記憶型抽象發展方程的時間依賴全局吸引子

汪 璇, 韓 英, 胡弟弟

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

在邊界充分光滑的有界域Ω?3中, 考慮如下記憶型抽象發展方程：

(1)

其中:α>0;A=-Δ;θ∈(1,3/2);ε(t)∈C1()是單調遞減的正函數, 滿足

(2)

且存在常數L>0, 使得

(3)

設記憶核函數k′(s)<0, ?s∈+,k(∞)=1, 且μ(s)=-k′(s), 滿足:

其中k0,δ為正常數. 顯然當s→+∞時,μ(s)→0. 非線性項g∈C1(),g(0)=0, 且滿足:

(9)

針對ε(t)為關于t的函數情形, 通常的動力系統理論已不再適用于方程(1)解的漸近性態研究. 在此情形下, 文獻[11-12]通過修正拉回吸引子的經典定義和理論, 建立了研究時間依賴動力系統的思想框架. 得到了很多時間依賴吸引子的成果. 當非線性項滿足次臨界指數增長條件時, Conti等[12]應用改進的拉回吸引子理論, 證明了線性波方程的時間依賴吸引子的存在性和正則性; 文獻[1]進一步研究了同一個方程的時間依賴吸引子的漸近結構; 文獻[13]得到了記憶型無阻尼抽象發展方程時間依賴吸引子的存在性和正則性結果. 當非線性項滿足臨界指數增長條件時, 文獻[2]和文獻[14]分別得到了關于Plate方程和非經典反應擴散方程時間依賴全局吸引子的存在性和正則性結果. 受文獻[11-13]啟發, 本文研究方程(1)解的漸近性. 用先驗估計和算子分解技巧, 并結合修正的拉回吸引子理論, 得到了時間依賴吸引子的存在性和正則性結果. 為方便估計, 本文中的C和Ci均表示正常數.

1 預備知識

設H=L2(Ω), (Au,v)=b(u,v), ?u,v∈H, 其中b(u,v)為H上的雙線性型, 且是對稱的、強制的.A為H上的線性無界自伴算子, 其定義域D(A)?H. 設{λj}j∈和{ωj}分別為A的特征值和特征向量, 因此{ωj}可構成H的一組正交基, 且有

利用這組基定義與A同構的冪算子族Aθ(θ∈(1,3/2))如下:

為便于估計, 令Vθ=D(Aθ/2), 則V0=H=L2(Ω), V-θ=D(A-θ/2), 分別賦予空間H和Vθ相應的內積與范數:

?u,v∈H;

則空間Vθ構成Hilbert空間族. 并且Vθ作為H的子集在H中稠密, 映射: Vθ→H緊. 由A的無界自伴性知, Aθ也為無界自伴算子, 且對?s,r∈, 算子Ar為從D(As)到D(As-r)上的同構映射. 因此, 當θ1>θ2時, 有緊嵌入Vθ1Vθ2, 并且有連續嵌入

(10)

以及Poincaré不等式

?v∈Vθ.

(11)

定義變量ηt(s)=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s). 則方程(1)可轉化為如下形式:

(12)

相應初-邊值條件為

(13)

引理2[5,16]假設μ(s)∈C1(+)∩L1(+)是一個非負函數, 且滿足條件: 如果存在s0∈+, 使得μ(s0)=0, 則對所有的s≥s0, 有μ(s)=0. 進一步, 設B0,B1,B2是Banach空間,B0,B1是自反的, 且滿足B0B1B2, 其中嵌入B0B1是緊的. 設C?+;B1)滿足:

定義1設{Xt}是一個賦范空間, 雙參數算子族{U(t,τ):Xτ→Xt,t≥τ,τ∈}滿足如下性質:

1) 對任意的τ∈,U(τ,τ)=Id是Xτ上的恒等算子;

2) 對任意的σ∈和任意的t≥τ≥σ,U(t,τ)U(τ,σ)=U(t,σ).

則稱U(t,τ)是一個過程.

定義2如果對每個t∈, 均存在一個常數R>0, 使得Ct?{z∈Xt: ‖z‖Xt≤R}=Bt(R), ?t∈. 則稱有界集Ct?Xt的集合族C={Ct}t∈是一致有界的.

定義3如果集合族B={Bt}t∈一致有界, 且對任意的R>0, 均存在常數t0(t,R)≤t, 使得τ≤t0?U(t,τ)Bτ(R)?Bt, 則稱B是拉回吸收的.

