法知道系統信道信息的情況下使用。傳統的SISO系統因其系統容量和信道利用率的局限性已逐漸被MIMO系統取代。但是，對無線網絡系統容量的研究是非常困難的。因此，提出了空間復用增益的概念，以解決系統容量不能準確表達的問題。空間復用增益技術是在發射端將數據流分成多個平行的子數據流，并且在同一頻帶上使用不同的天線同時發射出去，充分利用空間傳播的多徑分量。但也不是無限制地增加天線的數量來增加多徑分量。由于當下天線集成技術的限制，只能在收發端配置合理的天線數，提高系統的天線效率。

BC（Broadcast Channel）[4-6]、MAC（Multiple Access Channel）[7]、IC[8-10]以及 XC（X Channel）[11-13]通過迫零[2]和干擾對齊[3]等方法，得到了它們單播方面的系統空間復用增益。多播網絡的研究也已取得了很大的進展，例如文獻[14]解釋了MIMO X網絡的自由度的空間尺度不變性和單側可分解性。在文獻[15]中具體介紹了上行鏈路大規模MIMO-OFDM系統中能量與頻譜效率的權衡分析，該方案為如何提高頻譜能量效率提供了參考。文獻[16]做了關于完善/不完善CIS下單播/多播MIMO網絡的多小區協作波束成形技術的研究。但是有關單播與多播并存的網絡研究相對較少，因此本文提出單播IC信道和廣播IC信道并存組成的多網模型。對干擾消息的處理有很多種方法，例如干擾中和、干擾對準和迫零等，本文實現消除干擾的方式是零空間的交的迫零方案。

本文主要研究單廣播IC的共存網絡的空間復用增益，這是一種新的IC信道模型。采用迫零方案結合零空間的交，將來自同一接收機的多個干擾消息放置在相應的零空間的交空間中，以便同時實現迫零多個干擾消息。本文給出了該模型的最優天線配置方案和空間復用增益結果。使用MATLAB對系統進行仿真分析，驗證了模型的正確性和方案的可行性。

1 系統模型

本文研究的單廣播IC并存網絡系統模型，如圖1所示。由上往下，第一條虛線上的第一個單廣播IC網絡稱為主網，其余虛線下的均為次網。主網除第一個發送端發送單播和廣播消息外，其余發送端均只發送單播消息。圖中W表示廣播信號，S表示單播信號。此外，共有N個單廣播IC網絡并存，并且并存網絡的用戶數分別是K1,K2,…,KN。每個接收機接收相應發射機的單播消息，并接收自身網絡的廣播消息，例如主網絡的第一接收機，W11和S11是期望消息，剩余的消息都是干擾消息（圖中未畫出），其他接收端與其類似。故對整個網絡模型而言，每個接收者總共收到(K1+K2+…+KN+N)個消息，其中有2個期望消息，其他(K1+K2+…+KN+N-2 )個為干擾消息。

圖1 單廣播IC并存網絡模型

主網和次網中期望消息和干擾消息簡要說明：主網K1個發送端發送{S11,S12,…,S1K1}共K1個單播消息和第一個發送端發出的廣播消息W11，接收端1共接收到來自主網和次網的所有消息(K1+K2+…+KN+N)個，其中{W11,S11}是2個期望消息，其余均為干擾消息。主網中其余接收端的接收情況與接收端1類似。次網的發送端和接收端與主網相似，這里不再贅述。

可以得到本文提出的單廣播IC并存網絡模型的的輸入輸出關系為：

其中Yi表示第i接收機的輸出信號，維度為2×1，Hij表示第j發射機到第i接收機的信道矩陣（j，i=1,2，…，），維度是 2×M，Zi是 2×1維的均值為0，方差為σ2的加性高斯白噪聲，Xj表示該模型第j發射機的發送信號。

本文將空間復用增益定義為系統的接收端所能夠解碼出的期望消息的總數，系統空間復用增益的大小能夠衡量系統的容量大小，是判斷一個系統的性能好壞的重要指標。另外給出天線效率的定義：空間復用增益（d）與系統所用收發端天線總數（n）的比值，即：

根據系統的天線效率，可衡量一個系統的天線的利用率，也是判斷系統的性能優劣的重要指標。

2 方案設計

這里采用零空間的交的迫零方案來分析本文的系統模型，分析怎樣從帶有干擾的消息中析出期望消息，從而得到系統的空間復用增益。為了方便進行理論分析，這里先從2用戶的模型開始討論。

