模糊Z-Quantale范疇的反射子范疇

鄔宏偉, 汪開云

(陜西師范大學 數學與信息科學學院, 西安 710119)

Quantale理論[1]為研究非交換的C*-代數提供了新的格式刻畫, 并給量子力學提供了新的數學模型[2]. 文獻[3]將集系統應用到Quantale理論中, 作為Quantale的一般化, 引入了Z-Quantale的概念, 并研究了Z-Quantale及其范疇的若干性質. 文獻[4]證明了Quantale范疇是Z-Quantale范疇的反射子范疇. Zadeh[5]提出了模糊集的概念, 文獻[6]通過模糊序研究Quantale理論, 引入了模糊Quantale的概念, 并證明了模糊Quantale范疇同構于Quantale代數范疇, 從范疇論的角度說明了Quantale代數可視為Quantale的模糊化結構. 作為Z-Quantale結構的模糊化, 文獻[7]引入了模糊Z-Quantale的概念, 并證明了模糊Z-Quantale范疇是模糊序半群范疇的反射子范疇. 在上述工作的基礎上, 本文證明模糊Quantale范疇是模糊Z-Quantale范疇的反射子范疇, 并討論由反射子構造的模糊Galois伴隨.

1 預備知識

有關范疇論的相關內容可參見文獻[8].

定義1[9]設L是完備格, *是L上的二元運算, 且滿足:

1) ?a,b,c∈L, (a*b)*c=a*(b*c);

定義2[9]設L是Quantale, 若存在1∈L, 使得?a∈L, 有a*1=1*a=a, 則稱1是L的單位元, 此時稱L是單位Quantale. 若?a,b∈L, 有a*b=b*a, 則稱L是交換Quantale.

若無特殊說明, 本文L均指交換的單位Quantale, 1是L的單位元.?a∈L, 由Quantale的定義知,a&_是L上的保并映射, 所以其有右伴隨, 記為a→-. ?a,b,c∈L,a&b≤c當且僅當a≤b→c.

定義3[9]設L1和L2是Quantale,f:L1→L2是映射. 如果f保任意并和*運算, 則稱f是從L1到L2的Quantale同態.

定義4[10-12]設X是集合,e:X×X→L是映射. 如果e滿足:

1) ?x∈X,e(x,x)≥1;

2) ?x,y,z∈X,e(x,y)*e(y,z)≤e(x,z);

3) ?x,y∈X,e(x,y)≥1,e(y,x)≥1蘊含x=y.

則稱e是X上的一個模糊偏序, 稱偶對(X,e)是一個模糊偏序集.

設(X,e)是模糊偏序集, 則≤e={(x,y)|e(x,y)≥1}是一個分明偏序. 若無特殊說明, 本文在模糊偏序集(X,e)框架下的偏序均指≤e, 簡記為≤.

定義6[12,14]設(X,e)是模糊偏序集,A∈LX. 如果?x,y∈X,e(x,y)*A(x)≤A(y)(或e(x,y)*A(y)≤A(x)), 則稱A是模糊上集(或模糊下集).

注2設(X,e)是模糊偏序集, ?A∈LX, 定義↓A,↑A∈LX為?x∈X,

則↓A是模糊下集, ↑A是模糊上集.

定義9[11-12]設(X,eX),(Y,eY)是模糊偏序集,f:X→Y是映射.

1) 如果?x,y∈X,eX(x,y)≤eY(f(x),f(y)), 則稱f保模糊序;

定義10[6]若(X,e)是模糊偏序集, (X,·)是半群, 且?a,b,c,d∈X,e(a,b)*e(c,d)≤e(a·c,b·d), 則稱(X,·,e)是模糊序半群.

定義11[6]設(X1,·,e1)和(X2,·,e2)是模糊序半群,f:X1→X2是映射. 如果f保模糊序, 且?a,b∈X1,f(a·b)=f(a)·f(b), 則稱f是從X1到X2的模糊序半群同態.

定義12[6]設(X,e)是模糊完備格, (X,?)是半群. 若?a∈X,D∈LX,

(1)

則稱(X,?,e)是模糊Quantale, 簡稱X是模糊Quantale.

例2設(S,·,e)是模糊序半群, 用LD(S)表示S模糊下集的全體. 在LD(S)上定義二元運算?:

則(LD(S),?,sub)是模糊Quantale.

定義13[6]設X,Y是模糊Quantale,f:X→Y是映射. 如果f保模糊并和?運算, 則稱f是從X到Y的模糊Quantale同態.

記L-OSG為以模糊序半群為對象, 以模糊序半群同態為態射的范疇; 記L-Quant為以模糊Quantale為對象, 以模糊Quantale同態為態射的范疇.

2 主要結果

定義14[7]L-OSG上的模糊集系統ZL是一個映射, 其中對任意的模糊序半群(S,·,e),ZL(S)是由(S,·,e)的模糊下集構成的子集族, 且滿足下列條件：

1) ?s∈S,ls∈ZL(S);

3) (ZL(S),?,sub)是(LD(S),?,sub)的模糊子序半群;

以下總假設在L-OSG上給定了一個模糊集系統ZL.

定義16[7]設(S,?,e)是模糊ZL-完備序半群. 若?a∈S,D∈ZL(S), 式(1)成立, 則稱(S,?,e)是模糊Z-Quantale, 簡稱S是模糊Z-Quantale.