定義4如果對任意的R>0, 存在常數t0(t,R)≤t, 使得τ≤t-t0?U(t,τ)Bτ(R)?Bt, 則稱一致有界集族B={Bt}t∈是過程U(t,τ)的時間依賴吸收集.

時間依賴吸收集的存在性即相應過程的耗散性.

定義5過程U(t,τ) 的時間依賴吸引子是滿足如下性質的最小族A={At}t∈:

1) 每個At在Xt是緊的;

2) A是拉回吸引的, 即對每個一致有界族C={Ct}t∈, 極限成立, 其中表示集合B和C的Hausdorff半距離.

定理1[12]過程U(t,τ)是漸近緊的, 即集合

K={K={Kt}t∈:Kt?Xt是緊的, K是拉回吸引的}

是非空的, 則時間依賴吸引子A存在且唯一.

定義6如果?t≥τ,U(t,τ)Aτ=At, 則稱時間依賴吸引子A={At}t∈是不變的.

2 主要結果

2.1 適定性

首先, 關于問題(12)-(13)的弱解定義如下:

成立, 則稱z(t)為方程(12)在區間I上滿足初值條件z(τ)=(u(τ),ut(τ),ητ(s))∈Hτ的弱解.

應用Galerkin方法[5], 可得方程(12)-(13)解的存在唯一性結果:

定理2假設條件(2)～(6)成立, 且g∈C(Vθ;H)滿足式(7)～(9),f∈V-θ, 則對于任意給定的T>τ和初值z(τ)=(u(τ),ut(τ),ητ(s)), 方程(12)-(13)存在唯一弱解z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)), 滿足z(t)∈C([τ,T];Ht)∩L∞([τ,T];Ht).

根據定理2, 可以定義如下過程U(t,τ): Hτ→Ht, 即U(t,τ)z(τ)=(u(t),ut(t),ηt(s)), 其中z(τ)∈Hτ,z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s))是方程(12)-(13)關于初值z(τ)的唯一解.

2.2 時間依賴吸收集

引理3在定理3的假設條件下, 設U(t,τ)z(τ)是方程(12)的解, 則存在正常數C2=C2(R), 使得

‖U(t,τ)z(τ)‖Ht≤C2, ?t≥τ.

(14)

證明: 設0<ρ<1, 用2ut+2ρu與方程(12)在H中做內積, 有

關于阻尼項, 有

〈αut,2ut+2ρu〉=2α‖ut‖2+2ρα〈u,ut〉.

(16)

根據引理1、方程(12)及Young不等式, 可得

(17)

由式(15)～(18)可得

對合適的常數C>0, 定義泛函

根據H?lder不等式和Young不等式, 并結合條件(3)和式(11), 可得:

(21)

(22)

(23)

2〈G(u),1〉≥-(1-ν)‖u‖θ-C.

(24)

由式(20)～(24)可得

則

(25)

易知N(t)≥0.

由H?lder不等式和Young不等式, 并結合條件(3)和式(11), 得

(26)

對于式(19), 由式(20)和式(26), 并利用條件(9), 可得

(27)

取ρ足夠小, 使得

(28)

定理3假設條件(2)～(6)及式(7)～(9)成立, 過程U(t,τ)(t≥τ∈)為問題(12)-(13)對應的過程, 對于給定初值zi(τ)∈Hτ, 滿足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2), 則存在正常數C1=C1(R)>0, 使得

‖U(t,τ)z1(τ)-U(t,τ)z2(τ)‖Ht≤eC1(t-τ)‖z1(τ)-z2(τ)‖Hτ, ?t≥τ

(29)

成立.

證明: 對于給定的初值zi(τ), 根據引理3可知:

‖U(t,τ)zi(τ)‖Ht≤R0.

(30)

(31)

(32)

當θ∈(1,3/2)時, 6/(3-2θ)≥6/θ, 應用式(10), 并結合條件(7)和式(30), 有

將式(33)代入式(32), 有

在區間[τ,T]上應用Gronwall引理, 可得式(29)成立.

記 Bt(R)={z(t)∈Ht: ‖z(t)‖Ht≤R}, 由引理3直接可得如下時間依賴吸收集的存在性定理:

定理4假設條件(2)～(6)及式(7)～(9)成立, 則對應于問題(12)-(13)的過程U(t,τ)存在時間依賴吸收集B={Bt(R0)}.

