具梯度耗散與非局部源牛頓滲流方程解的爆破性質

何 冰, 凌征球

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012; 2. 玉林師范學院 數學與統計學院, 廣西 玉林 537000)

0 引 言

考慮如下非線性擴散方程的初邊值問題:

(1)

其中:Ω為n(n≥3)中具有光滑邊界的有界區域;m,r>1,p,q≥0,a,b>0; 初值u0(x)連續且滿足相容性條件. 具有梯度耗散項和非局部源項的牛頓滲流方程初邊值問題(1)應用廣泛, 可用于描述多孔介質中的流體運動或人口動力學模型[1-3]. 對于不含非局部源項與梯度耗散項的情形, 即q=0,b=0, 問題(1)已被廣泛研究, 并取得了很多結果[4]. 當pm, 則問題(1)存在有限時刻發生爆破的解. 文獻[5]利用上下解方法將上述結果推廣至含非局部源項的情形, 即q≠0,b=0, 證明了: 當p+q≤m, 且a充分小時, 問題(1)存在整體正解, 若p+q>m, 則小初值的解整體存在, 大初值的解爆破, 解發生的時間下界由Liu等[6]給出. 文獻[7]研究了問題(1)同時含有非局部源與內部吸收源-us的情形, 得到了爆破時間下界的估計. 對于含有梯度耗散項的情形, 文獻[8]討論了含局部源的p-Laplace方程初邊值問題, 給出了解發生爆破與否的充分性條件, 并給出了爆破發生時間的界估計. Andreu等[9]利用正則化方法證明了問題(1)解的整體存在性. 本文考慮問題(1)解的爆破現象, 首先給出解是否發生爆破的條件, 然后對爆破時間的界進行估計.

1 非爆破情形

下面給出問題(1)的解不發生爆破的條件. 定義輔助函數

(2)

利用格林公式可得,

由

H?lder不等式:

以及式(3)可知

另一方面, 對任意常數δ>1, 再次應用H?lder不等式, 有

在Rayleigh不等式

(5)

中, 令w=vδ+1, 即得

(6)

其中λ1為下列問題的第一特征值:

Δw+λw=0,w>0,x∈Ω;w=0,x∈?Ω.

(7)

在式(6)中, 取v=u(m+r-1)/r和2(δ+1)=r, 有

(8)

在式(5)中取w=u(2m-1)/2, 則

(9)

因此, 結合式(4),(8),(9), 得

下面估計I1和I2. 利用H?lder不等式易見

(11)

(12)

這里應用了條件m>1和p+q

類似地, 在條件p+q

綜合式(13),(14), 有

其中:

定理1若p+q

2 爆破情形

下面討論問題(1)的解發生爆破的條件, 并給出解發生爆破的時間估計. 引入輔助函數:

(16)

利用方程計算可得

(17)

其中

且

設m>q+3, 且初值函數u0(x)滿足下列條件:

易見ut≥0,Δu≥0, Ψ1≥0及

故結合式(19)可知

聯合式(16),(17),(20)以及Schwarz不等式, 有

即

進而

(21)

對式(21)從0到t關于t積分, 有

(22)

顯然, 不等式(22)不可能對所有的t都成立, 故證明了u在有限時刻T發生爆破. 特別地， 有

(23)

綜上, 有：

定理2假設p+q>m, u為問題(1)的非負解. 若m>q+3, 且初始函數u0(x)滿足條件(i)～(iii), 則u在有限時刻T發生爆破, 且其上界估計由式(23)給出.

同理, 若p+q>r, 則相應式(18)中的輔助函數Ψ1(t)可換為

從而可得：

上面給出了問題(1)的解發生有限時刻爆破的充分性條件以及在該條件下爆破時間的上界估計. 下面在更一般的條件下, 利用文獻[10-11]的微分不等式技巧, 考慮問題(1)解的爆破時間下界估計. 為方便, 定義輔助函數

(24)

在問題(1)的方程兩端乘以uk后, 積分可得

注意到

其中λ1為問題(7)的第一特征值. 故

(26)

為了得到問題(1)解發生爆破時間的下界估計, 先對式(26)右端第二項進行估計. 利用Schwarz不等式與Young不等式, 有

(27)

從而由式(26)可得

(28)

再注意到

再次應用Sobolev不等式[12], 由式(28)得

(29)

將式(29)關于t從0到t(t

(30)

綜上, 可得：