p3q3階群的完全分類

陳松良, 黎先華

(1. 貴州師范學院 數學與計算機科學學院, 貴陽 550018; 2. 蘇州大學 數學科學學院, 江蘇 蘇州 215006)

對給定階數的有限群或對具有某種性質的有限群進行同構分類, 是有限群的研究熱點之一. 文獻[1]通過分析無三次因子階群的結構特點, 給出了在同構意義上構造這類群的一種算法; 文獻[2]對無四次因子階群的結構信息給出了若干描述和刻畫; 文獻[3]討論了無四次因子階群的2-弧傳遞表示. 設p,q是不同的素數, 文獻[4]確定了所有p3q階群的構造； 文獻[5]確定了所有p3q2階群的構造. 設p是奇素數, 文獻[6]確定了23p3階群的構造(p≠3,7). 設p,q是不同的奇素數且p>q, 對于p3q3階群G的同構分類, 除當Sylowq-子群是指數為q2的非交換q-群時G的同構分類尚未完成外, 其余情形的p3q3階群的完全分類均已得到[7-14]. 本文考慮p3q3階群的完全分類, 主要結果如下.

定理1設p,q為奇素數, 且p>q,G是p3q3階群. 如果G的Sylowq-子群是指數為q2的非交換q-群, 則有:

1) 如果(q,(p3-1)(p+1))=1, 則G恰有5種不同構的類型;

2) 如果(q,p+1)=q(此時必有(q,p3-1)=1), 則G恰有(q+3)種不同構的類型;

4) 如果(q,p-1)=q, 則：

① 當q=3時,G有83種不同構的類型；

(i)P1=〈a〉, |a|=p3;

(ii)P2=〈a〉×〈b〉, |a|=p2, |b|=p;

(iii)P3=〈a〉×〈b〉×〈c〉, |a|=|b|=|c|=p;

引理1G的Sylowp-子群必是G的正規子群.

證明： 易見Q中恰有(q2-q)q個階為q2的元和(q2-1)個階為q的元, 又每個q2階循環子群中恰有(q-1)個階為q的元, 從而Q的自同構群Aut(Q)的階是

(q2-q)q((q2-1)-(q-1))=q3(q-1)2.

如果G的Sylowq-子群Q是正規子群, 則G的Sylowp-子群P在Q上的作用是平凡的, 從而P?G. 如果Q不正規, 則當1q, 因此PcharPOq(G), 于是P?G. 如果Oq(G)=1, 則因為G是可解群, 所以Op(G)>1. 此時若P不正規, 則G/Op(G)的Sylowp-子群是不正規的. 由Sylow定理可知,G/Op(G)的Sylowp-子群的個數為q3個, 從而P/Op(G)是自正規的交換p-群, 再由Burnside定理知,G/Op(G)的Sylowq-子群QOp(G)/Op(G)是正規的. 又QOp(G)/Op(G)?Q, 而p不整除Aut(Q)的階, 所以P/Op(G)平凡作用在Q上, 表明P/Op(G)?G/Op(G), 從而P?G, 矛盾. 證畢.

引理2設G是p3q3階群, 其Sylowq-子群為指數是q2的非交換群Q, 而Sylowp-子群是循環群P1. 設σ是模p3的一個原根, 若(q,p-1)=q, 則令r=σp2(p-1)/q, 從而有:

1) 當(q,p-1)=1時,G恰有1種不同構的類型G=P1×Q；

2) 當(q,p-1)=q時,G有(q+1)種不同構的類型, 即除了構造G=P1×Q外, 還有下列形如

(1)

的1種構造及形如

(2)

的(q-1)種構造.

證明： 由文獻[7]中的引理4即得.

引理3設G是p3q3階群, 其Sylowq-子群為指數是q2的非交換群Q, 而Sylowp-子群是交換群P2. 設σ是模p2與模p的一個公共原根, 若(q,p-1)=q, 則令

s=σp(p-1)/q,t=σ(p-1)/q,

從而有:

1) 當(q,p-1)=1時,G恰有1種不同構的類型P2×Q；

2) 當(q,p-1)=q時,G有(2q2+q)種不同構的類型, 其中除了構造P2×Q外, 還有如下構造：

其中形如式(4),(6)的構造各1種, 形如式(3),(5),(7),(8),(10)的構造各(q-1)種, 形如式(9),(11)的構造各(q-1)2種.

證明： 因為G的Sylowp-子群是正規子群, 此時不難證明G是超可解的, 而且可設〈a〉與〈b〉都是Q-不變的. 因為Aut(〈a〉)與Aut(〈b〉)分別是p(p-1),(p-1)階循環群.

1) 當(q,p-1)=1時,G必有構造P2×Q.