2.3 時間依賴全局吸引子的存在性

若式(7),(8)成立, 將非線性項g分解為g=g0+g1, 其中g0,g1∈C2(), 且存在正常數k0,k1, 滿足:

‖f-f‖<.

(38)

設B={Bt(R0)}t∈是由定理4所得的一個時間依賴吸收集, 且τ∈固定, 則對任意的z(τ)∈Bτ(R0), 可以將過程U(t,τ)分解為U(t,τ)z(τ)=U0(t,τ)z(τ)+U1(t,τ)z(τ), 其中：

z1(t)=U0(t,τ)z(τ)=(v(t),vt(t),ζt(s));z2(t)=U1(t,τ)z(τ)=(w(t),wt(t),ξt(s)).

分別滿足

(39)

(40)

利用Faedo-Galerkin逼近方法, 易得方程(39),(40)解的存在唯一性, 進一步可得如下耗散性結果.

引理4若條件(3)～(9)和條件(34)～(36)成立, 則存在常數C3>0及任意小的正常數與單調遞增函數Q(·), 使得

‖U0(t,τ)z(τ)‖Ht≤Ce-C3(t-τ)Q(‖z(τ)‖Hτ)+, ?t≥τ.

(41)

證明: 設0<ρ<1, 用2vt+2ρv與方程(39)在H中做內積, 有

對合適的常數C>0, 定義泛函

根據H?lder不等式和Young不等式, 并結合條件(3)得

類似可得

(44)

將式(43)代入式(42), 且由式(38), 可得

(45)

引理5若條件(3)～(9) 和條件(34)～(37)成立, 則存在C4=C4(B)>0, 使得

(46)

其中0<σ≤min{3θ-3,3/2-θ,1}.

證明: 設0<ρ<1, 用2Aσwt+2ρAσw與方程(40)在H中做內積, 類似于引理3的證明有

對合適的常數C>0,

根據H?lder不等式和Young不等式, 并結合條件(3)和式(11), 可得

因為2×(3/(θ-σ))≤6/(3-2θ), 應用嵌入不等式(10), 再由式(45)和式(7), 可得

類似可得

(49)

因為2×(3/(θ-σ))≤6/(3-2θ), 由條件(7)和嵌入不等式(10), 可得

(50)

(51)

設B是定理3中得到的一個時間依賴吸收集, 可得如下結論:

引理6[10]假設非線性項g滿足條件(7),(8), 外力項f∈V-θ, 且條件(4)和(6)成立, 對任意給定的T>τ和任意的>0, 令KT=ΠU1(T,τ)B, 則存在一個正常數N1=N1(‖B‖Ht), 使得:

引理7若條件(4)～(7)和條件(34)～(37)成立, 令{U1(t,τ)}t≥τ是方程(40)的解過程, 則對任意的T>τ,U1(t,τ)B在Ht中是相對緊的.

由定理1、定理4、引理4, 引理5和引理7可得到如下結果:

定理5方程(12)-(13)生成的過程U(t,τ)在Ht中有一個不變的時間依賴全局吸引子A={At}t∈.

因此, 過程U(t,τ)是漸近緊的, 從而證明了U(t,τ)存在時間依賴全局吸引子A={At}t∈. 最后, 由文獻[12]中的定理5.6和過程U(t,τ)t≥τ的連續性, 可得A的不變性.

2.4 時間依賴吸引子的正則性

在K中, 對所有的t∈, A的最小性即保證了At?為了證明At在上的有界性類似于引理5的證明, 固定τ∈, 對zτ∈At, 將U(t,τ)z(τ)分解為

U(t,τ)z(τ)=U3(t,τ)z(τ)+U4(t,τ)z(τ),

其中:U3(t,τ)z(τ)=(v(t),vt(t),ζt(s));U4(t,τ)z(τ)=(w(t),wt(t),ξt(s)). 分別滿足

(52)

(53)

作為引理4的一個特例, 可得

‖U3(t,τ)zτ‖Ht≤Ce-C(t-τ)Q(‖z(τ)‖Hτ)+ε, ?t≥τ.

(54)

引理8在定理3的假設條件下, 存在常數C5=C5(A )>0, 使得一致有界集

對合適的常數C>0,

由H?lder不等式和Young不等式, 并結合條件(3)和式(11), 得

類似可得

(56)

取ρ足夠小, 則

(57)

定理6在K中, 對所有的t∈,At在上是有界的, 且與t無關.