模糊模范疇中的余極限

周 鑫

(1. 伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計分院, 新疆 伊寧 835000; 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 長春 130024)

模糊集[1]用于刻畫客觀事物的不確定性, 定義為: 設(shè)X是一個非空集合, 集合X的模糊子集可由隸屬函數(shù)A:X→[0,1]刻畫, 其中:X稱為A的承載集, 記為K(A)=X; [0,1]稱為真值集. 為了使模糊集概念能刻畫更一般的事物, Goguen[2]引入了L-fuzzy子集的概念, 其真值集由比[0,1]更一般的完全分配格L替代; Rosenfeld[3]引入了模糊子群的概念, 使得模糊代數(shù)有了更深入的發(fā)展; Negoit?等[4]引入了模糊模的概念; 潘福錚[5-6]介紹了模糊模范疇, 并研究了該范疇中的有限生成模糊模及正合序列等問題.

極限理論是范疇學(xué)中的重要概念之一[7], 目前, 模糊模范疇中關(guān)于極限和余極限[8]的研究已有許多結(jié)果. 例如: 趙彬[9]研究了分子格范疇中的極限問題; Gunduz等[10]定義了模糊模范疇中的正向系統(tǒng)及反向系統(tǒng)， 并討論了正向系統(tǒng)上的正向極限與反向系統(tǒng)上的反向極限以及兩個極限函子的正合性問題. 由于模糊模構(gòu)成的反向系統(tǒng)上的反向極限函子不能保持正合序列的正合性, 因此進一步引入了反向極限的第一導(dǎo)出函子. 湯建鋼等[11-12]利用極限理論研究了格值集合范疇的層結(jié)構(gòu)性質(zhì), 并證明了集合范疇中L-fuzzy結(jié)構(gòu)與層結(jié)構(gòu)的同構(gòu)關(guān)系; 張曉媛等[13]研究了定向空間范疇DTop的逆極限和余極限, 得到了其逆極限和余極限的一致性結(jié)果; Boroński等[14]證明了拓?fù)鋱D上模糊動力系統(tǒng)的極限問題可實現(xiàn)為流形上模糊動力系統(tǒng)的吸引子等問題; 文獻(xiàn)[15]討論了L-fuzzy模范疇的極限問題. 本文在文獻(xiàn)[10，15]的基礎(chǔ)上, 利用范疇理論, 將模糊模范疇中的正向系統(tǒng)和反向系統(tǒng)推廣到更廣泛的J型圖, 并給出模糊模范疇中的余極限有點式和無點式刻畫. 對于文獻(xiàn)[10]給出的模糊模范疇中余極限的存在性性質(zhì), 本文通過引入模糊模范疇中余積的結(jié)構(gòu)性定理, 進一步得到了余極限的存在性、唯一性和結(jié)構(gòu)性定理, 并討論模糊模范疇中極限與余極限的關(guān)系.

1 預(yù)備知識

1)A(x+y)≥A(x)∧A(y);

2)A(rx)≥A(x);

3)A(0)=1, ?r∈R,x,y∈A.

則稱A是M的模糊左R-子模, 簡稱為模糊左R-?；蚰：? 當(dāng)需要指出承載集時, 也記為AM.

圖1 F上的余錐形Fig.1 Cocone on F

圖2 F的余極限Fig.2 Colimit of F

2 模糊左R-模的余極限

圖3 F(L )的余極限Fig.3 Colimit of F(L )

圖4 {Aα}α∈J的余積Fig.4 Coproduct of {Aα}α∈J

圖5 {Mα}α∈J的余積Fig.5 Coproduct of {Mα}α∈J

圖6 不交并為余積Fig.6 Disjoint union is coproduct

圖7 {Mα}α∈J的余極限Fig.7 Colimit of {Mα}α∈J

圖8 {Aα}α∈J的余極限Fig.8 Colimit of {Aα}α∈J

圖9 {Mα}α∈J余極限唯一Fig.9 Uniqueness of colimit of {Mα}α∈J

圖10 {Aα}α∈J余極限唯一Fig.10 Uniqueness of colimit of {Aα}α∈J

則由定理2及引理1, 得

是{Aα}α∈J的余極限.

注2余核、推出、余積及余等值子均為特殊的余極限, 故可根據(jù)定義4得到相應(yīng)的概念.

3 余極限函子的伴隨性

圖11 自然變換τFig.11 Natural transformation τ

圖12 函子τ與μ的交換Fig.12 Commutative diagram of functors τ and μ

則

圖13 自然變換|f|Fig.13 Natural transformation |f|

證明: 由文獻(xiàn)[15]中定理4.4的證明及文獻(xiàn)[19]中引理2.6.6的證明類似可得.

證明: 只證1)的第一部分, 其他類似可得.

定理7設(shè)I,J是兩個小范疇, 則余極限與小范疇的順序無關(guān), 即

其中:α∈Ob(I );β∈Ob(J ).

證明: 由定理1和定理5可得.