2) 當(q,p-1)=q時,G除構造P2×Q外還有其他構造. 而由于

Q/CQ(a)Aut(〈a〉),Q/CQ(b)Aut(〈b〉),

所以CQ(a)與CQ(b)或為Q或為Q的q2階正規子群. 又易見Q的q2階正規子群中有一個初等交換群〈xq,y〉與q個循環群〈xyk〉, 0≤k≤q-1, 所以有:

① 當CQ(a)=Q而CQ(b)≠Q時, 如果CQ(b)是q2階循環子群, 則不妨設CQ(b)=〈x〉, 于是ax=ay=a,bx=b, 且可設by=bti(0

② 當CQ(b)=Q而CQ(a)≠Q時, 如果CQ(a)是q2階循環子群, 則不妨設CQ(a)=〈x〉, 于是ax=a,bx=by=b, 且可設ay=asi(0

③ 當CQ(a)與CQ(b)都不是Q且CQ(a)≠CQ(b)時, 由于Q中只有一個q2階初等交換子群〈xq,y〉, 但有q個不同的q2階循環子群〈xyk〉(k=0,1,…,q-1), 所以如果CQ(a)=〈xq,y〉而CQ(b)=〈xyk〉, 則必有ay=a且可設ax=as,by=bti(0

所以當把xyk換回為x時可得G的(q-1)種形如式(7)的構造. 如果CQ(a)=〈xyk〉而CQ(b)=〈xq,y〉, 則必有by=b且可設bx=bt,ay=asi(0

④ 當CQ(a)=CQ(b)≠Q,CQ(a)=CQ(b)=〈xq,y〉時, 有ay=a,by=b, 且可設ax=as(否則, 只要用x的適當方冪代替x即可),bx=bti, 其中0

引理4設G是p3q3階群, 其Sylowp-子群為p3階初等交換群P3, 而Sylowq-子群為指數是q2的非交換群Q. 令σ是模p的一個原根, 若(q,p-1)=q, 則令t=σ(p-1)/q, 從而有：

1) 當(q,(p3-1)(p+1))=1時,G只有1種不同構的類型, 即P3×Q;

2) 當(q,p-1)=q時, 有:

① 如果q=3, 則G有39種不同構的類型；

證明: 參見文獻[8]中定理1.

引理5設G是p3q3階群, 其Sylowp-子群為指數是p2的非交換群P4, 而Sylowq-子群為指數是q2的非交換群Q. 令σ是模p2與模p的一個公共原根, 若q|(p-1), 則令s=σp(p-1)/q,t=σ(p-1)/q, 從而有：

1) 當(p-1,q)=1時,G僅有構造G?P4×Q；

2) 當(p-1,q)=q時,G有(q+1)種互不同構的構造, 除P4×Q外, 還有形如

(12)

的1種構造及形如

(13)

的(q-1)種構造.

證明： 由引理1知G的Sylowp-子群是正規的, 且G是超可解群, 并可設〈a〉和〈b〉都是Q-不變的. 當(q,p-1)=1時, 必有G?P4×Q. 當(q,p-1)=q時,G除構造P4×Q外, 還有其他構造. 令H=〈b〉Q, 顯然H/CH(a)同構于Aut(〈a〉)的一個子群, 于是H/CH(a)是循環群. 又b?CH(a), 所以如果CQ(a)=〈xq,y〉, 則可設ax=as(否則, 只要用x的適當方冪代替x即可), 從而必有bx=b, 其中s=σp(p-1)/q, 而σ是模p2與p的一個公共原根. 注意到ay=a, 所以將y作用在[a,b]=ap的兩邊后得[a,bti]=ap, 于是pti≡p(modp2), 從而必有ti≡1(modp), 由此得i≡0(modq), 故by=b. 因此G有形如式(12)的構造. 如果CQ(a)=〈x〉, 類似上述分析, 可得G的形如式(13)的構造.

如果CQ(a)=Q, 則將x,y依次作用在[a,b]=ap的兩邊后, 必有CQ(b)=Q, 從而得G?P4×Q. 證畢.

引理6設G是p3q3階群, 其Sylowp-子群為指數是p的非交換群P5=〈a,b,c〉, 而Sylowq-子群為指數是q2的非交換群Q. 令σ是模p的一個原根, 若q|(p-1), 則令t=σ(p-1)/q, 從而有:

1) 當(p2-1,q)=1時,G只有1種構造, 即P5×Q;

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

證明： 由引理1知G的Sylowp-子群是正規的. 因為

Φ(P5)=Z(P5)=〈c〉,

綜合引理2～引理6的結果, 可知定理1成立. 由定理1及文獻[7-14]的結果, 可知p3q3階群的完全分類得以完成.