2.1 N= 2,,K1=K2=2

圖2 兩用戶單廣播IC并存網絡模型

因為IC信道中用戶數最少為2，因此先分析2用戶單廣播IC網絡并存2用戶單廣播IC網絡的簡單系統模型。根據文獻中“接收多少期望消息配多少天線”原則，接收端的天線數應為2，發送端天線數是未知的M根。由公式（2）知該模型下的接收端信號Yi，i,j=1,2,3,4。現對發送端消息進行預編碼，每個發送端經過一個預編碼矢量矩陣F使接收端的干擾信號迫零，經過預編碼后的每個接收端的接收信號可表示如下：

其中Fj表示第j發送端的預編碼矢量矩陣，Qj表示第j發送端的發送信號。

該模型采用迫零方案來處理干擾消息，從而得到期望消息。主網中第一個接收端的期望消息是{W11,S11}，干擾消息為{W21,S12,S21,S22}；其他接收端消息與之類似。以上分析可知，S11是第2,3,4接收端的干擾消息，所以把它放在H21,H31,H41的零空間的交空間中。

首先給出零空間的交引理[17,18]，如下：

引理給定兩個矩陣A∈Cm×n和B∈Cg×n，若令，則Cx=0?Ax=0和Bx=0 ，即 C 的零空間的交空間Null(C)=Null(A)∩Null(B)。

由引理得出信道矩陣的零空間的性質。設(m+g)×n的矩陣C的秩為r=rank(C),因為至少得存在一個零空間的交，故有n-r≥1。但是已知C是滿秩的，有r=min(m+g,n)，由此可以推出r=m+g。綜上可以得到零空間的交空間性質：n≥m+g+1。

并且若(m+g)×n矩陣C的秩為r=rank(C)，則它的右奇異向量{ }V1V2…Vn中，與n-r個零奇異值對應的右奇異向量{Vr+1Vr+2…Vn}構成零空間的交空間Null(A)∩Null(B)的標準正交基。因為在整個系統模型中，主網和次網各自的廣播消息不是本網絡的用戶的干擾消息，而單播消息是不同的。這里只對單播消息進行分析。由以上引理可知單播消息S11零空間的交，同理可到其他單播消息的零空間的交，維度均為6×M，根據零空間的交的性質可得M=7。

由零空間的交可設計發送端的預編碼矢量，單播消息的是fi=null(Li)，廣播消息的是f01=null(L01)，f02=null(L02)。再對Li進行奇異值分解由引理可知Li的秩為6，它的右奇異向量V1，V2，V3，V4，V5，V6中，與1個零奇異向量V6構成零空間的交的標準正交基。因此得到預編碼矢量滿足：fi=，表示取矩陣Vi的第六列。

因此可以得到該模型下的空間復用增益為8。

2.2 NN網并存，K1,K2…KN用戶

上面分析了2用戶單廣播IC網絡并存2用戶單廣播IC網絡的系統模型，其天線配置都是假設情況下的，下面分析一般條件下的天線配置方案和系統的空間復用增益。

（1）最優天線配置

這里將接收機的天線數量配置為和它接收的期望消息的數量相等，接下來著重分析發射機的天線是如何配置的。

定理對于N個單廣播IC網絡共存模型，其每個網絡用戶數分別為K1,K2,…,KN，則每個接收機至少要配置兩根天線，每個發射機最少要配置2(K1+K2+…+KN)-1根天線。

證明以主網的第一個接收端為例進行分析。單播信號S11只被本網絡中第一個接收端接收，對其余K1-1個接收端和N-1個次網均為干擾信號，因此可以將其置于其信道零空間的交中，其零空間的交的維度為2(K1+K2+…+KN-1)×M，從引理和相關結論可得M≥2(K1+K2+…+KN)-1，M為發送端的天線數。其他次網的收發端天線配置與之相似。

（2）干擾處理分析

針對接收端的干擾消息處理問題，采用接收端迫零方案，最主要的在于要把干擾消息放在零空間的交空間中，從而只留下期望消息。

這里和之前一樣只分析主網，次網分析與之類似。可得到單播消息零空間的交空間Li，例如：主網第一個發送端的單播消息S11的零空間的交L1=[H21H31…HK11H(K1+1)1…H(K1+K2+…+KN)1] ，然 后 對Li進 行SVD分解根據引理和定理，可知Li的秩為R=2(K1+K2+…+KN-1)。右奇異向量Vi（1,2…，R）中，與M-R個零奇異值對應的右奇異向量VR構成公共的零空間的標準正交基，因此可得到預編碼矢量的關系：fi=,表示取矩陣的第R列。廣播消息的預編碼矩陣分析與單播消息類似，這里不再贅述。通過定理可得到系統的空間復用增益d=2(K1+K2+…+KN)。經過以上分析可合理地設計收發端的預編碼矩陣，從而每個接收端可以實現消除干擾的同時得到所期望的消息。