例31) 設(S,·,e)是模糊序半群,ZL(S)=LD(S), 則S是模糊Z-Quantale當且僅當S是模糊Quantale; 2) 設(S,·,e)是模糊序半群,ZL(S)={ls|s∈S}, 則S是模糊Z-Quantale.

記L-ZQuant為以模糊Z-Quantale為對象, 模糊Z-Quantale同態為態射的范疇. 易見,L-Quant是L-ZQuant的子范疇.

定義18[17]設(X,?,e)是模糊Quantale,j:X→X是保模糊序映射. 若j滿足:

1) ?x∈X,e(x,j(x))≥1;

2) ?x,y∈X,e(x?j(y),j(x?y))≥1,e(j(x)?y,j(x?y))≥1.

則稱j是X上的模糊預核映射.

命題1設(S,·,e)是模糊Z-Quantale. 定義映射j:LD(S)→LD(S)如下：

則j是LD(S)上的模糊預核映射.

證明: ?U∈LD(S),x,y∈S, 有

于是j(U)∈LD(S), 所以j是良定的. 易見sub(U,j(U))≥1. ?U,V∈LD(S), 有

于是j是保模糊序的. ?U,W∈LD(S), 由(S,·,e)是模糊Z-Quantale, 得

同理可證sub(U?j(W),j(U?W))≥1, 所以j是LD(S)上的模糊預核映射.

引理1[17]設(X,?,e)是模糊Quantale,j是X上的模糊預核映射, 則(Xj,?j,e)是模糊Quantale, 其中Xj={A?X|j(A)=A}, 且?x,y∈Xj,x?jy=j(x?y).

定理1L-Quant是L-ZQuant的反射子范疇.

證明: 設(S,·,e)是模糊Z-Quantale, 由引理1知, 命題1定義的模糊預核映射j的不動點之集LD(S)j是模糊Quantale. 定義映射ηS:S→LD(S)j如下: ?s∈S,ηS(s)=ls. 則?x∈S, 有

于是ηS(s)∈LD(S)j, 所以ηS是良定的. ?x,y∈S, 有

ηS(x·y)=j(ηS(x·y))=j(ηS(x)?ηS(y))=ηS(x)?jηS(y).

?U∈LD(S)j, 有j(U)=U. 所以?s∈S, 有

而

所以

?V∈LD(S)j,f(V)=h(V).

?B,C∈LLD(S)j, 有

f(B?jC)=h(j(B?C))=h(B?C)=h(B)☆h(C)=f(B)☆f(C).

?B∈LLD(S)j, 有

從而k=f, 所以L-Quant是L-ZQuant的反射子范疇.

2) 當ZL(S)={ls|s∈S}時,L-ZQuant恰為L-OSG. 于是由定理1,L-Quant是L-OSG的反射子范疇[6].

3 反射子構造的模糊Galois伴隨

定義19[18]設(X,eX),(Y,eY)是模糊偏序集,f:X→Y,g:Y→X是保模糊序映射. 如果?x∈X,y∈Y,eY(f(x),y)=eX(x,g(y)), 則稱(f,g)為X和Y之間的一個模糊Galois伴隨, 此時,f稱為g的左伴隨,g稱為f的右伴隨.

定義21[14]設(X,?,e)是模糊Quantale,A?X, 則∩{S?X|S是X的模糊子Quantale, 且A?S}是模糊子Quantale, 稱為由A生成的模糊子Quantale, 記作〈A〉.

設(S,·,e)是模糊Z-Quantale. 由定理1知L-Quant是L-ZQuant的反射子范疇, 則存在萬有映射ηS及反射子F:L-ZQuant→L-Quant, 其中ηS:S→F(S)是模糊Z-Quantale同態. 若S是模糊Quantale, 則存在唯一的模糊Quantale同態εS:F(S)→S, 使得εS°ηS=idS.

命題2設(S,·,e)是模糊Z-Quantale, 則F(S)是由ηS的像集ImηS生成的模糊Quantale.

證明: 設X=〈ImηS〉?F(S),φ:S→X是ηS:S→F(S)的余限制,i:X→F(S)是含入映射, 則i°φ=ηS. 由于L-Quant是L-ZQuant的反射子范疇, 則存在唯一的模糊Quantale同態h:F(S)→X, 使得h°ηS=φ. 從而ηS=i°φ=i°h°ηS, 所以i°h=idF(S). 因此i是滿的, 于是X=F(S), 即F(S)是由ImηS生成的模糊Quantale.

命題3設(S,·,e)是模糊Z-Quantale. ?b∈F(S), 定義映射kb:F(S)→L如下:

由于F(S)是模糊Quantale, 則?z∈F(S), 有

其中I: A→F(S)是含入映射. 所以A是F(S)的模糊子Quantale. ?y∈ImηS, 定義映射Xy: ImηS→L如下：

命題4設(S,·,e)是模糊Quantale, 則ηS°εS≥idF(S).

因此ηS°εS≥idF(S).

引理2[18-19]設(X,eX),(Y,eY)是模糊偏序集,f:X→Y,g:Y→X是保模糊序映射, 則(f,g)是模糊Galois伴隨當且僅當f°g≤idY,g°f≥idX.

定理2設(S,·,e)是模糊Quantale, 則(εS,ηS)是模糊Galois伴隨.

證明: 由命題4與引理2可得結論.