（3）復雜度分析

根據以上對天線的配置的方案和消除干擾的方案，接下來對系統的復雜度進行分析。根據矩陣理論可知：對于秩為r的m×n的矩陣A，對A進行SVD分解或求廣義逆，其復雜度為O(mnr)；同時對于m×n的矩陣A和n×p的矩陣B，兩者相乘的復雜度為O(mnp)。

這里假設T=K1+K2+…+KN。前面已知零空間的組合矩陣維數為2(T-1)×M，對其進行SVD分解，則每個發射機對應的波束成形矢量計算過程的復雜度為O(2(T-1)2M)。其中M為發射機最小天線數，即M=2(K1+K2+…+KN)-1=2T-1。主網絡的所有發射機共發 (K1+1)個消息，得到復雜度CT1=O(4K1T3+2K1T2)，同理得到其余網絡的復雜度CT2,CT3,…,CTN，所以發射機總的復雜度為CT=CT1+CT2+…+CTN，即：

接收端通過使用Hij*F的廣義逆實現線性編碼方案，其中Hij維度為2×(2T-1)，主網絡各波束成型向量 的 維 數 分 別 為(2T-1)×2 ，(2T-1)×1，… ，(2T-1)×1，求得各自的復雜度后進行廣義逆計算，然后將計算結果相加得到復雜度為O(K1T2)；同理可計算其余網絡接收機的復雜度，因此通過計算Hij和F相乘的復雜度，再對HijF進行廣義逆計算，最后將所得結果相加，即可得到每個接收機的復雜度，CR=O(K1T2)+O(K2T2)+…+O(KNT2)，即：

所以系統總的復雜度為C=CT+CRT，將公式（4）和（5）代入并整理得：

3 仿真分析

根據以上方案分析，本節使用MATLAB對系統模型進行了仿真分析。

3.1 系統空間復用增益

假設每個信道是不相關的瑞利衰落信道。發射機功率為P，發射機允許每個用戶在滿足總功率限制的情況下具有相同的發射功率。假設所有用戶的接收機的噪聲方差為σ2，每個發送端已經知道全部用戶的無差錯的等效信道狀態信息。

用戶i的單播消息數據流經過一系列方案的作用后，接收信噪比可表示為，

接收端i的廣播信號的和速率為：

接收端i的單播消息的總和速率為：

因此整個系統的總和速率為：

下面使用MATLAB對系統的總和速率進行了仿真，橫坐標信噪比SNR的單位是dB，每條直線段的斜率和其相應的系統空間復用增益為10倍關系。

首先選擇實驗數據。選取了并存網絡個數和每個網絡中用戶數不同這兩種情況，將統計的不同模型的空間復用增益展示到圖中，因此得到如圖3所示的仿真結果。

圖3 多用戶模型和速率與信噪比SNR關系

圖3中(A,B,d)各個符號的含義分別是：A表示有多少個IC網絡并存，B表示每個網絡的用戶數，d表示理論上系統的空間復用增益。

由圖 3 中曲線 1、2、3（或曲線 4、5、6）可以看出，當并存的網絡個數保持不變時，空間復用增益隨著用戶數的增加而增加；當用戶數不變時，如曲線1、4所示，空間復用增益隨并存網絡的個數的增加而增加。由此可知，實驗所得結果與理論值基本保持一致。

3.2 系統的天線效率

因系統的空間復用增益為d=2(K1+K2+…+KN)=2T，系統所用總的天線數為n=T(2T-1)+2T，則系統的天線效率可表示為：

根據公式（11）可知，天線效率會隨著用戶數的增加而逐漸減少，當T取最小值時，可以得到最大的天線效率。因IC信道中用戶數最少是2，故T最小值等于4，所以最大天線效率為0.222。

同樣在MATLAB上進行仿真驗證，所得數據統計如圖4所示，其中橫坐標T表示用戶數，單位是個；縱坐標是系統的天線效率。

由圖4可知，隨著T的逐漸增加，系統的天線效率會逐漸減小，當T取得最小值時，系統可獲得最大天線效率。在設計單廣播IC并存網絡時，應根據工程需要適當改變用戶個數，從而獲得較為合適的天線利用率。

圖4 系統天線效率圖

4 結語

在單廣播IC并存的網絡模型中，使用將多個干擾消息放置在零空間的交的迫零方案來消除干擾，通過發送端合理地設計預編碼矩陣，使得用戶能夠得到期望信號，提高系統的和速率。由于當前研究有關單廣播IC并存網絡的較少，該模型也為單廣播并存網絡模型的深入研究提供了可以參考的理論依據。通過分析得到了該模型下的最優天線配置，以及如何合理地獲得所期望的天線利用率。下一步工作可將本模型下的廣播和單播消息數擴展得盡可能地多，以及將此方案應用到其他信道的并存模型當中，用以使用不同的應用場景。